V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 21
Текст из файла (страница 21)
107 гаспгкдклкник к1аксвклла а вторая функция от их координат, причем вид этой функции зависит от закона ВзаимодейстВия частиц Внутри тела (и от внешнего поля, если такое имеется). Если кинетическую и потенциальную энергии обозначить соответственно как Ь(р) и У(ц), то Е(р, д) = К(р) + 17(17), и вероятность Йю = р(р, с7)Йр Й~ напишется в виде т. е. разбивается на произведение двух множителей, из которых один зависит только от координат, .а другой . только от импульсов. Это озна 1ает, что вероятности для импульсов и координат независимы друг от друга в том смысле, что определенные значения импульсов никак не влияют на вероятности тех или иных значений координат, и обратно. Таким образом, вероятность различных значений импульсов может быть написана в дюр — — ае ~р~~ ар, (29.1) а распределение вероятности для координат — п(лу~тл (29.2) Так как сумма вероятностей всех возможных значений импульсов (и то же самое для координат) должна быть равна единиЦе, то кажДаЯ из веРоЯтностей 11юр и 111ле Должна быть ноР- мирована, т.
е, их интегрск1ы по всем возможным для данного тела значениям импульсов или координат должны быть равны единице. Из этих условий можно определить постоянные а и Ь в (29. Ц и (29.2) . Займемся изучеяием распределения вероятностей для импульсов, еще раз подчеркнув при этом весьма существенный факт, что в классической статистике такое распределение нисколько не зависит от рода взаимодействия частиц внутри системы или от рода внешнего поля и потому распределение может быть выражено в виде, пригодном для любых тел') . Кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий каждого из входящих в него атомов, и вероятность опять разбивается на произведение множителей, из которых каждый .зависит от импульсов только одного из атомов.
Это вновь означает, что вероятности импульсов различных атомов не зависят друг от друга, т.е. импульс одного из них никак не влияет на вероятности импульсов всех других. Поэтому можно ') В квантовой статистике это утверждение, вообще говори, не справедливо. 108 ГЛ. Н! РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББОА писать распределение вероятностей для импульсов каждого атома в отдельности.
2,2,2 Р* ! 'Рг2 р= Для атома с массой гп кинетическая энергия равна 2т где р„рю р, декартовы составляющие его импульса, а распределение вероятностей имеет вид йБР— — аехр~ — — (р, +ре+р,)!др Г1рг др,. 2,2 21 2РНТ Постоянная а определяется условием нормировки. Интегрирования по Ыре, дрю дрг разделяются и производятся с помощью известной форе!уды В результате находим а = (222нгТ) ~!2, и мы получаем окончательное распределение вероятностей для импульсов в виде 12222ПТ)212 [ 2ГЛТ Переходя от импульсов к скоростям (р = тч)), можно написать аналогичное распределение для скоростей: Ю2 Г,г 2 21 / ° 2! ~ т(Б,+Бг+Бг)1 дгл„= ~ ) ехр ~ — ' " ' ~ дгг,д!уЬ2.
(29.4) [ 2ЛТ) 2Т Это — так называемое риспредеггение Максвелла (и'. С. Маеве11! 1860). Заметим, что оно снова распадается на произведение трех независимых множителей: е — шгг /2тдс Х> ' (29 5) каждый из которых определяет распределение вероятностей для отдельной компоненты скорости. Если тело состоит из молекул (наприе!ер, мпогоатомный газ), то наряду с распределением Максвелла для отдельных атомов такое же распределение имеет место и для поступательного движения молекул как целых. Действительно, из кинетической энергии молекулы можно выделить в виде слагаемого энергикг поступательного движения, в результате чего исколюе распределение выделится в виде выражения (29.4), в котором под Гп надо будет понимать полную массу молекулы, а под н~, Бе! Бг- ГЛ. Ц! РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА Поэтому среднее значение кинетической энергии атома равно ЗТ/2.
Можно, следовательно, сказать, что средняя кинетическая энергия всех частиц тела в классической статистике всегда равна 3ЖЪ(2, где Х" полное число частиц. Задачи 1. Найти среднее значение п-й степени абсолютной величины скорости. Р е гп е н и е. Пользуясь (29.7), находим (о )=4к( ) /е 1 с Нс — ( — ) Г( ). В частности, если и — четное число (п = 27), то (.")=('ц ( + ) 1 7п/ Если же п = 27 + 1, то 227 1 (с" ) = — ( — у! ( +1))' 2 1'2Т1 ;- ~-( 2.
