V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 39
Текст из файла (страница 39)
6 штриховой линией: она заметно отлична от единицы или пуля лишь в узком инторвале значений энергии е, близких к граничной энергии еи. Ширина этой, как говорят, зоны размытости распределения Ферми порядка величины Т. Выражения 157.6), 157.7) представляют собой первые члены разложения соответствующих величин по степеням к!алого отношения Т)Тр.
Определим следующие члены этого разложения. ' ) Температура вырождения, соответствующая плотности электронного газ, р ой С.е 762)2Х2, сост ляет 40 тоа ЗВ О б 104 УЗС2 1С. после подстановки а 1ЕЪ'/2у7)гсз и выражения 157.3) для ер дает условие теплОемкОсть вывожденного электРОннОГО ГА3А 201 1 58 В формулу (56.6) входит интеграл вида Д (е) Ж 1 — внт „1~ о где Т(8) -некоторая функция (такая, что интеграл сходится); в (56.6) 1"(8) = ез~~. Преобразуем этот интеграл, сделав подстановку е — р = Тяп дут 1= Т~(З=Т ( +Т ( 1(п+ Тв) ! 1(п — Тз)с(з / 1(п + ТЗУ(з е +1 е +1 / е" +1 — р(т о В первом интеграле пишем 1 1 =1— е '+1 е'+1 и находим и ~(е)де — Т ~ ™в + Т в е'+ 1 / е -81 о о о Во втором интеграле заменяем верхний предел бесконечностью, имея в виду, что р(Т >) 1, а интеграл быстро сходится') .
Таким образом, получим Д(д -Ь Тв) — 1(д — Тв) „ е' -1-1 Разлагаем теперь числитель подынтегрального выражения во втором интеграле в ряд Тэйлора по степеням е и интегрируем почленно: Т = т(е)йе+ 2Т Т'(р), + — Т тл'(р) +... о о ') Эта замена означает пренебрежение зкспоненциально малыми членами.
Надо иметь в виду, что получающееся ниже разложение (88.1) представляет собой асимптотичсский (а не сходящийся) ряд. 202 РАОНРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ ГЛ, к' Подставляя значения интегралов') к имеем окончательно 1 = //Е)с/Е+ ~Т Я/2) + — Ч4/и'(р) +,. о (58.1) ') Интегралы такого тина вычисляются скзедующнм образом: к †1 г 6 ".— 1 — к~~- ~ е" +1 о о =о = Г(х) ~ ( — )"~ — = П вЂ” 2' ')Г(х) ~ п' и* 4=1 о При целом четном х (х = 2п) к,-функция выражается через так называомые числа Бернулли В„, и получается 2 — 1 22 — 1 412 = я 'Ва.
е'+1 2п а Аналогичным образом вычисляются следующие интегралы: = Г(х)ь1х) 1х > 1). е — 1 о При целом четном х = 2п имеем '412 (2я)~" Во е" — 1 4п о Приведем для справок несколько верных чисел Бернулли и несколько значений ~-функций: 1 1 1 1 Вз = Вз= Во= В4 6 30 42 30 Г(З/2) = 2,612, Дак/2) = 1,341, ДЗ) = 1,202, Дб) = 1,037, Г(3/2) = ;/я/2к Г(5/2) = Зз/к/4. , -11 = (1 — 2' *)Г(х)~(х) (х > О), е'+ 1 о где Г(х) — С-функция Римана. При х = 1 это выражение дает неопределенносгтя значение интеграла 'з 59 твплОкмкОсть ВыРОждвннОГО электРОннОГО ГА3А 203 П=й — 1ГХ2~ ~ о— баз (58.2) Величина й при абсолютном нуле температуры обозначена символом йо.
Рассматривая второй член как малую добавку к По и выражая в нем д через Т и 1Г с помощью «нулевого приближенияв (57.5), мы можем непосредственно написать выражение для свободной энергии (согласно теореме о малых добавках (24.16)): (1 Ео й7Т( ) (58.3) где мы ввели для краткости обозначение =(И"в-,е (58.4) Отсюда находим энтропию газа (58.5) его теплоемкость') С=РЛТ(Ц"в (58.6) и энергию Е = Ео+ — й7Т ( — ) = Ее~1+0,18(не ) ( — ) ~ (58.7) Таким образом, теплоемкость вырожденного ферми-газа при низких температурах пропорциональна первой степени температуры. ) Мы не пишем индекса е или р у теплоемкости, так как в этом приближении С,, и С„совпадают.
Действительно, мы видели в 523, что если о стремится при Т Э О к нулю, как Т, то разность Ср — С, обращается в нуль,как Т "+; в данном случае, следовательно, С вЂ” С Тз Третий член разложения приведен для справок; здесь он нам не понадобится. Полагая в формуле (58.1) Т" = 5572 и подставляя в (56.6), получим искомый следующий член разложения потенциала Й при низких температурах: 204 РАС!ПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРЕ|И И БОЗЕ 8 59. Магнетизм электронного газа. Слабые поля Намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях складывается из двух независимых частей: из парамагнитной намагниченности, связанной с собственным (спиновым) магнитным моментом электронов (парпмагнспг!гвм Пирли, ИУ.Рип(!! 1927) и из диамагпитной намагниченности, связанной с квантованием орбитального движения электронов в магнитное! поле (дпампгненчивм Лап!дпу, 1930).
