V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому имеем рсЯОО (ро + тс ) с 1 + 2 с ро + псс + пир в / 2 в так что условие (27.3) переходит в ссо + таир = сопвФ, что совпадает, как и следовало, с (25.2). Наконец, укажем полезное соотношение, являющееся непосредственным следствием условий (2?.2) и (27.3). Разделив одно и'я сЬ Т = сопв$ —, р = сосьч1 (27.4) сЬ сЬ позволяющем рассматривать тело не только в той системе отсчета, в которой оно неподвижно, но и в таких, в которых оно движется (вращается как целое). При этом производная ссх~/ссв должна браться по мировой линии, описываемой данной точкой тела.
В слабом (ньютоновском) гравитационном поле яоо — — 1 + + 2~р/с~, где ~р гравитационный ссотенциал (см. П, ~87). Подставляя это выражение в (27.2) и извлекая корень, найдем в том же приближении 102 теемодинами !еские величины Гл. и !1р ЕР и, с+Р' (27.6) ') В нерелитивистском случае, положив и те~, с рс~ >> Р (р-. плотность), получив! !1р = АР (е = !и/р — - объем, отнесенный к одной частице), как и должно было быть при Т = соне!. на другое, найдем, что р!)Т = сопв$, откуда следует: Йр!/р! = = ЙТ(Т. С другой стороны, согласно (24.12), при постоянном (равном единице) объеме имеем а'= Яат+йР 1д, где Я, Х вЂ” энтропия и число частиц единицы объема тела. Подставляя сюда Г1Т = (Т(1!,)Г1д и замечая, что 1!Я+ БТ = Ф+ ЯТ = = е + Р (е-.
энергия, отнесенная к единице объема), найдем искомое соотношение') ГЛАВА П1 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА й 28. Распределение Гиббса Перейдем теперь к поставленной в гл. 1 задаче о нахождении функции распределения для любого макроскопического тела, являющегося малой частью какой-либо большой замкнутой системы (подсистемой). Наиболее удобный и общий способ подхода к решению этой задачи основан на применении ко всей системе микроканонического распределения. Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей; из данного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой», Микроканоническое распределение (6.6) напишется в виде ди = сопв1 б(Е+ Е' — Е1~))дГ дГ', (28.
Ц где Е, дГ и Е', ИГ' относятся соответственно к телу и среде, а Е® заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма Е+Е' энергий тела и среды. Нашей целью является нахождение вероятности ш„такого состояния всей системы, при котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией Е„), т.е.
в состоянии,. описанном микроскопическим образом. Микроскопическим же состоянием среды мы при этом не интересуемся, т.е, будем считать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть .ЬГ' есть статистический вес макроскопического состояния среды; обозначим также через ЬЕ' интервал значений энергии среды, соответствующий интервалу ЬГ' квантовых состояний в указанном в ~ 7 смысле.
Искомую вероятность ш„мы найдем, заменив в (28.1) дГ единицей, положив Е = Е„и проинтегрировав по г1Г'. шп = сопв1 ЦЕ„+ Š— Е1 ~)дГ'. Пусть Г~(Е~) — полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е'. Поскольку подынтегральное 104 РАСПРБДНЛБНИЕ ГИББОА гл, ш выражение зависит только от Ь", можно перейти к интегрированию по дЬ", написав; ~Г (Е ), Е' дЕ' Производную МР'(Г7Е' заменяем (ср. 8 7) отношением аг е г)Е' ЬЕ' где Я'(Е') энтропия среды как функция ес энергии (функцией Е' является, конечно, также и ЬЕ'). Таким образом, и! = сопвФ,п(Е'+ ń— Е~ ~)дЕ'. / ААЕ' Б.лагодаря наличию б-функции интегрирование сводится к замене Е' на Е~ ) — Е„, и получаем Г е' ш„= сопе1 (28.2) пЕ' / и'=есн — и„ Учтем теперь, что вследствие малости тела его энергия Е„ мала по сравнению с Е~о). Величина ЬЕ' относительно очень мало меняется при незначительном изменении Е', поэтому в ней можно просто положить Е' = Е~~), поспе чего она превратится в не зависящую от Е„постоянную.
В экспопенциальном же множителе, ен надо разложить У(Е® — Е„) по степеням Еа, сохранив также и линейный член: ( Е ( 0 ) Е ) о ( Е ( О ) ) Е Но производная от энтропии о" по энергии есть не что иное, как 1/Т, где Т вЂ” температура системы (температура тела и среды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии). Таким обраюм, получаем окон гательно для шн следующее выражение: и„= А ехр( — — "), (28.3) где А — не зависящая от Е„нормирово шая постоянная. Зто— одна из важнейших формул статистики; она определяет статистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Распределение (28.3) называется распределением Гиббса или каноническим распределением, оно было 105 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА — и.!т и~„~„и = е и (28.5) В классической статистике выражение, в точности соответствующее формуле (28.3), полу гнется для функции распределения в фазовом пространстве; Ае-н~р,еу т (28.6) где Е~р., д) -- энергия тела как функция его координат и импуль- сов') .
Нормировочная постоянная А определяется ус;човием Г р Ггр сгд = А е ~г:е)~ Йр дд = 1. (28.7) На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда квазиклассическим является не все микроскопическое движение частиц, а лишь движение, соответствующее части степеней свободы, в то время как по остальным степеням свободы движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при квантовом характере внутримолекулярного движения атомов). В таком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: Е„= Еп(р,д), где и обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих кквантовую частьэ движения, для которого значения р и д играют роль параметров.
Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде йи„(р, д) = Ае и" ~г'е)Г~Г1р с1д (28.8) ') Во избежание недоразумений лишний раз напомним, что ш, (или р) являются монотонными функциями энергии и отнюдь не должны иметь максимума при К = Ь". Острый максимум при Е = У имеет функция распределения по энергии, получающаяся умножением им на ИГ(Е) /4Е.
открыто Гиббсом (3. Ж. С1ЬЬе) для классической статистики в 1901 г. Нормировочная постоянная А определяется условием 2; юп = = 1, откуда — к„ут (28.4) п Среднее значение, любой физической величины ~, характеризующей данное тело, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле 1Об ГЛ. 1П РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА где с1Р лйдк, пРоизведение диффеРенциалов «квазиклассических» координат и импульсов. Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу крута вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел.
Действительно, такие свойс"1ва тела, как значения его термодинамических величин или распределения вероятностей для координат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не зависят от того, рассматриваем ли ъ1ы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат Я 7). В последнем случае, однако, тело становится «подсистсмой», и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса 1ю суизепгву лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, .а для замкнутого тела совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует. Возможность применения (в указанном смысле) распределения Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканонического (и в то >ке время несравненно удобнее для проведения конкретных расчетов).
Действительно, микроканоническое распределение эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероятными всех микросостояний тела, отвеча1ощих заданному значению его энергии. Каноническое же распределение «размазано» по некоторому интервалу зяап1ний гп1ергии, ширияа которого (порядка величины средней ф'1уктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала. я 29. Распределение Максвелла Энергия Е(р, и) в формуле распределения Гиббса классической статистики всегда может быть представлена как сумма двух 1астей — кинетической и потенциальной энергий. Из них первая есть квадратичная функция от импульсов атомов'), ') Предполагается, что мы пользуемся декартовыми координатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
