V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поскольку общее число частиц г!!! + Хя в двух данных частях тела рассматривается как постоянное, имеем дд дд~ дд~ дХ~ дд~ дЯ~ дХ! дг!'! дХг д.!У! дгч! дгУг Но из равенства Г1Е = Т !13+ р, дггг, написанного в виде дБ = — — ки'Х, т т мы видим, что производная дЯггдгт' (при постоянных е и 1Г) равна — ггггТ. Таким образом, имеем; рг(Т! = ггз(Тз.
Но при равновесии Т! — — Тз, так что и гг! = ггя. Мы гтриходим, следовательно, к результату, что при равновесии во внешнем тюле, кроме постоянства температуры, должно соблюдаться условие гг = сопв1, (25.1) т. е, химические потенциалы всех частей тела должны быть равны друг другу. При этом химический потенциал каждой части есть функция ее температуры н давления, а также параметров, определяющих внешнее поле.
Если поле отсутствует, то из постоянства ги и Т автоматически следует и постоянство давления. В поле тяготения потсгщиальиая энергия молекулы и есть функция только координат л, у, В ее центра тяжести (и не зависит от расположения атомов внутри молекулы). В этом случае изменение термодинамичсских величин тела сводится к добавлению к его энергии потенциальной энергии молекул в поле. В частности, химический потенциал (термодинаыический потенциал, отнесенный к одной молекуле) примет вид 1г = 1го + гг('ггу, В), где ро(РгТ) есть химический потенциал в отсутствие поля.
Таким образом, условие равновесия в поле тяготения можно написать в виде 1го(Р,Т) + и(,т,у, и) = сопй. 97 вгдшмощивая тклд В частности, в однородном поле тяжести и = тяя (уп масса молекулы, я ускорение силы тяжести, х вертикальная координата). Дифференцируя равенство (25.2) по координате з при постоянной температуре, получим е йР = — тягЬ, где е = (ддо(дР)т удельный обьем. При нсболыпих изменениях давления и можно считать постоянным. Вводя плотность р = т)и и интегрируя, получим Р = сопвй — ряя, т. е, обычную формулу для гидростатического давления в несжи- маемой жидкости. 3 26.
Вращающиеся тела В состоянии теплового равновесия возможно, как мы видели в 310, лишь равномерное |юступательное движение и равномерное вращение тела как целого. Равномерное поступательное движение никакого особого рассмотрения не требует, так как согласно принципу относительности Галилея оно никак не сказывается на механических, а, потому и термодинамических свойствах тела, и его термодинамические величины меняются лишь в том смысле, что к энергии добавляется кинетическая энергия тела. Рассмотрим тело, равномерно вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью й.
Пусть Е(р, д) есть энергия тела в неподвижной системе координат, а Е'(р, д) ..-энергия в системе координат, вращающейся вместе с телом. Как известно из механики, эти величины связаны друг с другом соотношением Е'(р,д) = Е(р, 1) — иМ(р,д), (26.1) где М(р, г7) момент импульса тела') . Таким образом, энергия ЬЯ(р,д) зависит, как от параметра, от угловой скорости Й, причем ') См. 1, 339. Хотя произведенный там вывод формулы (39.13) основан на классической механике, но в квантовой теории в точности те же соотношения справедливы для операторов соответствующих величин.
Поэтому все выводимые ниже термодинамические соотношения не зависят от того, какой механикой описывается движение частиц те.ла. 1 Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том У 98 твРыодинаыичвскив Вели !ины ГЛ. Н Усредняя это равенство по статистическому распределению и воспользовавшись формулой (11.3)! получим (26.2) где Е = Е!(р,д), М = М(р,д) средние (термодинамические) энергия и момент импульса тела. На основании этого соотношения ыы можем написать дифференциал энергии вращающегося тела при заданном обьеме в виде дЕ' = Т с15 — М с1й. (26.3) Для свободной энергии Е' = Е' — ТЯ (во вращающейся системе координат) соответственно имеем дЕ' = — ЯГ1Т вЂ” Мдй. (26А) Усредняя равенство (26.1), получим Е' = Š— Мй. (26.5) Дифференцируя это равенство и подставляя (26.3)! получим дифференциал энергии в неподвижной системе координат (26.6) дЕ = Тс!Я+ йс1М.
Для свободной энергии Е = Š— ТЯ соответственно имеем дЕ = — ЯдТ+ йс1М. (26.7) Таким образом, в этих соотношениях независимой переменной является не угловая скорость, а момент импульса, причем (26.8) Как известно из механики, равномерное вращение в известном смысле эквивалентно появлению двух силовых полей; поля центробежных сил и поля кориолисовых сил. Центробежные силы пропорциональны размерам тела (они содержат расстояние до оси вращения); силы же Кориолиса от размеров тела не зависят вовсе. Благодаря этому обстоятельству влияние последних на термодинамические свойства вращающегося макроскопического тела совершенно ничтожно по сравнению с влиянием первых, и ими обычно можно полностью пренебречь!) . Поэтому условие теплового равновесия вращающегося тела получится ) Можно показать, что в классической статистике кориолисовы силы вообще но влияют на статистические свойства тела — см.
