V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 25
Текст из файла (страница 25)
15) Мы видим, что поправка к классическому значению оказывается величиной всегда положительной, определяющейся средними квадратами действующих на частицы сил. Эта поправка убывает с увеличением массы 1астиц и с возрастанием температуры. Согласно сказанному выше следую1ций член производимого здесь разложения был бы четвертого порядка.
Это обстоятельство дает возможность совершенно независимым образом вычислить член порядка 11з, возникающий в свободной энергии благодаря особенностям суммирования по импульсам, связанным с квантовомеханической тождественностью частиц. Этот член формально совпадает с ~оправочным членом, возникающим при аналогичном вычислении для идеального газа, и определяется формулой (56.14)1 ~(з) 133.16) (для тела, состоящего из Х одинаковых частиц). Верхний знак относится к статистике Ферми, а нижний к статистике Бозе; и есть полная кратность вырождения по направлениям моментов как электронного, так и ядерного.
Полученные формулы позволяют также получить поправочные члены в функциях распределения вероятностей координат и импульсов атомов тела. Согласно общим результатам, полученным в 3 5, распределение вероятностей импульсов получается интегрированием 1 по дд (см. 15.10))1 пюр —— сопв$ др 1 сну. член т1е вн~р ~~ в 1 содержит полную производную по координатам и при интегрировании по пим дает величину, которая 129 РАзлОжение пО степеням и представляет собой поверхностный эффект и может быть опущена. Таким образом, имеем ги~-дд,— '~гг ггг.гг х Е гг. 2тгг, / Третий и четвертый Елены в выражении (33.10) для т2 в результате интегрирования по координатам дадут малую постоянную 1нс содержашую импульсов) величину, которой в том жс приближении можно пренебречь.
Вынося также в постоянный коэффициент множитель ) е м ггг7, получим Йглг = сопв1 ехр( — ф~~ — "' ) ~1 — 6 — ~ "'"' ( — — )+ г гьв +б2~~ ~ ~а РРА ( О О )] гг,ь Входящие сюда средние значения связаны соотношениями (;,';„) = ( —;; —;;а) (аналогичными (33.14)). Поэтому имеем ЙЛР— — сопе$ ехР( —,9 2 "' ) ~1 — хУ ' " ( — — )1ЙР. г гьь 133.17) Это выражение удобно переписать окончательно в следующеъг виде: г г,й 133.18) заменив с той же точностью квадратные скобки в 133.17) соот- ветствующиъг экспоненциальным выражениеъь Таким образом, мы видим, что поправка к классической функции распределения для импульсов сводится к тому, что в экспоненте к кинетической энергии прибавляется квадратичное по импульсам выражение с коэффициентами, зависящими от закона взаимодействия частиц в теле, Ксли мы хотим найти распределение вероятностей для какого-либо одного из импульсов рг, надо проинтегрировать 133.17) по всем остальным импульсам.
При этом все члены с квадратами р, Й ф г, дадут такие постоянные величины, которыми 2 5 Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, хам гУ 13О РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББОА ГЛ. Н! можно пренебречь по сравнению с 1, а члены с произведения- ми различных импульсов вообще обратятся в нуль.
В результате найдем, снова переходя к экспоненциальному виду, Йе„л = сопв1 ехр( — ' '(1 —, (( — ) )~ )с1рь (33.19) Мы видим, что получается распределение, отл!лчающееся от максвелловского лишь заменой истинной температуры '1' па некоторую более высокую «эффективную температуру»: Аналоги шым путем можно вычислить исправленную функцию распределения дня координат. Она получается интегрированием 1 по импульсаел! ЙБŠ— — сопв1 Й1 1 слр. Те же вычисления, с помощью которых было получено выраже- ние (33.13), приведут к следующему результату: Йпе — — сопв1 ехр~ — — '(11 — ., ~~1 — ( — ) + Т 24Т» т, д1Ь + ~ — ., ~ ~дд. (33.20) ! й 34.
Распределение Гиббса для вращающихся тел Вопрос о термодинамических соотношениях для вращающихся тел рассматривался уже в 226. Выясним теперь, каким образом должно быть сформулировано для вращающихся тел распределение Гиббса, этим будет полностью исчерпан вопрос об их статисти леских свойствах. Что касается равномерного поступательного движения, то в силу принципа относительности Галилея оно, как уже указывалось в 226, влияет на статистические свойства лишь тривиальным образом и потому не нуждается в особом рассмотрении. В системе координат, вращающейся вместе с телом, справедливо обычное распределение Гиббса: в классической статистике р = (2яб) ' ехр (34.1) РАспРеделение ГиББсА для ВРАщАющихся тел 131 где Ь'(р,д) энергия тела в этой системе как функция координат и импульсов его частиц, а Е' -- свободная энергия в этой же системе (отнюдь не совпадающая, однако, со свободной энергией покоящегося тела!). Энергия Е'(р, д) связана с энергией Е(р,д) в неподвижной системе соотношением Е'(р, д) = Е(р, с)) — йМ(р, д), (34.2) где й - - утлоная скорость вращения, а М(р, 9) - - момент импульса тела (см.
