V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Статистический вес (55.4) приобретает вид 194 РАОНРЕЛЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ ГЛ. Е Бозе вообще не приходится применять, так как эти газы фактически всегда с достаточной точностью описываются распределением Больцмана. Все выводимые в этом параграфе формулы имеют совершенно аналогичный вид для обеих статистик Ферми и Бозе, отличаясь лишь одяим знаком. Ниже везде верхний знак соответствует статистике Ферми, а нижний-- статистике Бозе. Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которос всегда квази- классично.
Поэтому имеем (56.1) Интегрируя по Л' (что сводится к замене 41Г на полный объем Ъ' газа), получим распределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение по абсолютной величине импульса ,~,,Г Ф'г'4г 2л~аз1ео Рнг .е П (56.3) (где е = р /2т), или распределение по энергии Е1ГГН З/Е ИЕ ЗГГ2л2ал Р~ -Рпт Р 1' (56.4) Эти формулы заменяют классическое распределение Максвелла. Интегрируя (56.4) по Ж, получим полное число частиц в газе а в функции распределения переходим обы шым образом к распределению по фазовому пространству частицы. При этом надо иметь в виду, что при данном значении импульса состояние частицы определяется также направлением ее спина.
Поэтому число частиц в элементе фазового пространства др,дредр,д1' получится умножением распределения (53.2) или (54.2) на дг,,дг„лРГГП' К К 12ЕЯ)з где я= 2Б+1, Б спин частицы, т.е. равно йХ = (56.2) 195 ФЕРМИ- И БОЗЕ-ГАЗЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 2 56 (56.6) ') Если по выражению (56.9) вь2числитв энергию как д22 д22 К=Мр+тд-Р1Г= — и — — т — +а, ди дт то мы снова получим соотношение (56.8). Вводя новую переменную интегрировани е(Т = е, перепишем это равенство в виде 2А2 8(гп 2 ') / ч2в дв (56 5) ,22„252 / с -ест Э-2 ' о Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал газа р, как функцию от температуры Т и плотности йг221г.
Совершая такой же переход от суммирования к интегрированию в формулах (53.4), (54.4), получим следующее выражение для потенциала й: й = ~ 8 А2251п(!же~И ')~ )с)5. ч'22г2 52 / о Интегрируя по частям, находим 2 82' 7п е де й= —— 8 ч22„252 ( — ЮГт ~1' о Это выражение совпадает с точностью до множителя — 2/3 с полной энергией газа, равной 3224 о о Имея также в виду, гто й = — РУ, получаем, таким образом, следующее соотношение: РЪ' = (2/3) Ь'. (56.8) Будучи точным, это соотношение должно выполняться и в предельном случае больцмановского газа: действительно, подставляя больцмановское значение Е = 3121Т)2, получим уравнение Клапейрона.
Из формулы (56.6), сделав подстановку е(Т = е, найдем, что й = — РИ = Ъ'ТА2 ~()2~Т), (56.9) где 1" -- функция от одного аргумента, т. е. й,%' есть однородная функция )2 и Т порядка 5222') . Поэтому. 196 РАОНРелеления ФБРми и БОзе ГЛ. Е однородные функции 13 и Т порядка 3/2, а их отношение О/тз| однородная функция нулевого порядка: О'/Х = р(Р/Т). Отсюда видно, что при адиабатичсском процессе (О = сопв1) остается постоянным отношение д/Т, а поскольку 22|/Ъ'Т~~~ тоже есть функция только от д/Т, то и Ъ Т ~ = сонэк. (56.10) Тогда из (56.9) следует, что РЪ' | = со||Б$, (56.11) а также и Т'22/Р = сопв1. Эти равенства совпадают с уравнением адиабаты Пуассона (43.9) для обьгшого одноатомного газа. Подчеркнем, однако., что показатели степени в формулах (56.10)., (56.11) не связаны теперь с отношением тсплоемкостей (поскольку несправедливы соотноп|ения с„/с, = 5/3 и ср — с„= 1).
Формула (56.6), переписанная в виде И~Г2т Т 2 |Ь 3|2 3|2 Г 3|2 (56.12) Зезаз о вместе с формулой (56.5) определяют в параметрическом виде (параметром является д) уравнение состояния газа, т.е. связь между Р, Ъ' и Т. В предельном случае больцмаповского газа (чему соответствует е"2т « 1) из этих формул получается, как и должно было быть, уравнение Клапейрона. Покажем это, вы"плслив одновременно также и первый поправочный член разложения в уравнении состояния.
При еи/т « 1 разлагаем подынтегральное выражение в (56.12) в ряд по степеням е|2/т ' и получаем, сохраняя два первых члена разложения, | з|23 ( з|2 р/т — и (1 . р/т — 2) 1 е "| ~1,/ о о Р"22 1 ~ ер/т ) 4 | 232 Подставляя это в (56.12), имеем 3!2тзтз Р' Т* р/т ( 1 23/т) 22, )3!233 | + 23!2 197 ВЫРО2КДВННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ъ 57 Если сохранить лишь первый член разложения, то получим в точности больцмановское значение химического потенциала одноатомного газа (формула (46.1а). Следующий же член дает искомую поправку, так что можно написать: Злъублъ (56.13) Но малые добавки ко всем термодинамическим потенциалам (вьъраженные через соответствующие переменные, см.
