V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 48
Текст из файла (страница 48)
') Можно показать (на чем мы здесь не будем останавливаться), что должно существовать по крайней мере шесть седловык точек, -" по три каждого из двух типов, которым отвечают знаки Г и — в формуле (70.8) (см. ниже). ГДЕ 71, огв УЗ ГЛаВНЫЕ ЗиаЧЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО тЕНЗОРа у,ю Рассмотрим сначала точку минимума или максимума функции оз(1с). Тогда 71, уз, 78 имеют одинаковый знак. Введя вместо Йх, Йю к, новые переменные зсх, зср, зс, согласно згх = Ъу]'уг](ьх Йах)....., пишем; 250 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. Ч1 Поэтому интеграл в (70.4) оказывается равным 4ЛРГ; выразив АГ через ы — ив согласно (70.3), окончательно находим (70.5) Таким образом, плотность числа колебаний имеет корневую особенностГб производная дфГ1ГВ обращается при ш — ~ Гее в бесконечность.
Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае (если значение ГВ = шв лежит внУтРи, а не на самых кРаЯх полосы изменения частоты) изочастотные поверхности для близких к Гее значений ш могут содержать (помимо эллипсондов вокруг точки 1с = 1се) еще и другие листы, в других частях ячейки 1с-пространства. Поэтому в общем случае выражение (70.5) дает лишь «особую» часть плотности числа колебаний, так что правильнее писать а( ) =8( )+,,—,-', (70.6) с оДной стоРоны от точки ГВ = Гпе (пРи ы < ше в слУчае макси- мУма, или ю > ме в слУчае минимУма), и 8(ш) = 8(ГВВ) с ДРУгой стороны.
Отметим также, что формула (70.5) не относится., конечно, к окрестности нижнего края (ю = О) зоны акустических колебаний, где закон дисперсии имеет вид (69.15). Легко видеть, что в этом случае Ыо 8(ю) = сопвс. и . (70.7) ЫО > ЫО Рассмотрим теперь окрестность седловой точки. В этом случае две из величин у~, ув, уз в (70.2) положительны, а одна отрицательна, или наоборот.
Вместо (70.3) будем иметь теперь ш — Вэе = ~-(АГ~ + АГ~~ — РГ~) (70.8) Примем для определенности верхний знак в этом выражении. Тогда изочастотные поверхности при ю < юе представляют собой двухполостные, а при ьэ > ьэе однополостные гиперболоиды; граничная же поверхность ю = ще является двухполостным конусом (рис. 9). 251 еононы Интегрирование в (70.4) удобно производить теперь в пилинДРичсских кооРДинатах в и-пРостРанстве) хт., х„., )Р, гДе 2г) из + и22 а )р — полярный угол в плоскости и ию Абсолютная величина градиента; ~~7 а)~ = и. При и) ( шо интеграл берется по двум полостям гиперболоида: 222 <т22 ~ (2~„-! 1 / 2л 22з 272~2 )2 )' ~2 о в качестве верхнего предела К (значение которого не отража; ется на виде искомой особенности) можно взять какое-либо значение х, большое по сравнению с х72шо — о), но в то же время настолько малое, что еше применимо выражение (70.8) для формы изочастотной поверхности.
В результате находим В случае, когда ь7 ) шо, аналогичным путем находим, что К 2 / 22222тсЬ2т К Фш) = )2)' 2 ) Я:2) — ) 2 2 "„' 22) где и~~~;„= 2(ь7 — ше). Таким образом, в окрестности седловой точки йлотность числа колебаний имеет вид ( ) = '~/ ' (70.9) Ю(ыо) при ш > )2)о. И здесь 8(ш) имеет корневую особенность. Для седловой точки с нижним знаком в (70.8) получается такой же результат с перестановкой областей ь7 ( шо и ь7 ) ь7о (корневая особенность при ь7 > ь7о). й 71. Фононы Обратимся к вопросу о том, как выглядит картина колебаний решетки с точки зрения квантовой теории.
252 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА гл, л Вместо волн (69.6), в которых атомы испытывают в каждый момент времени определенные смещения, в квантовой теории вводится понятие о так называемых фононах как о некоторых распространяющихся по решетке квалнчасшицпх, обладающих определенными энергиями и направлениями движения. Поскольку энергия осциллятора в квантовой механике есть целое кратное от йто (где ш — частота классической волны), то энергия фонона связана с частотой ш соотношением (71.1) подобно тому, как это имеет место для световых квантов фотонов. Что же касается волнового вектора 1е, то он определяет так называемый квааиимпульс фонона р: (71.2) д 1р) ч= др (71. 3) эта формула вполне аналогична обычному соотношению между энергией, импульсом и скоростью частиц.
Все сказанное в з69, 70 о свойствах спектра классических колебаний кристаллической решетки полностью переносится (с соответствующим изменением терминологии) па энергетический спектр фононов зависимость их энергии от квазиимпульса. В частности, энергетический спектр фононов е(р) имеет Зи ветвей, в том числе три акустические ветви. Рассмотренная в )) 70 плотность числа колебаний становится теперь плотностью числа квантовых состояний фонопов. Свободному распространению волн в гармоническом приближении соответствует в квантовой картине свободное движение не взаимодействующих друг с другом фононов. В следук~щих же приближениях появляются различного рода процессы столкновений фононов.
