V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 40
Текст из файла (страница 40)
з) Отметим, что это соотношение справедливо при любой степени вырождения газа. 1 60 МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. ОИЛЬНЫЕ ПОЛЯ 207 причем каждое значение с и ~ 0 встречается дважды, а с = 0 один раз; другими словами, плотность числа состояний с и ф 0 дается той же формулой (59.7), а для и = 0 она вдвое меньше. Потенциал 11 определится тогда суммой й = 2рН) — /(17) + ~7 /(р — 2рНп))~ в=1 а для ее вычисления надо воспользоваться формулой') оо оо -',г(п),-~77 ) =/77 Пп* — —,',г<п7 Я=1 0 (59.14) (79 15) 9 60. Магнетизм электронного газа. Сильные поля Рассмотрим теперь поля, для которых значение 11'Н, по- прежнему ъпалое по сравнению с 71, уже не должно быть малым по сравнению с Т: т <ОН«д. (60.1) В этих условиях эффекты квантования орбитального движения и спиновые эффекты уже не могут быть отделены друг от друга и должны учигываться одновременно; другими словами, при вычислении П надо исходить из выражения (59.14) Мы увидим, что намагниченность электронного газа при рН ~ Т содержит часть, которая, как функция Н, осциллирует с болыпой амплитудой: именно эта осциллирующая часть намагниченности и будет интересовать нас здесь.
Для выделения из термодинамических величин их осциллирующих частей целесообразно преобразовать сумму (59.14) с ) Она получается из формулы Эйлера.-Маклорена, если положить в ней а = О. В ЦЕЛОМ Гаэ ПаРаМатпнтЕН С ВОСПРИИМЧИВОСТЬЮ 17 = 207пара/3. Мы произвели здесь вычисление обеих ее частей по отдельности с целью уяснения их происхождения. Разумеется, можно было бы вычишпять также и сразу суммарную восприимчивость 17.
Для этого надо было бы писать уровни энергии электронов в виде 6 = рп/2пп+ (2п+ 1)/1Н ж/1Н, получающемся прибавлением к (59.6) сливовой магнитной энергии жрН. Эту совокупность значений 6 можно представить и как 6 = Р' + 277~Н, = 0,1,2,..., (59.13) 27п ГЛ. Р 208 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФБРМН И БОЗЕ помощью формулы Пуассона' ); оо со со 1Р(2) эа Р( ) =)' Р(*)2Р;-2в.
~ ) Р( ) "чз, (602) 2 п=1 о "=' о после чего она принимает вид Й = Йо(р) + ™,, Вс ~> 1й, (б0.3) где 1 = — 26н) )' ь[1э 21- — — ' — )) 2*42„ / и р, 2хгзН 11 2т1Ьх г = ~Т 2шТ Т )2 (60.4) а ЙО()2) термодинамический потенциал в отсутствие поля. Произведем в интегралах 1а замену переменной х па е = 2 + 2хг)Н. Для интересующей нас осциллирующей части ин2т тегралов (которую обозначим через 1ь) получим 2 / р — е т 2кйе / гккр, 1 = — / / !и ~ 1 + ехр — ) ехр — ехр 11 — ) г1Е г1р,. // Т ОН ~, *2п2)2Н) — о В интеграле по р, существенны значения р,/2т )8Н. Осцил- 2 лирующая же часть интеграла возникает от области значений е вблизи )2 (сы, ниже); поэтому нижний предел интегрирования по е заменен пулем (вместо р,/22п).
2 ') Эта формула следует из равенства д(х — п) = Ч ~е в=— э=— сумма б-функций в левой части этого равенства представляет собой периодическую функцию переменной х с периодом 1, а сумма Б правой часта есть разложение этой функции в ряд Фурье. Умножив равенство на произвольную функцию г'(х) и проинтегрировав его затем по х от 0 до сю, получим 160.2) (при этом интеграл )'г'(2:)61х)г)х — член суммы с и = О, а распространенный лишь по области с одной из сторон от точки х = О, дает Г(0)/2). 209 1 60 тгАГнетизм электРОннОГО ГАЗА. сильные пОля Интегрирование по ра отделяется и осуществляется формулой') — горе г гт/4 Я е Е 4 после чего остается — зюда 1 !1 (~ — )/т) ' й И~~ й о В этом интеграле производим дважды интегрирование по частям, а в остающемся интеграле производиаи замену переменной (6 — /г)/Т = ~.