(24.16)), одинаковы. Поэтому, выразив поправку в ъъ через Т и Р' (что можно сделать с той же точностью с помощью больцмановских выражений), мы полу.чим поправку к свободной энергии: 272 А7262 = 2'больц ~ П2 272 ° (56.14) Зх ътн' Наконец, дифференцируя по объему, полу ъим искомое уравнение состояния (56.15) Условие малости поправочного члена в этой формуле совпадает, естественно, с угловтюгн (45.6) применимости статистики Больцмана. Таким образом, отклонения свойств идеального газа от классических, возникаюшис при понижении температуры при заданной плотности (как говорят, при начинакнцемся его вырождении), ведут в статистике Ферми к увеличению давления по сравнению с его значениеъь в обычном газе: можно сказать, что квантовомеханические обменные эффекты приводят в этом случае к появлению некоторого дополнительного эффективного отталкивания между частицами.
В статистике же Бозе величина давления газа отклоняется в обратную сторону — в сторону уменыпения по сравненнъо с классическим значением; можно сказать, что здесь появляется некоторое эффективное притяжение между частицами. й 57. Вырожденный электронный газ Важное принципиальное значение имеет изучение свойств ферми-газа при достаточно низких температурах. Как мы увидим ниже,. теыпературы, о которых при этом идет речь, фактически могут ощс быть., с других точек зрения, весьма высокими. Имея в виду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить ниже об электронном газе; соответственно этому полагаем я = 2 (спин В = 1/2).
198 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Л =,', р'"др= ",, о откуда для граничного импульса имеем рн=(З -2)1 "( — ') "й (57.2) и для граничной энергии з РР (8 2)2/3 а (~~~) (57.3) Эта энергия имеет простой термодипамический смысл. В согласии со ока:занным выше функция распределения Ферми по квантовым состояниям (с определенными значениями импульса р и про- 1 екции спина) 1 и Р Р( -Рит (57.4) — в пределе Т вЂ” Р 0 обращается в «стуРис. 6 пенчатую» функцию: единица при е ( 12 и нуль при е ) 11 (на рис. 6 эта функция изображена сплошной линией). Отсюда видно, что НЕ1нем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение.
Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, величина которой определяется чиш1ом электронов в газе. С учетом двукратного (8 = 2) спинового вырождения уровней, число квантовых состояний электрона движущегося в объеме 1' с абсолютной величиной импульса в интервале между р и р + ор, равно 24ч' 4Р" 1гг 4' (57 1) 12, а)з .заз Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения р = рр, об этом значении говорят как о радиусе ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях 199 Выгожденный электРОнный ГАз 7 57 химический потенциал газа при Т = 0 совпадает с граничной энергией электронов; р = ен.
(57.5) Полная энергия газа получится умножением числа состояний (57.1) на рз/2т и интегрированием по всем импульсам: р р= ~ / о или, подставив (57.2): З<З ')"'Й2 7Л у'7а 10 ш р (57.6) По общему соотношению (56.8) находим, наконец, уравнение состояния газа Р = — ( —,) . (57.7) Таким образом, давление ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5,73. Полученные формулы (57.6), (57.7) применимы приближенно также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю.
Условие их применимости (условие «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости Т по сравнению с граничной энергией ее, (57.8) Это условие, как и следовало ожидать, противоположно условию (45.6) применимости статистики Больцмана. Температуру Те — ее называют температурой вырождения. Вырожденный электронный газ обладает своеобразной особенностью — он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедиться следующим образом. Рассмотрим плазму-- газ, состоящий из электронов и соответствующего количества, положительно заряженных ядер, компенсирующих заряд электронов (газ из одних только электронов был бы, очевидно, вообще неустойчивым; выше мы не говорили о ядрах, поскольку вследствие предполагающейся идеальности наличие ядер не сказывается на термодинамических величинах электронного газа).
Энергия кулонового взаимодействия электронов с ядрами (отнесенная к одному электрону) порядка величины Яе,7п, где Яе.-- заряд ядра, а а, (е у',7Х) 7 -среднее 200 РАС!ПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРЕ|!! И БОЗЕ расстояние между электронами и ядрами, есст!Овне идеальности газа заключается в требовании малости этой энергии по сравнению со средней кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией еи.
Нера- венство 2 « ЕР а ( 2 ) 157.9) Мы видим, что это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа Л',%"). Задача Определить число столкновений со стенкой в электронном газе при абсолютном нуле температуры. Р е ш е н и е. Число электронов Св единице обьема) с импульсами в интервале 44р, направленными под углом д к нормали к стенке в интервале 44д, есть 2 2хмпд!)др !)р ~2ха)2 Искомое число столкновений и !отнесенное к 1см2 стенки) получается умножением на с соз д Св = р)2п) и интегрированием по с)д в пределах от 0 до кс!2 и по 4)р- от 0 до рг. В результате найдем 10 4хр/ й 58. Теплоемкость вырожденного электронного газа При температурах, низких по сравнению с температурой вырождения ТРЗ функция распределения 157.4) имеет вид, изображенный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
