V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Определить магнитную восприимчивость газа МО. Основной электронный терм молекулы эП (т. е. Л = 1, Я = 1/2), причем интервал Л между компонентами дублета сравним с температурой Т ') . (э'. ХХ. Рап Иесй, 1928). Р е ш е н и е. Здесь при усреднении в (52.б) надо учитывать обе компоненты дублетного уровня с различными больцмановскими множителями.
Диагональные матричные элементы магнитного момента для двух состояний [ЛХ) (1, — 1/2[1 -~-28[1, — 1/2) = и — 2-и = О, 1 2 (1, 1/2[1 -> 28[1, 1/2) = 2п. Отсюда .4э = (4/4э/3)(е 2г)/(1+ е Х ). Оператор Е пс имеет матричных элементов для переходов между этими двумя состояниями (поскольку при переходе меняется Е без изменения Л). Недиагональные же матричные элементы оператора 2о, (1,1/2[25,[1,— 1/2) = (1,— 1/2[25,[1,1/2) = — 1 вшр, где 0 — угол между и и осью э) .
Согласно (52.5) (где снова пренобрегаем вторым членом), имеем В = (2бв/Л)(2/З)(1 — е ~1г)/(1+ е 1г) (множитель 2/3 — от усреднения гйп й). Полное выражение для восприим- чивостн приводится к виду у = ф /(ЗТ)/(Ь/Т), /(х) = (4[1 — е '(1 — х)))/(я(1+ е ")). ') Он составляет 45 = 180 Л, Нижней компоненте дублета отвечает проекция спина на ось Е = — 1/2, а верхней — Е = 1/2. Терм относится к типу о. в) Оператор Й = гт/2, где сг --. матрицы Паули с направлением квантования (1 01 вдоль оси молекулы (т.е.пс = (0 1), если 50( -. координатные оси с осью б вдоль и) .
ГЛАВА Ъ' РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ 9 53. Распределения Ферми Йь = — Т1п~ ~[ехр( ) ] г (53.1) ос. поскольку энергия пл частиц в Й-и состоянии есть просто пяаь. Согласно принципу Паули числа заполнения каждого состояния ' ) Она была предложена Ферми (Е. Еегпгг, 1926) для гнгектронов, а ее связь с квантовой мехяпикой была выяснена Дираком (Р. А. Лг.
Рггас, 192б). Если температура идеального газа (при заданной его плотности) достато сно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой, и должна быть построена другая статистика, в которой средние чигша заполнения различных квантовых состояний частиц не предполагаются малыми. Эта статистика, однако, оказывается различной в зависимости от того, какого рода волновыми функциями описывается газ, рассматриваемый как система Аг одинаковых частиц. Как известно, волновые функции должны быть либо антисимметричными, либо симметричныыи по отношению к перестановкам любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц с полуцелымг а второй-- для частиц с целым спипом. Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули; в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой Ферми (или статистикой Ферми— Дглрака) ') .
Подобно тому как мы это делали в 937, применим распределение Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии, как уже указывалось в 937, это можно делать и при наличии обменного взаимодействия между частицами. Снова обозначим через Пь термодинамнческий потенциал этой системы частиц и, согласно общей формуле (35.3), будем иметь 190 РАС!ПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ могут принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому получаем йь = — Т1п(1+ ехр,, ). Поскольку среднее число частиц в систее|е равно производной от потенциала П по химическому потенциалу р, взятой с обратным знаком, то в данном случае искомое среднее число частиц в Й-и квантовом состоянии получится как производная — д11е е!" йь =— д1з 1 + е!Р или окончательно 1 па= 1,, ю/т 153.2) Это и есть функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми, или! как говорят коротко, для ферми-газа.
Как и следовало ожидать, все пь < 1. При ехр11)т— — еь)(Т~ << 1 формула 153.2) переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Распределение Ферми нормировано условием 153.3) где Х вЂ” полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал как функцию Т и Х. Термодинамический потенциал П газа в целом получается суммированием Йь по всем квантовым состояниям: П = — Т~~ 1п(1+ ехр ~ '). 153.4) й 54.
Распределение Бозе Перейдем теперь к изучению статистики, которой сюдчиняется идеальный газ, состоящий из частиц, описывающихся симметричными волновыми функциями, так называемой статистики Боге 1или статистики Бозе-Эйнштейна) ') . Числа заполнения квантовых состояний при симметрии волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произвольные значения.
Вывод функции распределения может быть ') Она была введена для световых квантов Бозе 1В. У. Вохе, 1924), а затем обобп!она Эйнштейном. 191 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЕРМИ- И БОЗЕ-ГАЗЫ сделан так же, как в предыдущем параграфе: Йь = — Т!и ~5 (ехр ) Стоящая здесь геометрическая прогрессия сходится только если ехр[(р — гь)(Т~ < 1. Так как это условие должно иметь место для всех еь 1в том числе и для гь = О), ясно, что во всяком случае должно быть и<0. Напомним в этой связи, что для больцмановского газа химический потенциал всегда имеет отрицательные (боль5пие по абсолютной величине) значения, а для ферми-газа 15 может быть как отрицательным, так и положительным. Суммируя геометрическую прогрессию, получим Йь = Т1п(1 — ехр" '').
