V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если осциплитор лиходитси н 11-м состоянии, Го киаллтовомеханическое распределение вероятностей для его координаты определяется квадратом ф„(в данном случае функции лро ве- 2 щественны, и поэтому алы пишем просто л11 вместо квадрата 2 модуля ~ф ~г). Искомое статистическое распределение вероятностей получится, ес;ти умножить ф„па вероятность шо найти осциллятор в и-ли состоянии, а затем су.ммировать по всем возможным состояниям.
') Нормальная координата о имеет размерность см Г'1Е. еланвкдклкнив вквоятносткй для оапиллятовл 113 Согласно распределению Гиббса юп имеет вид — е 17 юп =ае где а, --постоянная. Таким образом, получаем формулу 11шя — — ада~~ е "~ ф„, (30.2) п=о которая находится, разумеется, в полном соответствии с общей формулой (5.8). Для вычисления стоящей здесь суммы можно применить следУющий пРисм. Вводим обозначение йля = Ряду и составлЯем производную ~ь 2 ~ —.„ут,), ~ч.
п=е Введя оператор импульса р = — г6фдд и помня, что импульс осциллятора имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для переходов с ьз -+ и ~ 1 (см. 111, 3 23), пишем: 6 . (Чп — 1,пФп — 1 Уп-',1,пФпя-1) (использованы соотношения рп 1„= — 1вл1п — 1„, р т1, =1 Ч е1, между матричнык1и элементами импульса и координаты). Такил1 образом, имеем 0р~ 2аю у „1т — т„1Т 1О й — = — 5 и —,1.т.— —. -Кп.ц.Ф.Ф., —.').
п=о п=е В первой сумме меняем обозначение индекса суммирования (и -+ п + 1) и, принимая во внимание соотношения Еп+1 = Еп + йн1~ Чпя-1,п = Дп,я+1~ Ч вЂ” 1,0 = 0~ находим — ' = — — (1 — е '"~ ) ~~1 дппз ф„ф„г1е '"~ дя п.=е Аналогичным образом найдем равенство ~1+ -ь ~т) ~~, .„),,), — „ут п=о 114 РАСПРБЛЕЛЕННЕ ГИББОА гл, ш Сравнив оба равенства, получим уравнение др~ (2ы йы ) откуда ( вм рвл~ р = сопБФ схр — д — ФЬ вЂ” ) .
6 2Т) Определяя постоянную из условия нормировки, получим окончательно следующую формулу ?Г. В1ос?, 1932): т А 1!2 р „ Г, А с?и = ( — 1Ь вЂ” ) ехр ( — д — 1Ь вЂ” ) с?Ч. 130.3) яй 2Т и 2Т Таким образом, и в квантовом случае вероятности различных значений координаты осциллятора распределены по закону вида ехр? — сг9 ), по с другим по сравнению с классической статистикой значением коэффициента гт.
В предельном случае гко « « Т, когда квантование уже пе играет роли, формула ?30.3), как и следовало, переходит в ?30.1). В обратном предельном случае пто» Т формула ?30.3) переходит в с?н =. — с 'У яй т.е. в чисто квантовое распределение вероятностей координаты в нормальном состоянии осциллятора'). Это соответствует тому, что при Т « ГЕБ колебания осциллятора практически пе возбуждены. Распределение вероятностей для импульса осциллятора можно написать по аналогии с 130.3), не проводя вычислений заново.
Дело в том, что задача о квантовании осциллятора полностью симметрична в отношении координаты и импульса,и волновые функции осциллятора в р-представлении совпадают с его обычными координатными волновыми функциями ?с заменой и на р/со; см. П?, 223, задача 1). Поэтому искомое распределение есть 1/2 , е йлр — — ( ФЬ вЂ” ) ехр( — Р 1Ь вЂ” ) г?р. 130.4) яви 2Т Ркл 2Т В классическом предельном случае ?Рко « Т) оно переходит в обычное распределение Максвелла ?ОПТ) — 1(ге-Р'РТЕ?р ?30.5) ) Это есть квадрат модуля волновой функции нормального состояния осциллятора.
11г С'БОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИББСА Задача Определить координатную матрипу плотности гармонического осциллятора. Р е ш е н и Б.Координатная матрица плотности осциллятора, отвечающая статистическому равновесию, определяется формулой р(дд)=а~ е "~ гу (о)е (д) =о (ср. примеч. на с. 33). Положим о = г + Б, о = г — Б и вычислим производную (др/дз),.
Подобно аналогичному. вычислению в тексте, получим — = — — —, = — — (1-Ре ' ) «у о, +1ду +1(д)1~„Ц')— др др др оы — ь (т да до до' й — гу. (ч)Ф. «1(т )). Вычислив таким же образом величину зр = (о — 2')р/2 и сравнив с найденной производной, полу-чим (),= др у 2ы йы — = — зр — сой —, дя), Ь 2Т откуда р(Ф о ) = А(г) ехр ( — з — сСЬ вЂ” ) .
