V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поэтому длину 1/7е можно рассматривать как определяющую размеры ионного облака, создаваемого данным ионом (ее называют дебаевскиле рпди77сом). Все производимые здесь вычисления, конечно, предполагают, что этот радиус велик по сравнению со средними расстояниями между ионами (это условие совпадает, очевидно, с условием (78.2)). В непосредственной близости от центра поле должно переходить в чисто кулоновское поле данного заряда (величину которого обозначим как гье). Другими словами, при достаточно малых т Должно быть О7 = егь777, поэтомУ наДо положить сопв$ = гье, так что искомое распределение потенциала дается формулой 282 НКИДЕАЛЪНЫК ГАЗЫ ГЛ.
Кн Екор = зсе ~~1 гьаов = )Ге ЗЯТ'( э гьаоя~) ° 1178.10) или, вводя полныс числа различных ионов в газе Х, = паоЪГ: Е„ор — — — Е' Ъ7я/ТГ( ~2 Х~З„) . (78.11) а Эта энергия обратно пропорциональна квадратному температуры и из объема газа. Е Интегрируя термодинамическое соотношение— т2 можно найти из Е„р соответствующую добавку к энергии: корню из д Е Гтт' свободной (78.12) а (постоянную интегрирования надо положить равной нулю, так как при Т вЂ” + со должно быть Е = Е„д).
Отсюда давление Р Хт . Г7 (ЕХ 2)З/2 (78.13) где Х = 2„ЛГ . Термодинамический потенциал Ф можно получить из Е с полющью теоремы о малых добавках (как это было сделано и в 874), т.е. рассматривая второй глен в (78.12) как малую добавку к Еяд и выразив се с нужной точностью через переменные Р и Т'): Ф = Ф„д — — ( — ) ( ~2 Х„д~) . (78.14) ) Для перехода от (78.11) к (78.12) такой способ не мог быть применен, поскольку энергия (78.11) не была выражена через необходимые для этого переменные о и 1'.
Разлагая потенциал (78.9) в ряд при малых ит, найдем 72 = едЬ|» — едЬзг+ Опущенные члены обращаются при г = 0 в нуль. Первый член есть кулоново ноле сакиого данного иона. Второй >ко член есть, очевидно, потенциал, создаваемый всеми остальными ионами облака в точке нахождения данного иона; это и есть та величина, которая должна быть подставлена в формулу (78.3): 1д„= — ед тг. Таким образом., мы получаем следующее выражение для корреляционной части энергии плазмы: МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ~ 79. Метод корреляционных функций Преимущество изложенного в предыдущем параграфе метода Дебая — Хюккеля состоит в его простоте и физической прозрачности. С другой стороны, его основной недостаток заключается в невозможности обобщения для вычисления следующих приближений по концентрации. Мы изложим поэтому вкратце также и другой метод, предложенный Н.
Н Боголнэбовым (1946), хотя и более сложный, но позволяющий в принципе вычислить также и следующие члены разложения термодинамичсских величин. Этот метод основан на рассмотрении так называемых корреляционныш функций между одновременными положениями нескольких частиц в заданных точках пространства. Простейшей и наиболее важной из них является бинарная корреляционная функции ищ, пропорциональная вероятности найти одновременно две частицы (иона) в заданиых точках гв и гв (оба иона а и б могут быть как одного, так и разных родов).
Ввиду изотропии и однородности газа эта функция зависит, конечно, лишь от г = ~га — гв~. Мы выберем нормировочный коэффициент в функции пэвк таким образом, чтобы она стремилась к единице ПРИ Г -+ ОО. Если функция ш„а известна, искомая энергия Е р может быть найдена путем интегрирования по очевидной формуле') '„т У У 11 .,«.МУВ (7кс о,.е где суммирование ведется по всем родам ионов, а и„ь — энергия кулоновского взаимодействия пары ионов на расстоянии г.
Согласно формуле распределения Гиббса функпия юае дается следующим выражением: шва = „. ( ехр "' с1Ъ'1с11в...с1'Уч я, (79,2) Т-Т„,— 1У а — .л — э/ Т где О' энергия кулоновского взаимодействия всех ионов,а интегрирование производится по координатам всех ионов, за исключением двух данных ионов. Для приближенного вычисления этого интеграла воспользуемся следующим приемом. Дифферснцируем равенство (79.2) по координатам иона б: Ж: / ' тнаьА1с (79 З) дгв Т дгэ рТ / дге с ') Сама по себе эта формула не связана, конечно, с кулоновским характером взаимодействия частиц и предполагает лишь его парность.
284 НЕИДЕАЛЪНЫЕ ГАЗЫ ГЛ.' Н 2Л!абс = ШЕЬШбсюас. В том же приближении мы можем считать, что даже пары чаСтнц НЕ НаХОдятея НаетОЛЬКО бЛИЗКО друГ К друГу, ЧтОбЫ и2аб существенно отличались от единицы. Вводя малые величины с!2аб — 222аб (79.4) и пренебрегая их высшими степенями, можем написать: П!ЕЬс = !'ьаб + Ь2бс + !'2ас + 1 ° (79.5) При подстановке этого выражения в интеграл в правой чаСтн (79.3) ОСтаЕтСя ТОЛЬКО ЧЛСН С Саа;, ОетаЛЬНЫЕ ОбращаЮтСя тождественно в нуль в силу изотропии газа.