Э 34. 99 ОООТНОП!БНИН В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ОБЛАСТИ просто подстановкой в (25.2) в качестве и(х, у, г) центробежной энергии частиц: рВ~Р Т) тПОР~(2 = сопв~, (26.9) где рв — химический потенциал покоящегося тела, т — масса молекулы, г . расстояние до оси вращения. По той же причине полную энергшо вращающегося тела Ь" можно написать в виде суммы его внутренней энергии (которую мы обозначим здесь через Ь;„) и кинетической энергии вращения: Е=ЕВН+М /21; (26ЛО) где 1 - момент инерции тела относительно оси вращения.
Надо иметь в виду, что вращение, вообще говоря, меняет распределение масс в теле, поэтому момент инерции и внутренняя энергия тела сами, вообще говоря, зависят от П (или от М). Лишь при достаточно медленном вращении эти величины можно считать постоянными, не зависящими от й. Рассмотрим изолированное равномерно вращающееся твердое тело с заданным распределением масс в нем. Поскольку энтропия тела есть функция его внутренней энергии, то в данном случае Е = Е(Š— Мз/21). Вследствие замкнутости тела его полная энергия и момент вращения сохраняются, а энтропия должна иметь максимальное значение, возможное при данных М и Е. Поэтому мы приходим к выводу, что равновесное вращение тела происходит вокруг оси, относительно которой момент инерции имеет наибольшее возможное значение.
Тем самым автоматически подразумевается, что ось вращения во всяком случае является осью инерции тела. Последнее обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: если тело вращается вокруг оси, не являющейся осью инерции, то, как известно из механики, ось вращения сама будет смещаться (прецсссировать) в пространстве, т. е, вращение будет неравномерным, а потому и неравновссным. й 27.
Термодинамические соотношения в релятивистской области Релятивистская механика приводит к ряду изменений в обычных термодинамичсских соотношениях. Мы рассмотрим здесь те из этих изменений, которые представляют наибольший интерес. Если микроскопическое движение частиц, составляющих тело, становится релятивистским, то общие термодинамические твгмодннамичвакив величины гл. и соотношения не изменяются., но возникает важное неравенство между давлением и энергией тела Р ( Е)ЗЪ; (27.1) где Е энергия тела, включающая в себя энергию покоя входягцих в его состав частиц') . Принципиальный интерес представляют изменения, вносимые общей теорией относительности в условия теплового равновесия при учете создаваемого самим телом гравитационного поля.
Рассмотрим неподвижное макроскопическое тело:, его гравитационное поле будет, разумеется, постоянным. В постоянном гравитационном поле надо отличать сохраняющуюся энергию Ео какой-либо малой части тела от энергии .Е, измеренной наблюдателем, находящимся в данном месте; эти две величины связаны друг с другом соотношением Ео = ЕЛоа; где яоо временная комгюнента метрического тензора (см.
П, 888; формула (88.9) си = О, гпся = Е). По по самому смыслу приведенного в 89 доказательства постоянства температуры вдоль находящгтося в равновесии тела ясно, что должна быть постоянна величина, получающаяся дифференцированием энтропии по сохраняющейся энергии Ео. Температура же Т, измеренная наблюдателем, находящимся в данной точке пространства, получается дифференцированием энтропии по эггергигл Е и, следовательно, будет различна в разных то гках тела. Для вывода количественного соотношения залгечаем, что энтропия по существу своего определения зависит исключительно от внутреннего состояния тела и потому не изменяется пргг появлении гравитационного поля (в той мере, в какой это поле не влияет на внутрегшие свойства тела, — условие, которое фактически всегда выполнено). Поэтому производная по энтропии от сохраняющейся энергии Ео будет равна ТуГ800 и, таким образом, одно из условий теплового равновесия требует постоянства вдоль тела величины') ТЯдд = соггв1.
(27.2) ') См. И, 'З 35. Напомнилл, однако, что общего доказательства этого неравенства, пригодного для всех существующих в природе (не только электромагнитных) типОв взаимодействия между чаСтицами, в настоящее врЕмя не существует. в) Уравнение (27.2) теряет смысл в точках, где кое обращается в нуль. Такая ситуация имеет место в окрестностях так называемых черных дьлр (слг. Н, 8 102). Обсуждение термодинамнческнх свойств этих объектов можно найти в сборнике статей: Черные дыры. -М.: Угир, 1978. (Примеч. род.) соотношвния в ввлятивистакой овллсти 1О1 Лналогичным образом видоизменяется второе условие равновесия постоянство химического потенциала.
Химический потенциал определяется как производная от энергии по числу частиц. Поскольку число частиц, разумеется, гравитационным полем не изменяется, то для химического потенциала, измеренного в каждойс данной точке. получаем такое же соотношение, как и для температуры: д тсся' о сопь1 (27.3) Заметим, что соотношения (27.2), (27.3) можно написать в виде т = 1. (1 — ~).
(27.5) Имея в виду, что у ( О, находим, что при равновесии температура выше в тех местах тела, в которых ),р~ больше, т.е. в глубине тела. При предсльпогя переходе к нерелятивистской механике (с -+ со) (27.5) переходит, как и следовало, в Т = сотсас. Аналогичным образом можно преобразовать условие (27.3), причем надо иметь в виду, что релятивистский химический потенциал при предельном переходе к классической механике переходит не непосредственно в обычное (нерелятивистское) выражение для химического потенциала в отсутствие поля, которое мы обозначилс здесь символом ро, а в до+гас, где спс энергия 2, в покоя отдельной частицы тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
