V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При высоких же температурах существенно, что возбуждены все ЗЛЫ колебаний. Поэтому для построения искомой интерполяционной формулы естественно исходить из модели, в которой на всем протяжении спектра колебаний частоты распределены по закону (64.4) (который в действительности справедлив лишь для малых частот), причем спектр, начинаясь от ьг = О, обрывается при некоторой конечной частоте гп = Ог,„,; последняя определяется условием равенства полного числа колебаний правильному значению ЗЛЪ: 1 Ог г1гО = ., = Зг!Ги, 2е!йО,г' 2В'й О откуда (ОЕ~ХГг) !ГО (66.1) Таким образом, распределение частот в рассматриваемой модели дается формулой В ( - Вг) (66.2) Они Л,„+Т~~ ~' 21„(1,-л-~т)„„ О для числа колебаний с частотами в интервале агьг (мы выразили й через ьг ). Переходя в (64.1) от суммы к интегралу, получим теперь 235 1 66 ИНТВРПОЛЯ!СИОННАЯ РОРА1РЛА ДЕВАЯ (66.3) 0 = Йсн„ (О есть, разумеется, функция плотности тела).
Тогда нГт тА6 Г Е = йсео+ 97сГНТ( — ) / 6~1п(1 — е ')сЬ. (66.4) с-~ / о Интегрируя по частям и вводя сГ1у11кцию Дебая =Н -" 0 (66.5) можно переписать эту формулу в виде Е = Гч'60+ КНТ[31п(1 — е. Г ) — РЯ]. (66.6) дК Д.ля энергии Е = Р— Т вЂ” получим отсюда ОТ Е = Хео + 3717 НТР ( — ) (66.7) и для теплоемкости С = ЗйГН[Р( — ) — — Р'( — )]. (66.8) На рис. 8 дан график зависимости С/(ЗЛЪ) от Т(0.
Формулы (66.6) — (66.8) и представляют собой искомые интерпо- Цо с ляционные формулы для термо- 0,6 динамических величин твердого тела (Р. Род уе, 1912) . Легко видеть, что в обоих 0,4 предельных случаях эти формулы действительно дают правильные результаты. При Т « 0 о од о,4 о,о о,а цо сд 54 (низкие температуры) аргумент функции Дебая ОГ Т велик. В первом приближении можно заменить х на со в верхнем пределе интеграла в определении (66.5) функции Р(я); получающийся Введем так называемую дебаевскую или характеристическую температуру тела О, определив се как определенный интеграл равен л /15, так что') хз Р( )= —, (*»1).
Подставляя это в (66.8), получим (66.9) что совпадает с (64.9). При высоких же температурах (Т» 0) аргумент функции Дебая мал; при и « 1 в первом прибзплжении Р(х) — 1е), и из (66.8) имеем: С = 3%и, снова в полном согласии с раное полученным результатом (65.5) ') .
Полезно указать, что фактический ход функции Р(х) приводит к тому,что критерием применимости предельных законов для теплоемкости является относительная величина Т и О/4: теплоемкость можно считать постоянной при Т » О/4 и пропорциональной Та при Т « О/4'). Согласно формуле Дебая теплоемкость есть некоторая универсальная функция отношения О/Т. Другими словами, согласно этой формуле должны быть одинаковыми теплоемкости различных тел находящихся, как говорят, в соответственных состояниях, т. е.
обладающих одинаковыми О/Т. ) Заменив интеграл 1 на 1 — 1, разлагая (е' — Ц ' в подынтегральном о о выражении второго интеграла по степеням е ' и интегрируя почленно, найдем,что при х )) 1 Приведенное в тексте значение справедливо, следовательно, с точностью до зкспоненциальво малых членов. е)При т « 1 прямое разложение подынтегрального выражения по степеням я и почленвое интегрирование дают 3 1 е Р(т) = 1 — -и -1- — я 8 20 в) С точностью до следующего члена разложения теплоемкость при высоких температурах дается формулой ) Укажем для примера значения О для ряда веществ, полученные из данных об их теплоемкости: Рьл 90 К; Ак: 210 К; А1: 400 К; КВТ: 180 К; МаС1: 280 К; в особенности велико значение О у алмаза,порядка 2000 К.
