V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 46
Текст из файла (страница 46)
следующий параграф). Поэтому регулярно разлагается по степеням Й, йэ, й. именно функция ш 1К). Ввиду четности этой функции 1см. 6 69) разложение содержит лишь члены четных степеней. 241 з 88 сильно лнизотгопиыг кгисталлы Будем считать, что Г1 Гз, из и«и введем обозначение для малого отношения 17 и/11, характеризующего относительную величину энергии связи между слоями по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое. Введем также дебаевскую температуру (точнее- наибольшую из дебаевских темпеРатУР) как 0 = 71озю, гле оз У/а -пРеДельнаЯ частота «жсстких» колебаний (и — постоянная решетки); предельная же частота «мягких» колебаний мала по сравнению с ю,„в отношении 11.
Наконец, естественно считать, что предельная частота волн изгиба того же порядка или меныпе чем м,в; пусть она озп, ') . В этих условиях выясним характер температурной зависимости теплоемкости кристалла при Т « 0') . С учетом вклада от звуковых колебаний, свободная энергия тела определяется формулой з Р = Хео+Т~~У 1п(1 — с ' "17) ' " ' (68.4) о=1 где суммирование ведется по трем ветвям спектра, а интегрирование по всей области изменения волнового вектора') . Если Т» цО, то люжно пренебречь связью между слоями и соответственно воспользоваться спектром (68.2). Основной вклад в свободную энергию возникает от «изгибной» ветви гоз.
Ввиду быстрой сходимости при Т « О интегрирование по дЦс0«р можно распространить от — оо до сс. Заменив его интегрированием по 2«гз«дз«, путем очевидной подстановки найдем Г -( — -"-") - -= —" ~.( — — ) ' йч/ о о Интегрирование по ой, (по области )й,! < 1«вюак 1/а) дает не зависящий от температуры множитель 1/и. В результате найдем, что температурная часть свободной энергии пропорциональна Т и соответственно для теплова|кости СооТ при пО<<Т<<О. (68.5) При Т « 110 в интегралах (68 4) надо писать для ы (1«) их полные выражения (68.3), а интегрирование по всем компонен- 1 ) вкругими словами, полагаем, что ч ы,„а 77а.
Подчеркнем, что кое зффициент ч, связанный с «поперечной «кесткостьюь слоов, не выражается через одни только упругие модули Л,м е) Высокие же температуры, Т» О, составляют классическую область, в которой теплоемкость С = соней а) То есть по одной ячейке обратной решетки — см. ниже формулу (71.7). 242 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. у! там 14 можно распространить от — со до со. Получающаяся таким образом температурная зависимость свободной энергии довольно сложна, но в ней можно выделить еще два предельных случая. Если Т» 4120, то основной вклад снова возникает от ветви щз, причем в ней можно опустить член с Агз, т, е, писать 2 = ц2Л2+ у2м4 Действительно, основную роль в интеграле по зг 41м играют при этом значения Угузг Т, а тогда 6цм Йц(ТуУгу) У Т1г120)Т) "У2 « Т. Теперь находим 1п 1 — ехр — — ц4к, + у эг 2) ~ 2хмдэгцк, = сопа$ —, т 4 ' Л вЂ” 0 и в результате для теплоеыкостгл С сс Т при г1~0 << Т << гуО.
(68.6) Наконец, при Т « 4120 тем же способом убеждаемся, что в (68.3) можно опустить член с АТ4, пощге чего мы возвращаемся к звуковому спектру (68.1) с линейной зависимостью ы от величины й, и для теплоемкости полу. чается закон Дебая С оо Та при Т « 620. (68.7) Аналогичным путем можно рассмотреть кристаллы цепочечной структуры (направление цепей выбираем в качестве оси е). В этом случае законы дисперсии в трех ветвях спектра звуковых Волн имеют Вид ,„'-', — ц2, эг2+ ц2ь2+ у214 щ2 = ц2зс2+ 172142 (68.8) причем теперь цм и2, ца « Г~ ') .
В пренебрежении взаимодействием между цепями законы (68.8) сводятся к 2 2 4 2 г, ы,2 — — у кь, ыэ — — 1741м; ветвь гоз отвечает продольным колебаниям атомов в цепях, а ветви гоу и щ2 — волнам изгиба цепей, рассматриваемых как упругие нити. Полагая ц1 и2 цз и снова вводя малый параметр й ц/17 и дебаевскую температуру О 6Г,Уа, можно ) Здесь снова предположена, для определенности, гексагональная симметрия ..