/ зы йоо '1 6 2Т) Функция А(г) определяется требованием, чтобы при ь = О, т. е. Нри о = д' = = г, «диагональные зломопты» матрицы плотности р(Ф о) совпадали с (30.3). Окончательно имеем / ы Ьоо '1 по ( ы(д -'г д~) 1 ~ и(д — 2~)з р(Фд ) = ( — СЬ вЂ” ) ехр1— сй —— ссЬ вЂ” » .
1, й 2т) '1 4Ь 2т 4Ь 2Т)' 3 31. Свободная энергия в распределении Гиббса Согласно формуле (7.9) энтропия тела может быть вычислена как среднее значение логарифма его функции распределения: о = — (1пь>а). Подставив сюда распределение Гиббса (28.8), получим Е Е = — 1пА+ —, Т откуда 1пА = (Š— То)/Т. Но средняя энергия Е есть как раз то, что понимается под энергией в термодинамике, поэтому Š— Т8 = Е и 1пА = Е/Т, т.е.
нормировочная ггостоянная распределения непосредственно связана со свободной энергией тела. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. П! Таким образом, распределение Гиббса можно написать в виде и1„= ЕХРŠ— Е„ Т (31.1) в котором оно наиболее часто и применяется. Тем же способом получим в классическом случае с помощью (7.12) выражение р = (21гй) ' ехр Е-Е1р,Ч т (31.2) Условие нормировки для распределения (31.1) гласит: .2 --"=е ' у~тт,,' -е 7т или г' = — Т1пгт е (31.3) и Эта формула является основой для термодинамических применений распределения Гиббса.
Она дает в принпипе возможность вычищ1ить термодинамические функции любого тела, если известен его энергетический спектр. Стоящую в (31.3) под знаком логарифма сумму обычно называют сгпагписпгической суммой. Опа представляет собой не что иное, как след оператора ехр( — Й!), где Й -- гамильтониан данного тела'): т — ~ Р Ею и 3р1 — й() (31.4) ) В соответствии с общими правилами под ехр( — Й7) понимается оператор, собственные функции которого совпадают с собственными функциями оператора Й, а собственные значения равны ехр( — Е„/Т).
Такая форма записи обладает тем преимуществом, что для вычисления следа можно пользоваться любой полной системой волновых функций. Аналогичная формула в классической статистике получается из условия нормировки для распределения (31.2). Предварительно, однако, необходимо учесть следующее обстоятельство, которое было несущественно до тех пор, пока мы интересовались функцией распределения как таковой и не связывали нормировочный коэффициент с определенной количественной характеристикой тела — его свободной энергией. Если, например, переменить местами два одинаковых атома, то после такой перестановки микросостояние тела будет изображаться другой гм С'БОБОДНАЯ ЭНЕРГИИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИББСА 117 г~ Е = — Т1п / е ЦРл)) г1Г; (31.5) здесь и везде в аналогичных случаях ниже символом дГ обо- значается элемент обьема фазового пространства, деленный на (2нй) '.
дГ = (31.6) (йкй)' Таким образом, статистическая сумма квантовой формулы (31.3) заменяется статистическим интегралом. Как уже указывалось в ~ 29, классическая энергия Е(р, д) всегда может быть представлена в виде суммы кинетической К(р) и потенциальной 17(д) энергий. Кинетическая энергия есть квадратичная функция иъшульсов, и интегрирование по ним может быть произведено в общем виде.
Поэтому задача о вычислении статистического интеграла в действительности сводится к задаче об интегрировании функции ехр[ †(д)/Т]по координатам. При фактическом вычислении статистического интеграла обычно бывает удобным расширить область интегрирования, вводя при этом соответствующий поправочный множитель. Пусть, например, речь идет о газе, состоящем из Х одинако- ') Это обстоятельство становится в особенности очевидным, е<ши рассматривать классический статистический интеграл как предел квантовой статистической суммы. В последней суммирование производится по всем различным квантовым состояниям, и никакого вопроса вообпге не возникает (напомним, что в силу квантовомеханического принципа симметрии волновых функций квантовое состояние вообще не меняется от перестановок одинаковых частиц).
С чисто классической точки зрения необходимость такого понимания статистического интегрирования связана с тем, что в противном случае нарушилась бы мультипликативность статистического веса, а с ним и аддитивнеоть Знтрепии и других термединамичееких величин. фазовой точкой, получающейся из первоначальной заменой координат и импульсов одного атома координатами и импульсами другого.
С другой стороны, ввиду одинаковости переставляемых атомов оба состояния тела физически тождественны. Таким образом, одному и тому же физическому микросостоянию тела в фазовом пространстве соответствует целый ряд точек. Между тем, при интегрировании распределения (31.2) каждое состояние должно., разумеется, учитываться лишь однократно'). Другими словами, мы должны интегрировать лишь по теы областям фазового пространства, которые соответствуют физически различным состояниям тела; мы будем отмечать это обстоятельство штрихом у знака интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