д555 Отсюда находим средние числа заполнения пь = — —, дл (54.2) Это и есть функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе (или, как говорят для краткости, бозе-газа). Она отличается от функции распределения Ферми знаком перед 1 в знаменателе. Как и последняя, при ехр~(р — гь) (Т] << 1 она переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Полное число частиц в газе выражается формулой 154.3) ь а термодинамический потенциал Й газа в целом получается суммированием Йь по всем квантовым состояниям; Й =Т 1 1п(1 — ехр" '). (54 .1) 9 55. Неравиовесиые ферми- и бозе-газы Подобно тому, как это было сделано в з40, можно вычислить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из условия максимальности энтропии снова получить функции распределения Ферми и Бозе.
192 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ В случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа Лг не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа С. (все обозначения -- те же, что и в з 40). Число возможных способов распределения Лг одинаковых частиц по С состояниям (не более чем по одной в каждом) есть не что иное, как число способов, которыми можно выбрать Лг из С состояний, т.е. число сочетаний из С элементов по Лг. Таким образом, имеем ЬГ, = СД)МДС„- Лу)!]. (55.1) Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для логарифмов всех трех факториалов формулой (40.3)., найдем Я = ~~ ~С 1пС.
— Ц1иМ вЂ” (С вЂ” И ) 1п(С вЂ” Ц)). (55.2) Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний и. = Л' /С, получим окончательно следующее выражение для эйтропии неравновесного ферми-газа: Я = — ) СДп 1пп + (1 — пу )1п(1 — пз)]. (55.3) Из условия максимальности этого выражения с помощью уравнений (40.8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой и . = 1,11е" ~З" + 1], т.е., как и следовало., совпадает с распределением Ферми.
Наконец, в игучае статистики Бозе в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, так что статистический вес ЬГ. есть число всех способов, которыми можно распределить Х. частиц по С состояниям. Это число равно') ЬГ = 1(С + Л' — 1)!Я(С; — 1)!Лг!]. (55.4) ') Речь идет о числе способов размещения, скажем, Л', одинаковых шаров по С, ящикам. Изобразим шары в виде ряда последовательно расположенных Л, точек; ящики перенумеруем и изобразим условно границы между ними С, — 1 вертикальными черточками, расположенными в ряду точек. Так, рисунок ] "]]- изображает 10 гпаров, размещенных в пяти ящиках: 1 шар в первом ящике, 3 — во втором, Π— в третьем, 4 — в четвертом и 2 — в пятом. Всего число мест (на которых находятся точки илн черточки) в этом ряду есть С + Х, — 1.
Искомое число размещений шаров по ящикам есть число способов, которыми можно выбрать С, — 1 мест для черточек, т. е. число сочетаний из Х + С вЂ” 1 элементов по С вЂ” 1, откуда и получается приведенная в тексте величина. 193 З 55 ФЕРМИ- И БОЗЕ-ГАЗЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами С + йГ и С., получим л = 'у ((С +Х.)1п(С + Ц) — йУ 1п7у' — С 1пС ). (55.5) с,— ~ ЬГ, = (бз — г)" 9=~ С1 ГУ, у Мы исГГользуем эту формулу в дальнейшем, в 8 71. (55.7) а энтропия (55.8) й 56.
Ферми- и бозе-газы элементарных частиц Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, н,ли частиц, которые в данных условиях могут рассматриваться как элементарные. Как уже было в свое время указано, к обычным атомным или ллолекулярпьж| газам распределения Ферлли или 7 Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том У Вводя числа й, напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде Я = ~~> Су [(1+ йэ ) 1п(1 + и,;) — УВ 1п й;). (55.6) у Легко уоедиться в том, что условие максилпельпости этого выражения действительно приводит к распределению Бозе. Обе формулы (55.2) и (55.5) для энтропии в предельном случае Х, « С. переходят, естественно, в больцмановскую формулу (40.4). В больцмановское выражение (40.2) переходят также и статистические веса (55.1) и (55.4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить С,! = (С, — й5 )!С, ', (С, + Х, — 1)! = (С, — 1)!С, '.
Необходимо, однако., иметь в виду., что такой переход в статистических весах означает пренебрежение в них членами порядка Х~/Су, которые сами по себе, вообще говоря, не малы, но при логарифмировании эти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка Л /С .. Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важном предельном случае, когда число частиц в каждом квантовом состоянии велико (так что ЛГ » С ч и, » 1). Как известно из квантовой механики, этот случай соответствует классической волновой картине ноля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
