V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 15
Текст из файла (страница 15)
и С„=Т® =Т'~~(~~) = д(5, Ъ') /д(Т, Р), (дд/дТ) г (дЪ /дР) т — (д$/дР) т (дк/дТ ) г д(Т 1')/д(Т. Р) (дЦдР)т (дд/дР) т (д у /дТ) Р (д'Р'/дР) т Подставляя сюда (16.4), получим искоъ1ую формулу С вЂ” Св = — Т (ду/дР) ' (16.9) /до '1 Аналогичным образом, преобразуя С = Т(7 — ) к перемен(,дт)Р ным Т, Ъ', можно получить формулу С вЂ” С„= — Т (16.10) (дР/д1') т 1 д(и,в) ) Якобианом ' называют определитель д(х,у) ди ди дх ду дв дв дх ду д(и, в) д(х, у) Он обладает следующими очевидными свойствам: д(в, и) д(и, в) д(х,у) д(,у)' д(и, в) (ди) Далее имеют место следующие соотношения д(и,в) д(и,в) д(6 в) д(х.,у) д(1, а) д(х, у) ' (1У) + 771 д(х7 74) д(х, 7/) д(х, у) образование проще всего осуществляется с помощью якобианов') . Пишем: тегыодинАВ!Нческив Вели !Нны ГЛ. Н й 17.
Термодинамическая шкала температуры Покажем, каким образом можно, по крайней мере в принципе! построить термодинамическую шкалу температуры, используя для этого произвольное тело, уравнение состояния которого заранее не предполагается известным. Другими словами, задача состоит в том, чтобы с помощью этого тела установить зависимость Т = Т(т) между абсолютной шкалой температуры Т и некоторой чисто условной шкалой т, определяемой произвольно градуированным «термометром!ч Для этого исходим и;з следующего соотношения (все величины относятся к данному телу); (мы использовали (16.4)). Поскольку т и Т связаны друг с другом взаимно однозначно, то безразлично--- писать ли производ/дн'! ную при постоянном Т или т. Производную же ( — ) псрепи(,дт) Р сываем в виде (дТ)Р (дт)РЙТ Тогда имеем нли ! 1п т (дъ 7дг)Р !1т (дЯ7дР) В правой части равенства стоят величины, которые могут быть непосредственно измерены как функции условной температуры т: (дЯ/дР), определяется количеством тепла, которое должно быть сообщено телу для того, чтобы при расширении поддержать его температуру постоянной, а производная (дЪ'(дт)Р определяется изменением объема тела при нагревании.
Таким образом, формула (17.1) решает поставленную задачу, позволяя определить искомую зависимость Т = Т(т). При этом надо иметь в виду, что интегрирование соотношения (17.1) определяет 1пТ с точностью до а,щг!тивной постоянной. Отсюда сама температура Т определится с точностью до произвольного постоянного множителя. Разумеется, так и должно быть выбор единиц измерения абсолютной температуры остается произвольным, что эквивалентно наличию произвольного множителя в зависимости Т = Т(т). пРОцесс джОуля -ТОулООнА 77 й 18.
Процесс Джоуля — Томсона Рассмотриел процесс, заключающийся в том, что газ (или жидкость), находящийся под давлением Ры стационарным образом переводится в сосуд, где его давление есть Рсь Стал~ионарность процесса означает, что в продолжение всего процесса давления Р1 и Ря остаются посгоянными. Такой процесс можно схетлатически представить как переход газа через порллстую перегородку (а на рис. 2), причем постоянство давлений по обе стороны перегородки поддерживается соответственно вдвигающимся и выдвигающимся поршнями.
Если отверстия в перегородке достаточно Рис. 2 малы, то скорость макроскопического течения газа можно считать равной нулю. Будем также предполагать, что газ теплоизолирован от внешней среды. Описанный процесс называется процессом Докоулл — Томсона. Подчеркнем, что этот процесс необратим, что видно уже из наличия перегородки с маленькими отверстиями, которая создает большое трение, уничтожающее скорость газа. Пусть некоторое количество газа, занимавшее при давлении Рл объем Ъ'л, переходит (теплоизолироваплло) в объем Ъз, причем давление становится равным Рз. Изменение энергии Ез— — Ел этого газа будет равно работе, произведенной над газом для того, чтобы вытеснить его из объема 1'"л (эта работа равна РлЪл), минус та работа, которая производится самим газом для того, чтобы занять объем Ълз при давлении Рз (эта работа равна РзЪз). Таким образом, имеем: Ез — Ел = РлЪгл — РгЪсн т.
