V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Н, (45.3)). Изменение же функции Гамильтона (при заданных координатах о и импульсах р) отличается ог 60 ли~пь знаком (см. 1, (40,7)): 6Н = — 927(д, р)6Н. Соответственно в квантовой механике аналогичное выражение имеет место для изменения гамильтониана, причем й1 — оператор магнитного момента, выраженный через координаты я Опсраторы импульсОв частиц (и их Спинов). 8 52. Магнетизм газов Тело, помещенное во внешнее магнитное поле Н, характеризуется еще одной макроскопической величиной-- приобретаемым им в поле маг|гитным моментом ВК.
Для идеального газа этот момент ВК = Хпт (где пт - средний магнитный момент отдельной частицы атома или молекулы), так что его вычисление требует рассмотрения поведения в магнитном поле лишь отдельных частиц газа. Подчеркнем также, что поскольку намагниченность разреженной среды газа мала вместе с ее плотностью, то можно пренебречь влиянием среды на поле, т. е. считать, что действующее на каждую частицу поле совпадает с внешним полем Н. Изменение гамильтопиана газа при малом изменении дН внешнего поля есть бй = — ЯЯ6Н, где Ж? оператор магнитного момента газа').
Согласно формуле (15.11) (ср, также (11.4)), в которой под внешним параметром Л надо понимать здесь поле Н имеем поэтому 184 илклльный глз гл, гг Для вычисления свободной энергии газа в магнитном поле надо предварительно определить связанные с этим полем поправки к уровням энергии частиц газа; будем сначала считать газ одноатомным. Гамильтониан атома в магнитном поле есть г Н = Но — щН+ '., Е~Нг.12, (52.2) где Йо - гамильтониан атома в отсутствие поля, е и т - заряд и масса электрона, г --координаты электронов (суммирование производится по всем электронам), йт = — ф(28 + Ь) -.
оператор «собственного» магнитного момента атома (Й и 1 операторы его спина и орбитального момента, ф = ~е~Ц(2тс) -- магнетоп Вора (см. П1, 3 113)). Рассматривая второй и третий члены в (52.2) как малое возмущение по отношению к Йо, определяем поправку. к уровням энергии с точностью до величин второго порядка по полю. Она имеет вид Ьеь = еь — еь — — -АьН вЂ” -БьН (о1 1 2 (52.3) 2 причем Ав = (тп,)ьь, 2 где ось 2 выбрана в направлении Н: первый член в (52.5) возникает во втором порядке теории возмущений по линейному по Н члену в (52.2), а второй член.--в первом по квадратичному члену гамильтопиана.
При вычислении свободной энергии будем считать температуру газа нс слишком низкой предполагается, что поправки Ьеь « Т. Тогда в статистической сумме можно произвести разложение по степеням Н. С точностью до квадратичных по Н членов имеем — - ~(т ~;- — ~т 1 + 4лтт + Аь~ + т 2т' 2т ~' ь ь Суммирование по й включает в себя, в частности, усреднение по направлениям собственного момента атома тп (от которого невозмущенные уровни не зависят); из соображений симметрии очевидно, что при этом среднее значение А обратится в нуль, так что остается Я=[1+ — ( — +В)) 2 е " ~т, 165 1 52 магнвтизм газов где черта означает усреднение по (не возмущенному полем) больцмановскому распределению.
Подставив это выражение в (41.4) и продифференцировав затем свободную энергию по Н, получим магнитный момент в виде дЛ = Х)(Н, где 1— ,~ = — А'+В т (52.6) есть молекулярная магнитная восприимчивость газа (Х Н. )7оп Лесй, 1927). Рассмотрим некоторые частные случаи. Будем считать, что температура Т мала по сравнению с интервалом между основным и уже ближайшим к нему из возбужденных уровней (в число которых включаются также и компоненты тонкой структуры основного герма). Тогда можно считать, что вклад в средние значения А2 и В дает только основное (1с = 0) состояние атома.
В простейшем случае, если атоы (в основном состоянии) не обладает пи спином, ни орбитальным моментом (таковы атомы благородных газов), равны нулю также и все матричные элементы собственного магнитного момента атома. Тогда Ао = О, а в Во отличен от нуля только второй член. Ввиду сферической симметрии волновой функции состояния с Ь = Я = О, диагональные матричные элементы (т.
е. средние по состоянию атома значения) (т,)оо = (у,)оо = (г,)оо/3. В результате находим, что (52.7) т. е. газ диамагнитен с не зависящей от температуры восприимчивостью (Р. Ьапуеит, 1905) ') . Если же собственный магнитный момент атома отличен от нуля, то Ао у'= 0 и первый член в (52.6) (при сделанном о температуре предположении) велик по сравненинз со вторым. ') Подчеркнем, что этот диамагнетнзм (упомянутый уже в!П, 2 113) имеет квантовую природу: хотя квантовая постоянная б не входит в (52.7) явно, в действительности ею определяются «размеры» атома.
Отметим в этой связи, что в классической статистике макроскопические магнитные свойства вещества вообще не гюявляются. Действительно, в классической механике гамильтонова функпия системы в магнитном поле отличается от таковой в отсутствие поля лишь заменой импульсов частиц р разностями Р— еА(г у~с, где Р -- обобщенные импульсы, а А(г)-- векторный потенциал поля. В статиСтическом интеграле интегрирование производится по всем импульсам Р (и координатам г). После замены переменных (перехода от интегрирования по Р к интегрированшо по р = Р— еА/с) найдем, что магнитное поле вообще выпадает из статистической суммы, а тем самым и из всех термодинаыических вЕличин.
