V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 53
Текст из файла (страница 53)
З 42), получим Если обозначить символом Я„ту часть суммы Я, которая Ф связана со взаимодействием частиц, то можно написать Й в виде аг 2 Рассматривая второй член как малую добавку к первому и выражая его через Т, И и гг~ (с помощью формулы (45.5) для химического потенциала идеального газа), получим для свободной энергии выражение Дифференцируя по И, получим давление., причем интересующая нас обусловленная взаимодействием атомов часть вириального коэффициента равна (77.3) Спектр уровней энергии е состоит из дискретного спектра отрицательных значений (соответствующих финитному относительному движению атомов) и непрерывного спектра положительных значений (инфинитное движение). Первые обозначим сиегволоел е„; вторые же можно написать в виде р2/т, где р .
импульс относительного движения атомов, разошедшихся на болыное расстояние друг от друга. Сумма (г )!/Т по дискретному спектру входит в 2 „целиком. Из интеграла же по непрерывному спектру надо отделить часть, соответствуюшую свободному движению невзаимодействующих частиц. Для этого применим следующий прием. На больших расстояниях ! радиальная волновая функция стационарного состояния с орбитальным моментом 1 и положи- ~ тт авязь вигилльного кок ььицикнтл а лмнлиткдой глсакяния 277 тельной энергией р /т имеет асимптотический вид соввс . Г р 1я — в1гпл-г — — '+ 4)., г и 2 где фазы б~ = б~(р) зависят от конкретного вида поля 012Сг) Сом.
П1, 2 33). Положим формалыю, что область изменения расстояния г ограничена весьма большим, но конечным значением Л. Тогда импульс р сможет принимать лишь дискретный ряд значений, определяющихся грани*шым условием, требующим обращения ф в нуль при г = Л: р йг -Л вЂ” — +6~ =вя, 6 2 где в — - целые числа. Но при большом Л ряд этих значений очень густ, и в сумме можно перейти к интегрированию. Для этого при заданном 1 умножаем суммируемое выражение на 1 (В ~У~) и интегрируем по с1р, после чего результат должен еще быть умножен на 21 + 1 (кратность вырождения по направлениям орбитального момента) и просуммирован по й — р'! т 1 ~~, «г21 + 1) / (и + ~~~ ) — р'7~т 1, я О Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе и не обладающих спином, координатные волновые функции должны быть симметричными; эяо значит, что допустимы лишь четные значения 1, так что суммирование по 1 производится по всем четным числам.
При свободном движении все фазы б~ = О. Поэтому выражение, остающееся при д~ = О, есть та часть суммы, которая должна быть отброшена как не связанная со взаимодействием атомов. Таким образом, получаем для искомого У,в следуклцее выражение: Я„= ) е~'"~7 + — ~ ~1 (21+ 1) — 'е. "7"' Йр, С77.4) 7г вр п о 278 гл, еп НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ а виРиальный коэффиЦиснт В = В ем + В„з Равен В(Т) = --,,'( — '" ) (1+ 1бк,э).
(77.5) Как известно, фазы б~ определяют амплитуду рассеяния частиц, движущихся в поле бгГз(г), согласно формуле') ~(0) = — ~ (2~+ 1)(еве~~ — 1)Р~(сов 0) 2~р Стоящая же слева сумма как раз входит в нодынтегральное вы- ражение в (77.4), и в результате его тюдстановки (и интегриро- вания по частям в одном из членов) получим хвз = ~) е~"~7~+ Рве " 7~ Ц(0) + /*(0)]с~Р+ твгоТ,( о 0 +, р е "7~ (~ — — 7"* — т')Г)рс)о. (77.6) Если в поле ГУГЗЯ имеются дискретные уровни, то при достаточно низких температурах температурная зависимость В(Т) будет в основном определяться экспоненциально возрастающей с уменьшением Т суммой по дискретным уровням.
Дискретные уровни, однако, могут и отсутствовать вовсе; тогда вириальный коэффициент будет зависеть от температуры по степенному закону (если учесть, что при р — э О амплитуда рассеяния стремится к постоянному пределу, то легко найти, что ') Сль Ш, З 123. Сечение рассеяния в элемент телесного угла до есть (у(д)еде. где Р~ полиномы Лежандра, 0 угол между направлениями падения и рассеяния; суммирование в данном случае производится по всем четным значениям Е В связи с этим оказывается возможным выразить интеграл в (77.4) через амплитуду рассеяния.
Именно, легко проверить непосредственной подстановкой выражения для Д0) справедливость следующего соотношения: твгмодинамичкскив величины класоичкской плазмы 279 3 78. Термодинамические величины классической плазмы Изложенный в 375 метод вычисления термодинамических величин неидеального газа заведомо непригоден для газа, состоящего из заряженных частиц, взаимодействующих по закону 1'улова, так как в этом случае входящие в формулы интегралы расходятся. Поэтому такой газ требует особого рассмотрения. Рассмотрим полностью ионизованный газ (плазма).
