V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Между тем, при понижении температуры частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименьшей энергией, пока при Т = 0 туда не попадут все опи. Математически это обстоятельство проявляется в том, что в сумме (54.3) при переходе к пределу р, — + 0 сумма всех членов ряда, за исключением первого, стремится к конечному пределу (определяемому интегралом (56.5)), а первый член (с еь = 0) стремится к бесконечности. Устремляя 12 не к нулю, а к некоторому малому конечному значению, можно, следовательно, придать указанному первому члену суммы требуемое конечное значение.
Поэтому в действительности при Т < То дело будет обстоять следующим образом. Частицы с энергией е > 0 распределены по формуле (56.4) с р = 0: (62.3) ЗУ2п~йэ, Рт Полное число частиц с энергиями е > 0 будет, следовательно, равно ( кр( т)ю 1 еде ( т,,з72 Е = О 770МТ( ) = О 1288 з К (62.5) ) Явление накаплииания частиц Б состоянии с е = 0 назмеают конденсацией Бозе-Зйнютейна. Подчеркнем, что речь может при этом идти разве что о эконденсации е импульсном пространстаеьз никакой реальной конденсации Б газе, конечно,не происходит.
Остальные Лге=о = )юг~1 — 1Т7ТП)з) ] (62.4) частиц находятся в низшем состоянии, т. е. имеют энергию е = 0') . Энергия газа при Т < То определяется., конечно, только теми частицами, которые имеют е > 0; полагая в (56.7) 7г = О, имеем ьг2я~й~ / е' — 1 о Этот интеграл приводится к ~(5/2) (сан примеч. на с. 202) и по- лучается 215 Выгож3тенныЙ Бозе-газ Отсюда теплоем кость (62.6) т.е. теплоемкость пропорциональна Т~7~. Интегрируя теплоемкость, находим энтропию: 5Е Я=— зт (62.7) и свободную энергию Р = Š— ТБ: — Е з (62.8) Последний результат вполне естествен, так как при 13 = О Е = Ф вЂ” РГ = %13 + П = й.
Для давления Р = — (дг (дЪ')т имеем 3!3Т3/3 ~4~8 3 (62.9) Мы видим, что при Т ( Те давление пропорционально Тб~э и не зависит вовсе от объема. Это обстоятельство естественное следствие того, что частицы, находящиеся в состоянии с е = О, не обладая импульсом, не дают никакого вклада в давление.
В самой точке Т = Те все перечисленные термодинамические величины непрерывны. Можно, однако, показать, что производная от теплоемкости по температуре испытывает в этой точке скачок (сьь задачу к этому параграфу). Кривая самой теплоемкости как функции от температуры имеет в точке Т = Те излом, причем в этой точке тсплоемкость максималь- на ~и составляет1,28 . -Л) ') . Задача Определить скачок производной (дС„)дТ) г в точке Т = Те. Р е ш е н и е. Для решения задачи надо определить энергию газа при малых положительных Т вЂ” Те. Перепнсываелл равенство (56.5) тождественно в виде е ')Подчеркнем, однако, что такое поведение теплоемкости - результат именно полного пренебрежения взаимодействием частиц газа: при введении уже хотя бы слабого взаимодействия переход становится переходом второго рода.
(Такие переходы обсуждаются ниже, в гл. Х1Ъ'.) 216 Раопгвделкния ':авгь>и и БОзе где функция >>7а1Т) определяется равенством 162Л). Разлагаем подынтегральное выражение, имея в виду, что д мало вблизи точки Т = Та, а поэтому в интеграле существенна область малых -, и находим, что стйящий здесь интеграл равен т~ / ' = — т,/Я.
./ >>>е>е + )>>() Подставляя это значение и выражая затем д через Х вЂ” >»а, получим 2>г й (й>а — Х) С той же точностью пишем теперь: дЕ 3дй 3 3 — = — — — = — Х -№, дд 2ди 2 2 откуда З 3яайа , >гас — Д>х> Е = Еа -~- — )>>ад = Еа — . а >э>а ~ ) 2 йл>о~ >> ТЪ ( где Еа = Еа1Т) — энергия при и = О, т.е. функция 162.аг). Вторая производная от второго члена по температуре даст, очевидно, искомый скачок производной теплоемкости. Произведя вычисления, найдем >3 ( ) = а а [>х> ( ) 1 = 3 66 12) Значение производной 1дС,(дт)к при Т = Та — О есть, согласно 162.5), +2,89М(та, а при Т = Та Ч- О оно равно, следовательно, — 6,777>7(та.
3 63. тХерное излучение Важнейшим обьектом применения статистики Бозе является электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии, - так называемое черт>е излучение. Черяое излучение можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Линейность уравнений электродинамики отражает тот факт, чти фотоны не взаимодействуют друг с другом 1принцип суперпозиции для электромагнитного поля), так что фотонный газ можно считать идеальным. В силу целочисленности момента импульса фотонов этот газ подчиняется статистике Бозе.
Если излучение находится не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности фотонного газа требует также и малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие выполняется в газах (во всем спектре излучения, за исключением лишь частот, близких к линиям поглощения вещества); при большой же плотности вещества оно может соблюдаться лишь при очень высоких температурах. 217 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ д=о.
(63.1) Распределение фотонов по различным квантовым состояниям с определенными значениями импульса 61с и энергиями е = = йоз = Йса (и определенными поляризациями) дается, следовательно, формулой (54.2) с р = О: 1 и 'й ьгт (63.2) Это -- так называемое распределение 11,линки. Считая объем достаточно болыпим, перейдем обычным образом (см.