Опустив неосциллирующую часть, получим г/2т (ЛН) вг / глад гя '! / ег / гякТ Тгггйв!г г,,ЯЕЕ 4 ) Е' (ее Ч- 1) (, /)ЕЕ ) Нижний предел интеграла по с, равный — /г/Т, в силу условия /г» Т заменен на — Оо. При )з'Н > Т определяюшую роль в ИНтЕГРаЛЕ ИГРаЕт ОбЛаСтЬ ~ 1г т.с, ОКРЕСтНОСтЬ ЗНаЧЕНИй 6 вокруг /г(6 — Ег Т). Интеграл вычисляется по формуле') е е;аг ка (е~ + Ц вЬяа Окончательно для осциллирующей части 11 находим яд гг — Н) ~ Т) ~ ПН 4 (605) тейв ~ гаГ аь(я )гт/дН) к=.! ) Она получается путЕм повОрота пути интегрирования в плоскости кОмплексной переменной р: полагаем р = е '" и, и интегрируем по вегдествеггиым значениям и от — оо до со, з) Подстановкой (ес+ц = и интеграл приводится к В-иггтегралу Эйлера: (1 — и)'"и ' г)и = Г(1 6- га)Г(1 — иа)/Г(2) е и по формуле Г(1 — а)Г(1+ с) = я /гйняа получается указанный в тексте результат.
210 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ ~ 61. Релятивистский вырожденный электронный газ По мере сжатия газа средняя энергия электронов увеличивается (растет ен); когда опа становится сравнимой с шс, делаются существенными релятивистские эффекты. Мы рассмотрим здесь подробно полностью вырожденный ультрарелятивистский электроггный газ, энергия частиц которого велика по сравнению с ьпст. Как известно, в этом случае энергия частицы связана с ее импульсом соотношением е = ср. (61.1) Для числа квантовых состояний, а потому и для граничного импульса имеем прежние формулы (57.1), (57.2)). Граничная же энергия (т.е. химический потенциал газа) равна теперь си=срк=(ЗЯ ) Дйс( — ) (61.2) ) Эффект осцилляций намагниченности был качественно предсказан Ландау П930). Это явление в металлах называют эффекпэом де-Гаваи-вон Алв- Бени При вычислении магнитного момента как производной от выражения (60.5), дифференцированию должны подвергаться лишь наиболее быстро меняющиеся множители — косинусы в числителях членов суммы.
Это дает 3 е ' ( ) ;г23пэи'рта' дн 4 (60.6) йИн х %Бы( эй776н) ь=ч (Л.Д. Ландау, 1939). Эта функция осциллирует с большой частотой') . Ее кггериода по переменной 1!Н есть постоянная величина (60.7) О и' не зависящая от температуры. При этом 1аН(Н ~Н(р << 1. При 7ЗН Т амплитуда колебаний магнитного момента 9э1 УрН 7~(т'э)ч~~Ь з.
«Монотонная» же часть намагниченности (обозначим ее 9э1), определяющаяся по вычисленной в предыдущем параграфе восприимчивости: 9э1 у1г 7 Ниг7 р й Поэтому 9Л/9э1 (фДН)~1т -- амплитуда осциллирующей части велика по сравнению с монотонной. Напротив, при рН « Т эта амплитуда экспонепциально убывает (как ехр( — ЯЯТ(~дН)) и становится пренебрежимо малой. РРлятиВиотский Выеожденный электРОнный ГАЗ 211 164 Полная энергия газа рпр=~ о или Е ' ' йЛ( — ) 1513) Давление газа можно получить дифференцированием энергии по объему (при постоянной, равной нулю, энтропии).