237 6 67 ТЕПЛОВОЕ РВОВ!ИРЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Формула Дебая хорошо (в той степени в которой этого вообще можно требовать от интерполяционной формулы) передает ход теплоемкости с температурой лишь у ряда тел с простыми кристаллическими решетками — у большинства элементов и у ряда простых соединений (например! галоидных солей). К телам с более сложной структурой она фактически неприменима; это вполне естественно, поскольку у таких тел спектр колебаний черезвычайно сложен. й 67. Тепловое расширение твердых тел Член, пропорциональный Т4, в свободной энергии (64.6) при низких температурах ъложно расматривать как малую добавку к Ро = 1ъ766(Р'7'А7). С друтой стороны, малая поправка к свободной энергии (при заданных Ъ' и Т) равна малой поправке (при заданных Р и Т) к термодинамическому потенциалу Ф (съл.
(15.12)). Поэтому можно сразу написать: Л~Т~УО(Р) зо(ъй)з (67.1) ЗдЕСь Фв(Р) ЕСть пс Завиеящая От тЕмпЕратуры чаСть тЕрмО- динамического потенциала, 176(Р) --. объем, выраженный как функция от давления с помощью Р = — дГО/д$' = — А71166776)1', а и = й(Р) -- средняя скорость звука,. выраженная через давление с помощью того же соотношения. Зависимость объема тела от температуры определяется соотношением Р' = с)Ф7'ДР; (67.2) Коэффициент теплового расширения И (дТ), ъаа! Ъо ЕР (й' ) (67.3) Ф = Фа(Р) — 7!7ЕТ1пТ+ НОТ 1п)7О7(Р). (67.4) Мы видим, что при низких температурах он пропорционален кубу температуры. Это обстоятельство, впрочем, заранее очевидно из теоремы Нернста Я 23) и закона Тз для теплоемкости.
Аналогично при высоких теъшературах рассматриваем второй и третий члены в (65.6) как ъ!алую добавку к первому (для того чтобы тело было твердым, во всяком случае должно быть Т « 66) и получаем 238 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. Е! Отсюда 'е' = 'РО(Р) + (67 5) Коэффициент теплового расширения есть №. ды о = — —. 1ГЕВ! дР (67.6) Он оказывается не зависящим от температуры. При увеличении давления атомы в твердом теле сближаются, амплитуда их колебаний (при том же значении энергии) уменьшается; другими словами, увеличивается частота. Поэтому гда7ГЕР > О, так что и се > О, т. с. твердые тела с увеличением температуры расширяются.
Аналогичные рассуждения показывают, что коэффициент Ге из формулы (67.3) также положителен. Наконец, воспользуее|ся указанным в конце предыдущего параграфа законом соответственных состояний. Утверждение, что теплоемкость есть функция только от отношения Т!О! эквививалентно утверждению, что, например., тсрмодинамический потенциал есть функция вида Ф = Фд(Р) + Оэ'( — ). (67.7) При этом обьем Р РЫР)+, (Х Х) а коэффициент теплового расширения т !Дд ГЕ = — —.,— Г ТГеОэ дР дФ Аналогичным обра:эом находим тепловую функцию И' = Ф вЂ” Т— д:!т' дА и теплоемкость С = —: дТ С вЂ” — — 7" .
а О Сравнивая оба выражения (для С и для о), получим следующее соотношение: (67.8) С ОЪ'В(Р) дР Таким образом, в пределах применимости закона соответственных состояний отношение коэффициента теплового рас!пирения к теплоемкости твердого тела не зависит от температуры !закон Грюнейзгна). 239 1 ба сильно лниэотгопныг кгистлллы Мы уже упоминали выше, что в твердых телах разница между теплоемкостями Ср и Сг весьма незначительна. В области низких температур это есть общее снедствие теоремы 11ернста, относящееся ко всем вообще телам. В области высоких температур находим, воспользовавшись термодинамическим соотношением (16.9), То»1«» нцо )й1» где о = а(Р) коэффициент теплового расширения (67.6).