Найти средний квадрат флуктуации скорости. Р е ш е н и е. Пользуясь результатом задачи 1 для и = 1 и и = 2, находим ((гас) ) = 71' — о — (3 — — у! . 2 — 2 2Т 8 и1. (! Е,г 3. Найти среди!ою энергию, средний квадрат энергии и средний квадрат флуктуации кинетической энергии атома. Р е ш е н и е. Пользуясь результатами задачи 1, находим т,—. 3Т вЂ”. 15, 2 3, й= — о = —, с = — 1, ((7зе) ) = — Г 2 2 4 2 4. Найти распределение вероятностей для кинетической энергии атома. Р е ш с н и Р. 71ш, = е ~ 27ге 71ю чгТ2 ' где Г(г) - гамма-функция. В частности, если и = 2г, г ) О, то (2г — 1)!! Г я 12, 2'э~ ~!(а2 э где (2г — 1)!! = 1 3 5... (2г — 1). Если г = О, то 1О =— Если же п = 27 -> 1, то г.' 72 Э1— 2а"ю Тот же интеграл в пределах от — со до +со равен в последнем случае нулю, а в первых двух — удвоенному интегралу от О до оо.
газо РАОПРеделение ВеРОятнООтей для ООциллятОРА 111 5. Найти распределение вероятностей для угловых скоростей вращения молекул. Р е ш ен и е. По телг же причинам, что и для поступательного движения, можно писать (в классической статистике) распределение вероягнос сей для вращения каждой молекулы в отдельности. Кинетическая энергия вращения молекулы, рассматриваемой как твердое тело (что во:зможно в силу мачости внутримолекулярных колебаний атомов), равна , Х ХЛХг ЛХг ЛХ,г~ е,„= -(11згг + 1гйг + Хззгз) — ~ — + — + — ) . 2 1.) где 1г, 1г, 1з — главныо моменты инерции, Пг, Х)г, Нз — проекции угловой скорости на главные оси инерции, а ЛХг = Хгу)г, ЛХг = ЬПг, ЛХз = Хзг)зкомпонепты момента вращения, играющие роль обобщенных импульсов для скоростей Пг, Нг, Нз.
Нормированное распределение вероятностей для компонент момента есть с)гем = (2ят) (Хг1г1з) ехр~ — — ~ — 1г -'с — -'с — ')~с)ЛХгс)ЛХгс)ЛХз, — зуг Х ХЛХ,г И.,' ЛХг'с 2Т)лХг 1г 1з ) а для угловои скорости сгшсг = (2хт) (1гЬ1з) г ехр ~ — — 1Ьйг + 1Юг + 1зПзг))с)%сгг)гсХПз 2Т 6. Найти средние квадраты абсолкгтной величины угловой скорости и момента вращения молекулы.
Р е ш е н и е. С помощью найденных распределений получим (а ) =тсл — + — + — ), (И ) =тд+1 +Ь). /Х ),1, Хг 1)' 'й' 30. Распределение вероятностей для осциллятора Рассмотрим тело, атомы которого совершают мгогые колебания относительно некоторых положений равновесия. Речь может идти о колебаниях атомов кристалла нли о колебаниях атомов в молекулах газа (в последнем случае движение молекулы как целого не влияет на колебания атомов в ней и не сказывается на результатах).
Как известно из механики, функция Гамильтона (эггергия) системы, состоящей из произвольного числа частиц., совершающих злалые колебания, может быть представлена в виде суммы 2 ~г а где с) — так называемые нормальные координаты колебаний (в точках равновесия сХо = О), р„= с) --соответствующие им обобщенные импульсы, а ого частоты колебаний. Другими словами, Е(р, с)) распадается на су.мму независимых членов, каждый из которых соответствует отдельному нормальному колебанию 112 ГЛ.
П! РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА (или, как говорят, осцнллятору). В квантовой механике то же самое имеет место для оператора Гамильтона системы, так что каждый осциллятор квантуется независимо, и уровни энергии системы представляются суммами — ( 2) '1 тле ЦЕЛЫЕ ЧИСЛа).
В силу этих обстоятельств распределение Гиббса для системы в целом распадается на произведение независимых множителей, каждый из которых определяет статистическое распределение для отдельного осциллятора. На этом основании мы рассматриваем ниже отдельный осциллятор. Определим распределение вероятностей для координаты Г1 осциллятора') (индекс сл, указывающий номер осциллятора, в дальнейшем везде опускаем). В классической статистике этот вопрос решался бы совсем просто; поскольку потенциальная энергия осциллятора есть (1лл2)олгдг, то распределение вероятностей энергия дается формулой А —.Ре'(гт 1 или, определяя А из условия нормировки, (30.1) т/2кТ (интегрирование по длл можно производить ввиду быстрой сходимости интеграла в пределах от — ос до +ос). Обратимся к решению поставленной задачи в квантовом случае. Пусть фо(д) волновые функции стационарных состояний осциллятора, соответствующие уровням энергии е„= йло(п+ -).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