П, 352) от дискретного к непрерывному распределению собственных частот излучения. Число колебаний с компонентами волнового вектора 1с в интервалах с1 Й = нк нк, с1Й, равно Р'с1зй/(2л)з, а число колебаний с абсолютной величиной волнового вектора в интервале с1к есть соответственно а12 цй 12д-) з Вводя частоту оз = ск и умножая на 2 (два независимых на- правления поляризации колебаний), получим число квантовых состояний фотонов с частотами в интервале между оз и ы+ Йы: (63.3) ) Отвлекаясь от совершенно ничтожного взаимодействия (рассеяние света на свете), связанного с возможностью возникновения виртуальных электронно-позитронных пар (см. 1У, 1127).
Следует иметь в виду, что наличие хотя бы неболыпого количества вещества вообще необходимо для самой возможности установления теплового равновесия в излучении, поскольку взаимодействие между самими фотонами можно считать полностью отсутствующим' ) . Механизм, обеспечивак~щий установление равновесия, заключается при этом в поглощении и испускании фотонов веществом. Это обстоятельство приводит к существенной специфической особенности фотонного газа: число частиц 7т' в нем является переменной величиной, а не заданной постоянной, как в обычном газе.
Поэтому Х должно само определиться из ущювий теплового равновесия. Потребовав минимальности свободной энергии газа (при заданных Т и 1'), получим в качестве одного из пеобходигеых условий дР/дХ = О. Но поскольку (дг'/дх)7 и = р, то мы находим, что химический потенциал газа фотонов равен нулю; 218 РАС!ПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Гл. !' Умножив распределение (63.2) на эту величину, найдем чии1О фотонов в данное| интервале частот; ы а!е 3 7т к с е — 1 (63.4) а умножив еще на г!оз, получим энергию излучения, заключенную в этом участке спектра; 3,1 3 3 3 7Т (63.5) Эта формула для спектрального распределения энергии черного излучения называется формулой 17т!анка') .
Будучи выражена через длины волн Л = 27!с)!се, она имеет вид 1бкес!3У !1Л Л Л3 3 ае7Т3 (63.6) При малых частотах (гке « Т) формула (63.5) дает формулу Ралел -Дж. инга: (63.7) Обратим внимание на янной г! и может быть то, что она не содержит квантовой посто- получена умножением числа собственных колебаний (63.3) на Т; в этом смысле она соответствует классической статистике, в которой на каждую колебательную степень свободы должна приходиться энергия Т (закон равно- распределения, 844).
В обратном предельном случае болыпих частот (гке » Т) формула (63.5) дает 1,б 1,2 1,О О,б О.б 0,4 0,2 ,7е'. 17 ! !бе — бы7тг1~ ! й 3 3 0 1 2 3 4 б б 7 8 (63.8) (формула Вина). на рис. 7 изображен график функции Т87!(ее — 1), отвечающей распределению (63.5). ) Открытие этого закона Планком (М. Р1авск) в 1900 г. положило начало созданию квантовой теории. 219 1 63 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Плотность спектрального распределения энергии черного излучения по частотам с)Е, )г)оз имеет максимум при частоте са = саш, определяющейся равенством — = 2,822. (63.9) Таким образом, при повышении температуры положение максимума распределения смещается в сторону больших частот пропорционально Т (закон смелценил) ') . Вычислим термодинамичоские воличины черного излучения.
При )з = 0 свободная энергия Г совпадает с П (так как Р = = Ф вЂ” Р1г = Х)з+ П). Согласно формуле (54.4), в которой полагаем )з = 0 и переходим обычным образом (с помощью (63.3)) от суммирования к интегрированию, получаем Р=Т,, /ы 1п(1 — е ) )Йп. я с / (63.10) о Вводя переменную интегрирования х = Поз)Т и интегрируя по частям, получим т' 1 .'з* Зяебзса / е* — 1 о Стоящий здесь интеграл равен я4/15 (см. примеч. на с. 202).
Таким образом, Энтропия д6' 1ба Я = — — = — 'У"Т'. ДТ Зс (63.13) ) Плотность распределения по длинам волн ЗЕт/оЛ тоже имеет максимум, но при ином значении аналогичного отношения: Зябс~ХЛ = 4,966. Таким образом, точка максимума (Л ) распределения по длинам волн смещается обратно пропорционально температуре. (63.11) 4616с)з Зс Если Т измеряется в градусах, то коэффициент а (постолннал Сгпефане-.Болбцмини) равен о.= ',„=5,67 10 (63.12) 606'с" с' град' 220 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРЕ|И И БОЗЕ Она пропорциональна кубу температуры. Полная энергия излучения Е = Е + ТБ равна Е 4РЪ Т4 ЗЕ (63.14) Это выражение можно было бы, разумеется, получить и непосредственным интегрированием распределения (63.5).
Таким образом, полная энергия черного излучения пропорциональна четвертой степени температуры 1зако22 Больпма23л). Для теплоемкости излучения имеем С (ОЕ) 1ваТЗЪ- (63.15) Наконец, давление (63.16) РЪг = —. (63.17) Как и следовало, для газа фотонов получается то же предель- ное выражение для давления! что и у ультрарелятивистского электронного газа $61); соотношение (63.17) является непо- средственным следствием линейной зависимости (е = ср) между энергией и импульсое! частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