Заряды его частиц будем обозначать через яае, где индекс а различает различные сорта ионов (е — элементарный заряд, я — положительные и отрицательные целые числа). Пусть далее п,о есть число ионов а-го сорта в единице объема газа.
Газ в целом, разумеется, электрически нейтрален, т.е. яаггао — (). Е а (78.1) Будем считать, что газ слабо отклоняется от идеальности. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы средняя энергия кулоновского взаимодействия двух ионов ( (ге)з/г, где при достаточно низких температурах В будет определяться в ОСНОВНОМ ЧЛЕНОМ Воем). Отметим, гго в случае слабого взаимодействия, когда столкновения частиц могут быть Описаны борновским приближением, амплитуда рассеяния мала, и третий член в (77.6), квадратичный по этой амплитуде, хюжет быть опущен.
При слабом взаимодействии отсутствуют связанные состояния, а потому отсутствует и первый член в (77.6). Используя известное выражение для амплитуды рассеяния одинаковых частиц в борновском приближении, легко убедиться в том, что выражение для Р в точности совпадает с формулой (32.3) (без квадратичного члена), как и должно было быть в этом слу'гас.
Задача В кввзиклвссическом случае определить квантовую поправку (порядка йа) в виривльном коэффициенте В(Х) одноатомного газа. Р е ш е н и е. Поправка к классической свободной энергии даатся формулой (33Л5). Учитывая, что в данном случае осуществляется лишь парное взаимодействие атомов и что Ь'1а - функция только расстояния между атомами, найдем В я~ НПш — гтпт 2 ( '-- -"./(') а Это выражение представляет собой поправку к основному, классическому значению, даваемому формулой (74.5). Отметим, что В > О.
280 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ГЛ. ВН т и Ив среднее расстояние между ионами) была мала по сравнению со средней кинетической энергией ионов ( Т). Таким образом, должно быть 1ве)2П'7з « Т или п«( ее) 178.2) где ~р потенциал поля, действующего на ион а-го сорта со стороны остальных зарядов. Для вычисления этих потенциалов поступим следующим образом ') . Каждый из ионов создает вокруг себя некоторое 1в среднем сферически-симметричное) неравномерно заряженное ионное облако. Другими словами, если выбрать какой-либо из ионов в газе и рассматривать плотност1 распределения остальных ионов относительно данного, то эта плотность будет зависеть только от расстояния Г от центра. Обозначим плотность распределения ионов (а-Го сорта) в этом ионном облаке через и„.
Потенциальная энергия каждого иона а-го сорта в электрическом поле вокРУг Данного иона есть еае1Р, гДе 1Р потенпиал этого поля. Поэтому., согласно формуле Больцмана 138.6), имееки Па = Павех)З( — ). (78.4) ') Излагаемый метод был применен Дебаем и Хюккелем для вычисления термодинамических величин сильных электролитов 1Р. РеЬуе, Е. Нйсре), 1923). Ввиду электронейтральности плазмы среднее значение энергии кулоновского взаимодействия ее частиц, если бы все они были равномерно распределены в пространстве независимо друг от друга, обратилось бы в нуль.
Поэтому первые поправки в термодипамических величинах плазв|ы 1по сравнению с их значениями в идеальном газе) возникают только при учете корреляции между положениями разлп п1ых частиц. С целью напомияать об этом обстоятельстве, будем называть эти поправки коррелл11иОННЫЛ1 и. Начнем с определения поправки Е,р в энергии плазмы. Как известно из электростатики, энергия электрического взаимодействия системы заряженных частиц может быть написана в виде половины суммы произведений зарядов па потенциалы поля, создаваемого в точках их нахождения всеми остальными зарядами. В данном случае 1 х-~ Екор = 1 ' 7 ееапаотаа,~ 2 (78.3) тиемодинамичкокив величины класоичкской плазмы 281 Постоянный коэффициент положен равным п,с, так как вдали от центра (где ~р — 7 0) плотность ионного облака должна переходить в среднюю ионную плотность в газе. Потенциал р поля в ионном облаке связан с плотностью заРЯдов в нем (Равной 2„егапа) электРостатическим УРавнением Пуассона Ь~Р = — 477е ~~) гапа.
(78.5) а Формулы (78.4), (78.5) составляют вместе систему уравнений самосогласоеа777еого электрического поля электронов и ионов. При сделанном нами предположении об относительной слабости взаимодействия ионов энергия ег уе мала по сравнению с Т, и формулу (78.4) можно написать приближенно в виде п,аее, Па = 77ао 9~' т (78.6) Подставив это выражение в (78.5) и имея в виду условие (78.1) нейтральности газа в целом, получим уравнение еукр — 77 ее = О, где введено обозначение 4ееа х 77 = .7 Пасе а' а (78.8) Величина 77 имеет размерность обратной длины. Пентрально-симметричное решение уравнения (78.7) есть е уа = сопв$. уе = егье "!7'. (78.9) Отсюда видно, кстати, что поле становится очень малым на расстояниях, болыпих по сравнению с 1/77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