В первом члене справа в (79.3) достаточно положить ш ь = 1. Таким образом, дыь 1диь 1 ~~ .. / диь дгь Т дгь 7ЧЕ ~-~ ',/ дгь с Возьмем теперь дивергенцию от обеих частей этого равенства, помня, что 2 ЕЬЕ иаб = Г г = гь — г„ и учитывая известную формулу еь — = — 4лд(г). После этого интегрирование становится трявна тьным ввиду наличия а-функции! и мы получаем 4 2 ~а2аб(Г) — а(Г) + ~' 2!сгса2ас(Г) (79.б) с Решение этой системы уравнений можно искать в виде ьь2аб(Г) = ЕаЕЬЬ2(Г) ! (79.
7) где суммирование в последнем члене производится по всем родам ионов, а и2 ь, тройная функция корреляции, определенная следующим образом: 1 Г 2габс А а / ЕХР "" Гь !ьеьь 2... Гь гбг а!,е — а/ т по аналогии с (79.2). Предполагая газ достаточно разреженным и рассматривая лишь члены первого порядка, можно выразить функцию тройной корреляции через бинарные корреляции. Действительно, пренебрегая возможностью всем трем ионам находиться вблизи друг друга, имеем 8 80 твгмодинамичвокик нкличины выгождвнной плазмы 285 в результате чего система сводится к одному уравнению г ,Ьоз(г) — яг ы(г) = — д(г).
т (79.8) Это окончательное уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (78.7) в методе Дебая — Хюккеля (член с 6-функцией в (79.8) соответствует граничному условию при г -+ О, накладываемому на функцию сг(г) в ('?8.7)). Решение уравнения (79.8): г е оз(г) = —— (79.9) г чем и определяются бинарные корреляционные функции в плазме. Для вычисления энергии достаточно подставить теперь тп 8 из (79.4), (79.7), (79.9) в (79.1). Переходя к интегрированию по относительным координатам двух частиц, находим 2 г Тг 0 (член 1 в юаа не дает вклада в энергию в силу условия электрической нейтральности плазмы). Произведя интегрирование вернемся к прежнему результату (78.11).
В следующем приближении вычисления становятся более громоздкими. В частности, предположение (79.5) теперь недостаточно, и следует ввести тройные корреляции, не сводящиеся уже к бинарным. Для них получается уравнение, аналогичное (79.3), содержащее теперь чстверные корреляции, которые, однако, в данном (втором) приближении сводятся к тройным') . 9 80. Термодинамические величины вырожденной плазмы В изложенной в 3 78 теоРии пРедполагалостч что плазма далека от вырождения, т. е.
подчиняется статистике Больцмана. Рассмотрим теперь ситуацию, когда температура плазмы настолько низка, что ее электронная компонента уже вырождена: 52 Т< — ну', (80.1) ) Члены следующего порядка в термодинамических величинах плазмы фактически вычислены (другим методом) А.А. Веденовым и А.И. Ларкиным (~КЭТеР. — 1959.— Т. 36. — С. 1133).
286 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ГЛ. Ен где т масса электрона (ср. (57.8)); при этом ионная компонента благодаря болыпой массе ионов может быть еще далека от вырождения. Напомним, что условие слабой неидеальности вырожденной плазмы состоит в требовании 2/2 2 х' « 1 (80.2) (см. (57.9)); оно выпо.2няется тем лучше, чем выше плотность плазмы. Для вырожденного газа удобнылхи переменными являются (помимо температуры Т и объема И) его химические потенциалы') ра вместо чисел частиц Х,.
Соответственно этому будем вычислять й — термодинамический потенциал по отношению к этим переменным. Отлхетиы, что химические потенциалы не являются при эхом все независимыми переменными; они связаны друг с другом одним соотношением, следующим из условия электрической нейтральности плазмы: дй ~ Еа.~а = ~ Еа = 0 др а а (80.3) Воспользуемся формулой выражающей производную от Й но некоторому параметру Л через среднее значение такой же производной от гамильтониана системы (ср. аналогичные формулы (11.4), (15.11)). В данном случае выберем в качестве параметра Л квадрат заряда е~. Гамильтониан плазмы содержит е~ в виде общего коэффициента в операторе кулоновского взаимодействия частиц Гх.
Поэтому ( — 2) = ( —.,) = —,(7У), (80.4) ) Определение понятия химических потенциалов компонент смеси см. в 885. так что вычисление Й сводится к вычислению среднего значения (Ц. Мы увидим, что в вырожденной слабо неидеальной плазме основную роль в поправках к термодинамическим величинам идеального газа играет обменная часть электрического взаимодействия электронов (которая в классическом случае несущественна и в 8 78 вовсе пе учитывалась). Имея это в виду, будем 0 80 тккыодинкмичкакик вкличины выгождкнной плкзмы 287 писать в операторе О лишь члены, описывающие кулоновское взаимодействие электронов. Вычисление (0) наиболее просто осуществляется с помощью метода вторичного квантования.
Следуя этому методу (см. 111 264,65), вводим систему нормированных волновых функций фр, описывающих состояния свободных электронов, движущихся в обьеме И с импульсами р и проекциями спина н(о = ~1/2). Импульс р пробегает бесконечный набор дискретных значений, интервалы между которыми стремятся к нулю при И вЂ” > оо. Далее вводим операторы ар,„н а~~ уничтожения и рождения электронов в состояниях фр, а с их помощью образуем ф-операторы Ф = Я,«0р ар«, Ф~ = ~~,~(>р а р' .
(80 5) р« як Кулоновское взаимодействие частиц имеет «парный» характер; оператор такого взаимодействия записывается в методе вторичного квантования в виде интеграла У = — Уф~(г>)>(>~(гэ) «(>(г2)>(>(г>)г1У~ВУ~. (80.6) 2 / 1 ~г1 — гг( Требуемое усреднение этого оператора производится в два этапа: сначала усреднение по заданному квантовому состоянию системы, а затем усреднение по равновесному статистическому распределению по различным квантовым состояниям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