186 идкальный газ гл, гс Вычисление, согласно определению (52.4), дает У(У+ 1) — ЦЬ+ 1) + Яф+ 1) Ао = — ФМу, 8= 1+ ' Ы(~,) где 8 фактоР Ланде, ЛХу пРоскпиЯ полного момента 1 атома (см. П1, 8113). Усреднение в (52.6) сводится к усреднению по значениям Му. Заметив, что 1 аг,=-у получим ээ 2 Х = —,Х(7+ 1). ЗТ (52.8) Таким образом, газ парамагпитен с восприимчивостью, подчинякпцейся закону Кюри --обратной пропорциональности температуре (Р.1апуспгп, 1905) ') . Если орбитальный момент и спин атома отличны от нуля, но одинаковы по величине (Л = Я ~ 0) и складываются в полный момент 1 = О, то диагонюзьные ыатричные элементы собственного магнитного момента равны нулю, в то время как недиагонапьные (для переходов Л, Я, 1 — э Л, Я, 1 ж 1 вну.три одного мультиплета) отличны от нуля.
Тогда Ао = О., а в Во (52.5) второй (диамагнитный) член мал по сравнению с первым, в знаменателях которого стоят сравнительно малые интервалы тонкой структуры основного терма. При этом Ве ) 0: для основного уровня в каждом члене суммы по г' положителен как числитель, так и знаменатель. Таким образом, в этом случае газ парамагнитен с не зависящей от температуры восприимчивостью 1г = Во (Х Н. '»гап ИссМ, 1928)') .
Аналогичным образом вычисляется магнитная восприимчивость молекулярных газов. При обычных температурах вращение молекул классично. Поэтому вычисление матричных элементов магнитного момента можно производить сначала при закрепленных ядрах, а усреднение по ориентациям молекулы ) Форл»ула (52.8) может быть применена не только к газу, по и к конденсированным телам, в которых магнитные моменты атомов по тем или иным причинам можно считать «свободными». Это относится, например, к магнетизму редкоземельных элементов в твердых солях и растворах.
Парамагнетизм этих ионов связан с незаполненной 4 У-оболочкой. Эти сравнительно глубоко расположенные электроны экранированы от влияния соседних атомов внешними электронами, в результате чего ноны могут вести себя в магнитном отношении подобно атомам разреженного газа. э) Такой случай осуществляется для ионов Еп»тт в солях европия (ср. второе примечание на предыдущей странице). 187 5 52 млгнвтизы ГАЭОВ производить затем так, как если бы она представляла собой жесткий классический магнитный диполь (см. задачи) ') .
Задачи 1. Определить магнитную восприимчивость одноатомного газа в случае, когда инторвшгы тонкой структуры основного герма атома малы по сравнению с Т. Р е ш е н и е. В этом случае усреднение в (52.6) должно производиться по всем комгюнентам основного мультиплета атома., причем больцмаиовские множители (ехр( — ел )Т)) для всех этих компонент можно считать одипа<ог ковыми. Тогда .1г УЛХ ~, ))ЛХ )~г где усреднение производится по всем значениям .) и ЛХг (при заданных значениях о и Ь).
Результат такого усреднения не зависит, однако, от того, производится ли оно после или до сложения моментов Я и Ь в 3; другими словами, можно вычислять его и как Аг )(Мг ЛХу)ш )МлЛХу)(г с независимыми усреднениями по ЛХг, и ЛХя. Заметив, что МяМг. = Л)з ЛХл = О, М' = (173) 5(Я -Ь Ц, ЛХг = (1ггЗ)Х(Л -Ь 1), получим Аг = Х)~[Хо(о -г 1)-У ЦЛ -Ь 1)). В выражении В (52.5) вторым членом можно цренебречгб первый же член (который мог бы быть большим ввиду малости его знаменателей - интервалов лгультиплета) обращается в нуль при усреднении по компонентам мультиплета: в сумме )(ХМ ~ ~уг)к)~г 1ог <ог берущейся теперь по вселю числам,), .)', Мг, ЛХг, взаимно уничтожаются члены, отличающиегя друг от друга перестановкой Х и У.
Таким абрагом, восприимчивость дг х = — (45(я + 1) -ь Цл -ь 1)). ЗТ 2. Определить магнитнукг восприимчивость )шухатомного газа, когда интервалы тонкой структуры основного электронного герма молекулы ве- лики по сравнению с Т ) . Р е ш е н и е. В этом случае достаточно рассматривать только основной уровень молекулы — нижнюю компоненту основаого ллультиплета.
Средыео значение магнитного момента молекулы в состоянии с проекциями Л и В орбиталыюго момента и спина на ась молекулы: (ЛЕ~шрЛВ) = — гзп(Л+ 2Е), где и — единичный вектор вдоль оси молекулы, При классическом враще- ) Магнитный момонт, происходящий от движения ядер, Очень мал по сравнению с электронным, так что ям всегда можно пренебречь. ) При обычных температурах мультиплетные интерваты при этом заведомо велики по сравнению с интервалами вращательной структуры уровней, так что молекулярный терм относится к типу связи а (см. П1, 583).
188 идклльный газ гл, гс нни и', -= 1/3 и для магнитной восприимчивости находим Зэ ЗС = — (Л -> 2В)э. ЗТ 3. То же, если интервалы тонкой структуры малы по сравнению с Т (молекулярный терм относится к типу Ь). Р е ш е н и е. В этом случае должно быть произведено усреднение по всем кОмпонентам мультиплета. Диагональный матричный элемент в-првекции магнитного момента при заданных Л и кчгроекции спина ЛХэ (ЛЛХэ[ш„-[ЛЛХн) = —,3(п,Л+ 2ЛХк). Усреднив его квадрат по значениям ЛХя и направлениям и, получим для восприимчивости т = гЗ /(ЗТ) [Л~ + 4Я(о + Ц[. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