е. Ел + Рл Ъ1 = Ея + РзЪя или И'л = И'з. (18.1) Таким образом, при процессе Джоуля — Томсона сохраняется тепловая функция газа. Изменение температуры при малом изеленелпли давления в результате процесса Джоуля-Томсона определяется производной дТ/дР, взятой при постоянной тепловой функции. Преобразуем эту производную, переходя к независимым переменным Р, Т. Имеем Ил— дт'~ дст,ил) д1т,и')!д(Р:т) лд1ь(дР)т дР) и' дс,Р, и~) д(Р, исУ(д1Р, т) сдъи|дт)Р откуда с помощью формул (14.7) и (16.7) получаем (18.2) 79 МАКСИМАЛЬНАБ РАБОТА работу. При этом мы интересуемся именно той работой., которая производится за счет неравновесности системы; это значит, что надо исключить работу, которая могла бы быть произведена за счет общего расширения системы, такая работа могла бы производиться и системой, находящейся самой по себе в равновесии.
Соответственно этому будем предполагать, что в результате процесса общий объем системы остается неизменным (хотя и может меняться в течение процесса). Пусть первоначальная энергия системы есгь Ео, а энергия в состоянии равновесия как функция от энтропии системы в этом состоянии Е(Я). Вследствие теплоизолированности системы произведенная ею работа равна просто изменению энергии: !Л! = Ео — Е(Е) (мы пишем )Л(, так как по принятому нами условию Л < О, если работа производится самой системой). Дифференцируя ~Л~ по энтропии Я конечного состояния, имеем где Т -- температура конечного состояния; производная берется при заданном значении объема системы в конечном состоянии (совпадающем с его начальной величиной). Мы видим, что эта производная отрицательна, т.е. ~Л( уменыпается с увеличением Я.
Но энтропия теплоизолированной системы не может убывать. Поэтому наибольшее возможное ~Л~ будет достигнуто, если Я останется в течение всего процесса неизменной. Таким образом, мы приходим к выводу, что система производит максимальную работу в том случае, когда ее энтропия остается постоянной, т.е. переход в равновесное состояние совершается обратимым образом.
Определим максимальную работу, которая может быть произведена при обмене малым количеством энергии между двумя телами с различными температурами Т1 и Тт, пусть Тз > > Хп Прежде всего подчеркнем, что если бы передача энергии происходила непосредственно при соприкосновении обоих тел, то никакой работы вообще не было бы произведено. Процесс был бы необратимым (энтропия обоих тел увеличилась бы на 5Е(17Т1 — 1/Тэ), где 6Е -- перонесенное количество энергии). Поэтому для того, чтобы осуществить обратимый перенос энер1ии в, соответственно, получить максимальную работу, необходимо ввести в систему еще одно вспомогательное тело (рабочее тело), совершающее определенный обратимый круговой процесс. Процесс этот должен осуществляться таким образом, 80 теРмодинаа|ические Вели !Нны ГЛ. Н ~дЛ~!пах = — !)Е! — АТЕЕ = — Т|!)3! — Таба = — (Тз — Т!)5Ба, или !!!Л!и!ах — !!!Е2 ~ ° (19.1) Отношение совершенной работы к количеству затраченной энергии называют коэффиииенп|ом полезного действия 9.
Максимальный коэффициент полезного действия при переходе энергии от более нагретого к менее нагретому телу равен, согласно (19.1), т — т |!!пах Т! (19.2) Более удобной величиной является коэффициент использова- ния и, определяемый как отношение произведенной работы к максимальной работе, которая может быть получена в данных УсповиЯх. Очевидно, что и = 9|у,пах.
й 20. Максимальная работа, производимая телом, находящимся во внешней среде Рассмотрим теперь вопрос о максимальной работе в другой постановке. Пусть тело находится во внешней среде, причем температура То и давление Ро среды отличны от температуры Т чтобы тела, между которыми происходит непосредственный обмен энергией, находились при одинаковой температуре.
Именно, рабочее тело при температуре Тз приводится в соприкосновение с телом с температурой Та и изотермически получает от него определенную энергию. Затем оно адиабатически охлаждается до температуры Т|, отдает при этой температуре энергию телу с температурой Т| и, наконец, адиабатически возвращается в первоначальное состояние. При расп|ирепиях, связанных с этим процессом, рабочее тело производит работу над анен|ними обьектами.
Описанный круговой процесс называется циклом Карно. Переходя к вычислению получающейся максимальной работы, замечаем, что рабочее тело к!о>кис при этом не рассматривать, поскольку оно возвращается в результате процесса в исходное состояние. Пусть более нагретое второе тело теряет количество энергии — бЕЧ = — ТЕ5ЕЕ, а первое получает при этом энергию дЕ! = Т|бЯ!. Ввиду обратимости процесса сумма энтропий обоих тел остается постоянной, т.
е, 6Я! = — бЯЕ, Произведенная работа равна уменьшению полной энергии обоих тел, т. е. тело, нАходящввая во внешней сгвлв 81 и давления Р тела. Тело может совершать работу над некоторым объектом, который предполагается теплоизолированным как от среды, так и от данного тела. Среда вместе с находящимися в пей телом и обьектом работы образует замкнутую систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