3 26). Подставляя (34.2) в (34.1), найдем распределение Гиббса для вращающегося тела в виде') р = (2кй) 'ехр[ * ' ~. (34.3) Т В классической статистике распределение Гиббса для вращающегося тела можно представить и в другом виде. Для этого воспользуемся следующим выражением для энергии тела во вращающейся системе координат: ы Е' = Š— ' — - Е (й ) 2 + К, (34.4) где и' скорости частиц относительно вращающейся системы, а г их радиусы-векторы (см. 1, 339). Обозначив символом Ео(тс',г) = ~ + У (34.5) не зависящую от й часть энергии, получим распределение Гиббса в виде р = (22гй) ' ехр( — [г' — Ео(ч', г) + — ~~ т[йг)~] ).
Функция р определяет вероятность, отнесенную к элементу фазового пространсгва сьг1ду~с)21... Йр', Йр1 Йр'„..., Рде р' = птзт'+ гп(йг) импульсы частиц тела (см. 1, 339). Поскольку при нахождении дифференциалов импульсов координаты должны считаться постоянными, то с1р = тс)ч', и мы можем написать распределение нероитносгей, выраженное через координаты и скорости частиц: т.
! дщ = ехр( — — — [Ео(ч,г) — ~> — (йг) 1)х х с)т1с)У1с)ЕЮ .. с)п1яс)п',Ес)п'„..., (34.6) ' ) Распределение (34.3), как и обычное распределение Гиббса, находится в полном соответствии с результатом, полученным еще в 14 с помощьк~ теоремы,Лиувилля (формула (4.2)): логарифм функции распределения является линейной функпией энергии и момента тела. 132 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББОА ГЛ. 1П где буквой С мы обозначили для краткости множитель (21Г11) вместе с произведением масс частиц, возникающим при переходе от дифференциалов импульсов к дифференциалам скоростей. Для неподвижного тела мы имели бы Š— Ео(Ъ, Г) 11ш = Сехр ' Г7х~с1у1дею .. йп1 йи1БГ1иы... (34.7) т — — т[йг) .
2 Другими словами, для статистических свойств тела вращение оказывается эквивалентным появлению некоторого внешнего поля, соответствующего центробежным силам. Кориолисовы же силы не влияют на эти свойства. Необходимо, однако, подчеркнуть, что последний резулыат относится только к классической статистике. В квантовом случае для вращающегося тела справедливо выражение г' — й+ ам П1 = ЕХР т (34.8) для статистического оператора, аналогичное выражению (34.3). Формально можно привести этот оператор к виду, соответсГв)"ющему (34.6), причем скорости е' заменятся операторами уГ = р 7ГП вЂ” [йг). Однако компоненты этого векторного оператора уже не будут коммутировать друг с друтом, как это имеет место для оператора уу1 скорости в неподвижной системе; поэтому статистические операторы, соответствующие выражениям (34.б) и (34.7), будут, вообще говоря, существенно отличаться друг от друга, даже помимо присутствия в одное1 из них центробежной энергии.
3 35. Распределение Гиббса с переменным числом частиц До сих пор мы всегда молчаливо подразумевали, что число частиц в теле есть некоторая заданная постоянная величина. с тем же самым выражением (34.5) для Ьо(е,г) теперь как функции от скоростей в неподвижной системе координат. Таким образом, мы видим, что распределение Гиббса по координатам и скоростям для вращающегося тела отличается от распределения для неподвижного тела только дополнительной потенциальной энергией, равной з Зб РАспРеделение ГиББсА с пеРеменным числом чАстиц 133 При этом мы сознательно оставляли в стороне тот факт, что в действительности между различными подсистемами может происходить обмен частицами.
Другими словами, число частиц Х в подсистеме неизбежно будет флуктуироватгч колеблясь вокруг своего среднего значения. Чтобы точно сформулировать, что мы подразумеваем здесь под числом частиц, назовем подсистемой заключенную в определенном объеме часть системы; тогда под )у' мы будем понимать число частиц, находящихся в этом обьеме') .
Таким образом, .возникает вопрос об обобщении распределения Гиббса на тела с переменным числом частиц. Мы будем писать здесь формулы для тел, состоящих из одинаковых частиц; дальнейшее обобщение на системы, содержащие раз.личные частицы, очевидно (885). Функция распределения зависит теперь пе только от энергии квантового состояния, но и от числа частиц Х в теле, причем, конечно, самые уровни энергии Епм тоже различны при разных Х (это обстоятельство отмечено индексом Х). Вероятность телу содержать Х частиц и находиться при этом в и-и состоянии обозначим через пзпл . Вид этой функции можно определить в точности тем же способом, каким была получена в 828 функция ю„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