Вычислим соответствующие магнитные восприимчивости, предполагая газ вырожденным: теьшература Т « ер. Условие слабости магнитного поля означает, что должно быть (см. ниже) (3Н « Т, где /э' = ~с~6/(2!г!с) — магнетон Бора' ) . Для вырожденного газа термодинамические вычисления удобнее производить в независимых переменных Т, 1', р (вместо переменных Т, 1г, Х).
Соответственно этому вместо формулы (52.1), использованной при вычислении магнитного момента больцмановского газа, здесь мы будем! вычислять его как производную (59.1) от термодинамического потенциала й. Определим сначала парамагнитную часть восприимчивости. Дополнительная (спиновая) энергия электрона в магнитном поле равна лрН, где два знака отвечают двум значениям (л1/2) проекции спина на направление поля. Статистическое распределение электронов в магнитном поле отличаетсл, следовательно, от распределения в отсутствие поля заменой энергии е = рг/2ьч на г = р2/2т ~ рН. Но поскольку г входит в распределение в комбинации г — р с химическим потенциа!юм, то эта замена эквивалентна замене и на д~/4Н.
Поэтому !ютенциал й электронного газа в магнитном поле может быть предо~вален в виде й(р) = -йо(!г+ДН) + йо(р /1Н) (59.2) 1 1 2 2 где йо(д) потенциал в отсутствие поля (аргулгенты Т, 1' для краткости не выписываем); два члена в этой сумме отвечают совокупностям электронов с различными проекциями спина, а множители 1/2 учитывают уменьшение вдвое числа квантовых ') В обратном случае высоких температур (Т» ег ) электроны образуют больцмановский газ, и парамагнитная часть его восприимчивости, отнесенная к единице объев!а! т„,р, — — ут'бе/Ъ'Т (формула (52.8) с 8 = 2, д = 1/2).
205 МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. СЛАБЫЕ ПОЛЯ и дифференцирование дает дз (2т) 9гг е,— д г (59.5) ХБАРА = (2 газ = зяз Обратимся к вычислению диамагнитной восприимчивости. Уровни энергии орбитального движения электрона в магнитном поле даются выражением е = ~ + (2п+1)дН, (59 б) 2т где и = 0,1,2,..., а р, импульс в направлении поля пробегает непрерывный ряд значений от — со до ОО (см. 1П, 2112).
ПРи этом чиГзю состоЯний в интеРвале 99Рз НРи кажДом заДанном значении и есть (59.7) (2ягг)зс где множитель 2 учитывает два направления спина. Выражение (53А) для потенциала Й принимает вид П = 2ДН ~ Д19 — (2п + 1)дН) 9 (59.8) г99З = — ",', 1 0 (г.к- р( — — р' )Дгрр. И9.9) состояний электрона при фиксировании значения проекции его спина. Произведя в (59.2) разложение по степеням дН, получим дзгг ( ) П(д) = По( )+ -,'д2Н (59.3) дгз 2д 999 откуда магнитный момент !199 = — НД, . Но производная д/м' дП/д19 = — Х, так что парамагнитная восприимчивость, которую в этом параграфе относим к единице объема газа: дп' 'р дн тх Пренебрегая лзалым (при'Г « гг) температурным эффектом, т.
е. считая газ полностью вырожденным, имеем из (57.3) )згз (з за') ' 206 РАС!ПРЕДЕЛЕНИЯ ЩБРМН И БОЗЕ Сумму (59.8) можно вычислить с требуемой точностью с помощью формулы ') 2 Р( «-') =)Р[*!«*« — 'Р[Щ. [!!!Щ П=О о Условие применимости этой формулы состоит в малости относительного изъленения функции Г на однсал шаге (и — луг+1).
В применении к функци!л (59.9) оно сводится к требованию ,9Н « Те) . Применив (59.10) к сумме (59.8), получим П = 2~1Н ~()л — 2ДНх)дх + о (2дН) д 1(д) х ю з 24 дд Первый член не содержит Н, т, е, представляет собой потенциал йо(44) газа в отсутствие поля. Таким образом, ) Р2Н2 о(Р) (59 11) 6 др~ и отсюда восприимчивость х) д деПе 1 Ххяа = = Хпара ° 31г д!' 3 (59.12) ) Согласно известной формуле суммирования Эйлера — Ыаклореца 1 -Г(о) -Р 2 Г(а Л- и) — / Г(х) «1х — — Г (а).
!' 1 (59.10а) 2 ./ 12 Формула (59.10) получится отсюда, егти положить а = 1/2 и представить функцию Г(х) в интервале 0 < х < 1!!2 в виде Г(х) Г(0) + хГ'(О). ) Н противном !случае у!лениг нарушаетгя в «опасней« области !иачгний и, для которых разность и — (2п + 1),ЗН близка к нулю. Эта область приводит (см.
следующий параграф) к появлению в П быстро осциллирующих (как функция от Н) членов. Эти члены исчезнут, если произвести усреднение ряда (59.8) по некоторому интервалу 1аН такому, что изменение аргумента и — 2диН (вблизи точки, где и — 2дпН вЂ” О) будет существенно болыпе, чем разность его двух соседних значений: дН « идЬН р«5Н(Н или с«Н/Н» дН(1!. После этого формула (59.10) станет вновь применима, и получающийся с ее помощью результат будет ограничен лишь условием 811 «и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