Мы видим, что разность Ср — Сг пронорциональна Т; это по существу означает, что ее разложение по степеням Т!ее начинается с члена первого порядка, между тем как разложение самой теплоемкости начинается с нулевого (постоянного) члена. Отсюда следует, что и при высоких температурах у твердых тел Ср — С„« С. 9 68. Сильно анизотропные кристаллы В конце ч 66 было отмечено, что формула Дебая фактически неприменима к кристаллам сложной структуры.
Сюда относятся, в частности, сильно анизотропные кристаллические структуры «слонстого» и «цепочсчного» типов. Первые можно описать как состоящие из параллельных слоев атомов, причем энергия взаимодействия атомов внутри каждого шюя велика по сравнению с энергией связи соседних слоев. Аналогичным образом цепочечные структуры построены из сравнительно слабо связанных друг с другом параллельных цепочек атомов. Спектр звуковых колебаний таких кристаллов будет характеризоваться не одной, а несколькими дебаевскими температурами, различными по порядку величины. Закон Т для теплоемкости буз дет иметь при этом место лишь при температурах, малых по сравнению с наименыпей из дебасвских температур; в промежуточных жс областях возникают новые предельные законы (И.
М. Лифн«ипл 1952). Начнем со случая слоистых структур. Наибольшей жесткостью такая решетка обладает по отношению к колебаниям атомов в плоскости «лоев (которую выберем в качестве плоскости ту); жесткости же решетки по отношению к колебаниям слоев как целых друг относительно друга сравнительно очень малы. Эти свойства приводят к характеру зависимости частоты от волнового вектора (закону дисперсии) в трех ветвях спектра звуковых волн, выражающемуся следучощими формулами, которые мы выпишем здесь в предположении гексагопачьной 240 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА гл, л симметрии кристалла; 2 гсг2 2 + 2ь22 2 122 2 + 212 (68 1) 2 2 2+ 2~2 ( 2 )22+)42) причем Г1, Ь2 » из, и4 Здесь скорости распространения !11, 122 относятся к колебаниям атомов в плоскос1 и слоев, иэ (в ветвях о21 и о22) к колебаниям сдвига слоев относительно друг друга, и4 к колебаниям относительного расстояния между слоями ) .
Выражения (68.1), однако, еще недостаточны для исследования тепловых свойств кристалла. Эти выражения предствляют собой в действительности лишь первые члены разложения фу.нкций ю 114) по степеням волнового вектора. Но ввиду «аномальнойэ малости некоторых коэффициентов в квадратичных членах этих разложений начинают играть существенную роль также и члены следующего, четвертого порядка') . Для выяснения их вида замечаем, что при полном пренебрежении связью между слоями законы дисперсии волн имели бы вид 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ОЗ1 ~12С ~ ОЗ2 222Г ~ ОЗЗ 7 (68.2) Частоты а21 и о22 отвечают продольным колебаниям в плоскости слоев, а частота соз -- поперечным колебаниям, представляющим собой в этом случае волны изгиба слоев, рассматриваемых как свободные упругие тонкие пластинки (ср.
111, 825), Поэтому., пренебрегая в членах четвертого порядка малыми слагаемыми, зависящими от связи между слоями, напишем окончательно закон дисперсии волн в виде о21,2 — 121,22г + пзк о'з — пзэг + и424: + 'у зг . 168.3) ) Предположение о гекгагональной симметрии кристал2ш не имеет принципиального значения и сделано лишь с целью придать формулам (68.1) большую определенность. Скорости Гь..., иэ выражаются через модули упругости Л,ы такого кристалла так: 2 2 2 2 Г1 — — Л,„э)р, Г = Л „1р, пз — — Л,:(р, иэ — — Л„,-)р, где р — плотность (эти формулы можно получить из выражений, найденных в задаче 2 к УП, 6 23, путем разложения их по степеням модулей Л, „, Л,.-..-, Л „., которые для слоистого кристалла малы по сравнению с моделями Л ...Л „„). Указанный в тексте характер колебаний ясен из смысла отдельных компонент тензора Л,ы 2) Уравнение, определяющее заков дисперсии волн, представляет собой алгебраическое уравнение относительно 222 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