Это дает (61.4) Давление ультрарелятивистского электронного газа оказывается пропорциональным его плотности в степени 4/3. Необходимо указать, .что соотношение Р1Г =— 3 имеет место для ультрарелятивистского газа в действительности не только при абсолютном нуле, но и при всех температурах. В этом легко убедиться в точности тем жс способом, каким оы- ло выведено соотношение (бб.8), если только пользоваться для энергии 6 выражением 6 = ср вместо 6 = р (2пм Действительно, 2 при 6 = ср из формулы (53.4) получается а=-,",', ~РВ(44.»4" ')4., о откуда интегрированием по частям найдем о Таким образом., для ультрарелятивистского ферми-газа дос- тигается то предельное значение, которое вообще может иметь (при данной К) давление какого-либо макроскопического тела (сьг.
327). Введя переменную интегрирования а(Т = е, напишем Ъ т4 /' гг4г г гкг .— Рот + 1 о 212 Раопгвдклкния Фвгми и БОзе Гл, к Отсюда видно, что 11 = Ъ Т" ~(-"). (61.7) Тем же способом, как зто было сделано в 8 56, найдем отсюда, что при адиабатическом процессе объем, давление и температура ультрарелятивистского ферми-газа связаны соотношениями: Р1гч~з = сопв1, 1гТ3 = сопв1, — = сопв1. (61.8) Они совпадают с обычным уравнением адиабаты Пуассона с з = 4/3) подчеркнем, однако, что 7 отнюдь не является здесь отношением теплоемкостей газа.
сЯ 4 1' 2. Определить теплоемкость вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Р е ш е н и е. Применяя формулу (58.1) к интегралу в (61.6), найдем ~рт)', 61сй) Отсюда энтропия 3™ Т~1 3(сй)з 3сй гА' / с=к~ ) ( — ) х. и теплоемкость 3. Определить уравнение состояния релятивистского полностью вырожденного электронного газа (энергия электрона снязана с импульсом соотношением е = с р т т с ). Р е ш е н и е.
Для числа состояний и граничного импульса илгеем прежние формулы (57.1), (57.2), и полная знерзив равна гг з= —. 1'с 1 зйз / о откуда Е = рг(2рг -~- т с ) р'- -~- тзсз — (пзс) АгвЬ— 8я'йз 1, тс) Для давления Р = — (дЕ7дн)я=о имеем 4 рк Р = з ~рг ) — рг — т с / р~- т тзсз т1тс) АгзЬ— 8 зйз1 13 ' '/ хис Задачи 1.
Определить число столкновений со стенкой в ультрарелятивистском полностью вырожденном электронном газе. Р е ш е н и е. Вычисление производится так же, как в задаче к 5 57, причем надо иметь в виду,что скорость электронов о с. В результате полу- чается 213 ВЫРО2КДЕННЫЙ БОЗЕ-ГАЗ Полученные формулы удобно представить в параметрическом виде, введя в качестве параметра величину б = 4 Агвв —. рк тс Тогда получим 2 3 ( °" ~ ° ~)' Ззяэй ~З' З ЗЗ й( Химический потенциал газа д (включаювднй в себя энергию покоя частицы) совпадаот с предельной энергией БР = е(рг). Он связан с плотностью соотношением й 62. Вырожденный бозе-газ З,З1 62 /Х'л ~1з То = — ( — ) Зллз 223 3' (62.2) При Т ( То уравнение (56.5) не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциал должен быть отрицательным при всех температурах.
При низких температурах свойства бозе-газа не имеют ничего общего со свойствами ферми-газа. Это заранее очевидно из того, что у бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при Т = О, должно быть состояние с Ь' = 0 (все частицы в квантовом состоянии с е = 0), между тем как ферми-газ при абсолютном нуле обладает отличной от нуля энергией. Если при заданной плотности 2уг/1г газа понижать его температуру, то химический потенциал гл, определяемый уравнением (56.5) (с нижним знаком), будет увеличиваться, т.е.
будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине, Он достигнет значения д = 0 при температуре, определяемой равенством ос Х Я(тТ) Г / АБО (62.1) Дя2лэ / о Входящий сюда интеграл выражается терез ~-функцию (см. примеч, на с. 202; обозна лая исколотую температуру через То, по- лучим 214 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данных условиях не законен переход от суммирования (в формуле (54.3)) к интегрированию (в формуле (56.5)). Действительно, при этом переходе первый член суммы (с еь = 0) умножается на ь/е = О, т, е, выпадает из суммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