на этот раз вокруг направления цепей. Скорости иы..., 1У4 выражаются через модули упругости теми же формулами, которые были приведены в примеч. на с. 240, но теперь модули Л,, Л „,,ю Л...,-, Л,„, малы по сравнению с Л,„-,:. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛ.ЛИ 1ЕОКОй РЕШЕТКИ законы температурной зависи- получить следующие предельные мости теплоемкости; С ж Т'Ув при С сю ТЕ1~ при С ОКО Тв при цо «т«О, цзО «Т « 11О, (68.9) т «1'О. й 69. Колебания кристаллической решетки (69.1) где пм пъ из целые числа,, а аы аз, аа основные периоды решетки (длины ребер элементарной ячейки).
Обозначим смещения атомов при колебаниях через п,„где индекс е указывает номер атома в ячейке (е = 112,...1н; 11 —— число атомов в ячейке). Функция Лагранжа кристаллической решетки, как лсеханической системы частиц, совершающих малые колебания вокруг своих положений равновесия (узлов решетки), имеет вид г — с ~~, 'тп,пп(п) — -'~ 'Л," (и — и')ие1(п)и, ь(п'), 1с69.2) пе пп ЗЕ где «вектор» и = (пи из,из); т, массы атомов, а г, Й векторные индексы, пробегающие значения т, у, е (причем по дважды повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование).
Коэффициенты Л зависят только от разности п — и', поскольку силы взаимодействия атомов могут зависеть лишь от относительного положения ячеек решетки, но не от их абсолютного положения в пространстве. Эти коэффициенты обладают свойством симметрии Л,'ь (и) = Ль.,'( — и), (69.3) очевидным из вида функции (69.2). В предыдущих параграфах мы рассматривали тепловое движение атомов твердого тела как совокупность нормальных малых колебаний кристаллической решетки. Изучим теперь более подробно механические свойства этих колебаний. В каждой элементарной ячейке кристалла находится, вообще говоря, по нескольку атомов. Поэтому каждый атом надо определять заданием элементарной ячейки, в которой он находится, и номером атома в ячейке.
Положение элементарной ячейки можно задать радиусом-вектором гп какой-либо определенной ее вершины; этот радиус-вектор пробегает значения Гп = иСаС + Пзаэ + Пэаэ, 244 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. Ч! (69.7) Из функции Лагранжа (69.2) следуют уравнения движения тлйлл = — ~~! Л;;л (и — и ) и, ь(п ).
(69.4) и'л' Отметим, что коэффициенты Л связаны друг с другом опре- деленныели соотношениями, выражающиъли тот факт, что при параллельном смещении или при повороте решетки как целого пе возникает никаких действующих на атомы сил. При парал- лельном смещении все ил(п) = сопят, и поэтому должно быть Л~л(и) =О. (69.5) ил Связей, шледуюлцих из инвариантности относительно поворотов, не станем здесь выписывать. Будем искать решения уравнений (69.4) в виде мопохромати- ческой плоской волны пл(п) = ел(1с) ехр(л(1сг„— ьл1)). (69.6) АМПЛИтУДа (КОМПЛЕКСНан) Ел ЗаВИСИт ТОЛЬКО От ИНДЕКСа В! т.Е. различна лишь для разных атомов в одной и той же ячейке, но не для эквивалентных атомов в различных ячейках.
Векторы е, определяют как величину амгллитуды колебаний, так и направ- ление их поляризации. Подставив (69.6) в (69.4) ! получим ьл тлел! ехР(л1сги) = ~ Л;.~ь (п — и')ел!ь ехР(лиги ). и и Разделив обе части равенства па ехр(лЗсги) и заменив суммиро- вание по п' суммированием по п' — и! находим Е "" Л,'~ (И)ел в — ьлзтлел! = О, где введено обозначение Л;л (1с) — ~~! Л,'.~ (и) ехр( — лЗсги). (69.8) и Система (69.7) линейных однородных алгебраических уравнений для амплитуд имеет отличные от нуля решения при выполнении условия совместности л1е! ~Л,'~', (1с) — ьл'Гплблвб,, ~ = О. (69.9) Поскольку индексы л,', й пробегают по 3, а индексы В, В'.--по и значений, то порядок определителя равен Зи, так что (69.9) есть алгебраическое уравнение степени Зи относительно ьл'. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛ,ЛИЧБСКОй РЕШЕТКИ 245 Каждое из Зы решений этого уравнения определяет частоту оз как функцию волнового вектора 1с; об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяю1цее эту зависимость уравнение (69.9) называют дисперспонным уривнениеее Таким образом, для каждого заданного значения волнового вектора частота может иметь в общем счучае Зи различных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
