V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В слабо неидеальной плазме О играот роль малого возмущения. Вычислим среднее значение этой величины в первом прибли>кении теории возмущений, другими словами по отношению к состояниям системы невзаимодействующих частиц, т.е. идеального газа. Квантовомеханическое усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента.
После подстановки ф-операторов (80.5), оператор (80.6) представится в виде суммы членов, содср>кащих разлнчпыс произведения операторов рождения н уничтожения, взятых по четыре: Г = — ~~ (р>р>~Б>2~р>р2)ат,„ат, а а, (80.7) где суммировавание производится по всем импульсам и проекциям спина, а (р>р2)Г>2)р>р2) — матричные элементы от энергии взаимодействия двух электронов с>>2 = е /~г> — г2~; поскольку кулоновское взаимодействие не зависит от свинов, то эти элементы берутся для переходов без изменения проекций спипов электронов, т.е.
могут вычисляться по чисто орбитальным 288 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ Г.Ч. Ен функциям 1)2р — — е'р" 1 Из всех членов суммы (80.7) диагоналы1ые матричные элементы име1от лишь те, которые содержат две пары операто- РОВ Ор, ар+ С ОДИПаКОВЫМ|И ИНДЕКСаын., ПРИЧЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЕ а ~ ар заменяется просто числом заполнения данного квантовора раго состояния электронов ') . Положив р1 = ры рэ = рз, получим — [ 1Ю. 1) р1Ерэ а1а а положив рэ — — рз, рй — — ры О2 = Оз = О, члены 1 1 — l др' "')йз "2)1~ ' ' (80.9) 21' ~-~ ~-~ / 1Г1 — Г2 р1Фрэ а (знак минус возникает здесь в результате перестановки опе- РатОРОВ а~~ И Ор,, НУжНОй ДЛЯ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ р1а О рэао Р1а прэапр1а к ВИД) О р2апрэаО р1аор1а) напомним, что в случае фермионов эти операторы аптикоммутативны).
Члены (80.8) представляют собой просто энергию прямого кулоновского взаимодействия электронов, равномерно распределенных в пространстве. Как уже было отмечено в 878, ввиду электрической нейтральности плазмы эти члены в действительности тождественно сокращаются с аналогичными членами, выражающими энергию взаимодействия других частиц (ионов) друг с другом и с электронами (и в этой связи расходимость интеграла в (80.8) несущественна).
Члены же (80.9)., содержащие педиагональпые матричные элементы кулоновского потенциала, выражают собой искомый обменный эффект' ) . Имея в виду, что при макроскопическом объеме И импульсы электронов пробегают практически непрерывный ряд значений, можно перейти от суммирования по ры р2 к интегрированию по 129Фр2дзрв/(22Г6)в (нри этом ограничение р2 у'= рэ становится ) Что касается членов с произведениями четырех операторов с одинаковыми индексами, то их число неизмеримо мало по сравнению с числом членов с двумя различными парами одинаковых индексов, и их поэтому яе надо учитывать (вклад в 21 от этих членов содержал бы лишнюю степень 1/Г). ) Для лучшего уяснения структуры членов (80.8) и (80.9), обратим вии- МаНИЕ На тО, Чта В ПЕРВЫХ ИЗ НИХ ПаРЫ ОПЕРатОРОВ Ояю Ор С ОДИнаКОВЫ- ми индЕксами проиСходят от й-опвратеров, взятых в одной и той же точке пространства (г1 или г2); в членах же (80.9) эти пары происходят от 2)1-операторов, взятых в различных точках.
з 80 твгагодинлмичвакик вкличины вырождкнной плвзгяы 289 несущественным). Интеграл в (80.9) равен') йрг — рг)г)аггр 1. 4ябг (рг 1тг) В результате выражение (80.9) принимает вид г 3 2)г Уч прт тург ~ Рг~~ Рг д У У/ / ( )г 12к)вкв ' р Статистическое усреднение этого выражения производится (в рассматриваемом приближении) по равновесному распределению идеалыюго газа. Ввиду статистической независимости частиц идеального газа в различных квантовых состояни- ЯХ ПРИ ЭТОМ (Пр,вггргв) = Пр,цИрги, СРЕДНИЕ жс ЗиаЧЕНИ11 При даются формулой распределения Ферми пр„— — [е ' + 111 — (и — гг )11 1 — 1 ()ве -- химический потенциал электронов).
Наконец, поскольку получившееся выражение просто пропорционально е, то, согласно (80.4), оно непосредственно дает искомую поправку к термодинамическому потенциалу плазмы: 4тге 1 пру прг у) Ргтг Рг (80.10) 6~ (рг — рг) (2я) (Е. И'гупег, Г. БЕЖ, 1934). В предельном случае сильного вырождения электронного газа (Т « 112п2)81пг) распределение пр сводится к «ступенчатой» функции (пр — — 1 при р < рр, пр — — 0 при р ) рР). Вычисление интеграла приводит тогда к результату г): (80.11) обм в в г в ) Здесь исполъзовано известное выражение для фурье-компоненты кулоновского потенциала: (см., ниже примеч.