Эти столкновения и составляют механизм, приводящий к установлению теплового равновесия в фоионном газе, т.е. к установлению равновесного теплового движения в решетке. Это величина во многом аналогична обычному импульсу. В то же время между ними имеется существенное отличие, связанное с тем, что квазиимпульс есть вели тина, определенная лишь с точностью до прибавления постоянного вектора вида йЬ; значения р, отличающиеся на такую величину, физически эквивалентны. Скорость фонона определяется групповой торостью соответствующих классических волн: ч = ды/д1Е.
Написанная в виде еопоны ~ ' р = '~ ' р'+ йЬ. (71.4) В регпетке может быть возбуждено одновременно сколько угодно одинаковых фононов: другими словами, в каждом квантовом состоянии фононов может находиться любое их число (в классической картине этому отвечает произвольная интенсивность волн). Это значит, что фононный газ подчиняется статистике Бозе. Поскольку к тому же полное число частиц в этом газе не является заданным и само определяется условиями равновесия, то его химический потенциал равен нулю (схь ~63). Поэтому среднее число фононов в каждом квантовом состоянии (с квазиимпульсом р и энергией б) определяется в тепловом равновесии функцией распределения Планка 1 р (опт (71.5) Отметим, что при высоких температурах (Т )> б) это выражение 1тереходит в т~р —— — Т (71.6) ~1 ) т. е.
чисто фононов в данном состоянии пропорционально температуре. Понятие о фононах является частным случаем более общего понятия, играющего основную роль в теории квантовых энергетических спектров всяких макроскопических тел. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела может рассматриваться в квантовой механике как совокупность отдельных элементауных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме. До тех пор, пока число элементарных возбуждений достаточно мало, они «не взаимодействуя>т» друг с другом (т.
е. их энергии просто складываются), так что их совокупность можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц. ) Процессы, в которых суммарный квазиимпульс ие остается постоянным, а хеецяетоя пя йЬ, называют процессами переброса. При всех таких процессах должен соблюдаться закон сохранения энергии, а также закон сохранения квазиимпульса. Последний, однако, требует сохранения суммарного квазиимпульса фононов лишь с точностью до прибавления любого вектора вида йЬ, что связано с неоднозначностью самого квазиимпульса. Таким образом, начальные (р) и конечные 1р') квазиимпульсы при каком-либо процессе столкновения фононов должны быть связаны соотношением вида') 254 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА гл, л Подчеркнем лишний раз, что понятие элементарных возбуждений возникает как способ квантовомеханического описания коллективного движения атомов тела, и они ни в какой мере не могут быть отождествлены с отдельными атомами или молекулами.
В случае фононов их взаимодействиго отвечает (в классической картине) ангармонизм колебаний атомов в решетке. Но, как уже было отмечено в 864, в твердых телах эти колебания фактически всегда малы., а потому. и «почти гармоничныьь Поэтому взаимодейсгвие фононов в твердых телах фактически всегда слабо. В заключение выпишем формулы, определяющие термодинамические ве.личины твердого тела по спектру фононов в нем. Свободная энергия твердого тела в термодинамическом равновесии дается формулой (64.1). Перейдя в ней от суммирования к интегрированию по непрерывному ряду фононных состоний., имеем Зи Р=Я.~ТА )ь(1 — «(- ))... (7'7) а=1 где суаимирование производится по всем ветвям спектра, а интегрирование — по значениям 1с в одной ячейке обратной решетки') .
Введя плотности 8о!(н) числа состояний в каждой ветви спектра и перейдя к интегрированию по частотам, эту формулу хиожпо записать также и в виде Зи Р=н,+т«'~ 1' ь(1 — ( )«,( )з . (718) о=-1 Неравновеспое макроскопическое состояние твердого тела описывается некоторым неравновесным распределением фоновое по их квантовым состояниям, подобно тому, как это делается для идеального газа. Энтропия тела в таком состоянии может быть вычислена с помощью полученных в 855 (для бозе-газа) формул.
В частности, если в каждом состоянии имеется много фопОНОВ, энтрОпия раВна где Х вЂ” число фононов в группе из С близких состояний (см. (55.8)). Этот случай отвечает высоким темпера!урал( 1Т » » 0). Перепишем эту формулу в интегральном виде, отвечаю- ) Эта формула была уже использована в 8 68 для вклада в свободную энергию от акустических ветвей спектра.
ОпеРАтОРы Рождения и уни лтожения Фононов 2бб 1 72 щем классической картине тепловых колебаний. Число состояний фононов (в каждой из ветвей спектра), приходшцихся на интервал слал' значений волнового вектора и элемента Л' пространственного объема, есть л1т = с)за",л(2лг)лл. Пусть 77 (г,)с)с)т энергия тепловых колебаний в том же элементе фазового пространства сЛт. Соответствуклцее число фононов есть сЛ (г, 1с) асс (1с) Подставляя эти выражения вместо С и Х..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