па с. 408). ) Интеграл у)'Рг у)'Рг 1Р Р) заменой рг — рг = с1, (р~ + рг)/2 = в приводится к интегралу 1 = Оо ~т)вчг)~в, берущемуся по облжти ~и шц/2~ < Рг. Интеграл )с)~в (при заданном Ч) есть объем, заключенный между двумя сферами радиуса 1гр с центрами, раздвинутыми на расстояние о: у) в = — 'йг (Зрв — й), 6 =рв — —. 3 4т г я 3 2 Интегрируя затем по у)~д по области О < о < 2РЕ, получим 1 = 4тг Рв. 10 л.д, ландау, е. м, лифшиц, тои У 290 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ГЛ.' П Эта же величина, если выразить в ней химический потенциал ЧЕРЕЗ ПЛОтНОСтЬ ЧИСЛа ЭЛЕКтрОНОВ Пе = 4414/1Г, СОГЛаСНО (57.3), дает поправку к свободной энергии: б 4,з (80.12) В обратном же предельном случае больцмаповского газа (айте < О, ~74е~ >> Т) вычисление по фоРмУле (80.10) Дает' ) 2 е е е пз 7' 244,7т обм — ! 4 (80.13) или! выразив 74е через и, согласно (46.1а)! ее й и, Гоби = 2тГ (80.14) При Т 744 обменная поправка Роби 1'е п ., между 2 44!3 тем как найденная в ~ 78 корреляционная поправка Г р 'ггезпз42(Т!!2;при этом в силу условия слабой неидеальности !) В этом случае и интегрирование по 44 в Н о распространяется по всему 41- и в-пространству.
~) Вопрос о вычислении корреляционной поправки при произвольной степени вырождения электронов представляет, тем не менее, определенный методический интерес. Эта задача будет рассмотрена в другом томе этого курса (том 1Х).
т. е. электронная обменная поправка действительно является главной. При повышении температуры, однако, Роб убывает быстрее., чем Г' ор (при Т » 14,: 7'"обм ж Т, а 7'" ор сАз Т Поэтому существует область, в которой обе поправки одинакового порядка величины. В этой области, однако, вырождение плазмы уже незначительно, и потому для корреляционной поправки можно пользоваться классическими формулами (78.11) (78.14) ') .
В предыдущем изложении подразумевалось! что ионная компонента плазмы не только не вырождепа, но и почти идеальна, т. е. что энергия взаимодействия ионов мала по сравнению с их 1 80 тегмодинлми!Вские Величины ВыеожденнОЙ плАЗА|ы 291 тепловой энергией; и'78ее « Т') . Но если плотность плазмы не слишком велика: ь„; « ' 8«'й (80.15) (М . масса иона), то температура Т превышает температуру вырождения ионов: 178 й|ег|е! ' Т е п ЛХ (80.16) ! |ыреш) 1|7е п Ъ'е и (80.17) По порядку величины опа совпадает с обменной энергией вырожденной электронной компоненты плазмы. Для устойчивой решетки энергия связи, разумеется, отрицательна-') . | ) В этой и последующих оценках полагаем для простоты х = 1 (водородная плазма).
) Количественное вычисление энергии связи решетки смл Абрикосов. А. А.О~КЭТ|Р. 1900. — Т. 39. С. 1797. |о* (причем Т « е М/6~). В этих условиях ионная компонента составляет невырожденную, но существенно неидеальную систему. Минимальности энергии взаимодействия ионов друг с друтом и с электронами отвечает тогда упорядоченное расположение ядер, т.е. ядра образуют кристаллическую решетку (А.
А. Абрикосов, 19б0). Это приводит к тому, что энергии прямого кулоновского взаимодействия различных частиц уже не полностью взаимно компенсируются. В каждой ячейке решетки поле ионов компенсируется находящимися в ней электронами. Но энергия взаимодействия частиц в пределах одной ячейки (размеры которой и 1|8) отлична от нуля. По грубой оценке эта энергия евп118, а для всей решетки 1с числом ячеек Х 1гп) ее энергия связи составляет ГЛАВА ЧП1 РАВНОВЕСИЕ ФАЗ 8 81. Ъ'словия равновесия фаз Состояние (равновесное) однородного тела определяется заданием каких-либо двух терыодинамических величин, например объема 1' и энергии Е. Однако нет никаких оснований утверждать, что при всякой заданной паре значений Ъ' и Е тепловому равновесию будет соответствовать именно однородное состояние тела.
Может оказаться, что при данных объеме и энергии в тепловом равновесии тело не является однородным, а распадается на две соприкасающиеся однородные части, находящиеся в различных состояниях. Такие состояния вещества, которые могут существовать одновременно в равновесии друг с другом, соприкасаясь между собой, называются различными фазами вещества. Напишем условия равновесия дву.х фаз друг с другом. Прежде всего, как и для любых находящихся в равновесии тел, должны быть равны температуры Тз и Т2 обеих фаз: Тз =Тъ Далее должно выполняться условие равенства давлений в обеих фазах: Р! Р2~ поскольку на поверхности их соприкосновения силы, с которыми обе фазы действуют друг на друга, должны быть равны и противоположны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
