V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(37.1) Физически этот слу.чай соответствует достаточно разреженному газу. В дальнейшем будет установлен критерий, обеспечивающий выполнение этого условия., но уже сейчас укажем, что фактически оно выполняется для всех обычных молекулярных или атомных газов. Это условие нарушилось бы лишь при таких болыпих плотностях, при которых вещество фактически уже ни в какой мере нельзя было бы рассматривать как идеальный газ.
Условие йь « 1 для средних чисел заполнения означает, что в кагкдый момент времени в каждом квантовом состоянии фактически находится не более одной частицы. В связи с этим можно пренебрегать не только непосредственным силовым взаимодействием частиц, но и их косвенным квантовомсханическим взаимным влиянием, упомянутым выше. Это обстоятельство в свою очередь позволяет 77рименить к отдельным молекулам формулу распределения Гиббса. Действительно, распределение Гиббса было выведено нами для тел, являющихся относительно малыми, но в то же время макроскопическими частями каких-либо больших замкнутых систем. Макроскопичность тел давала возможность считать их квазизамкнутыми, т, с, в известном смысле пренебречь их взаимодействием с другими частями системы.
В рассматриваемом случае квазизамкнутыми являются отдельные молекулы газа, хотя они отнюдь не представляют собой макроскопических тел. Применив к молекулам газа формулу распределения Гиббса, мы можем утверждать, что вероятность молекуле находиться в Й-м состоянии, а потому и среднее чи<шо пь молекул в этом состоянии, пропорциональны ехр( — еь7гТ): — — ег7Т (37.2) где а-- постоянная, определяющаяся условием нормировки = п,ь = Х (37. 3) ь (Х полное число частиц в газе).
Распределение молекул идеального газа по различным состояниям, определяемое формулой (37.2), называется распределением Больцмана; оно было открыто Вольцманом (1. Во11итпапп) для классической статистики в 1877 г. 140 илклльный глз гл, 1г л — яь ю1 = ехр Т Что же касается вероятностей значений пь ) 1, то они в том же приближении должны быть положены равными нулю.
Поэтому пь = ~ ю„ьпь = ю1. 1, и мы получаем распределение Вольцмана в виде и — яа пь = ехр т (37.5) Таким образом, коэффициент в формуле (37.2) оказывается вы- раженным через химический потенциал газа. 3 38. Распределение Больцмана в классической статистике Если бы движение люлекул газа (и атомов в них) подчинялось классической механике, мы могли бы ввести вместо распределения по квантовым состояниям распределение молекул Постоянный коэффициент в (37.2) можег быть выражен через термодинамические величины газа.
Для этого дадим еще один вывод этой формулы, основанный на применении распределения Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии. Мы имеем право сделать это (даже если числа йь не малы), поскольку непосредственного силового взаимодействия между этими и остальными частицами (как и между всеми вообще частицами идеалыюго газа) нет, а квантовомеханические обменные эффекты имеют место лишь для частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Полагая в общей формуле распределения Гиббса с переменным числом частиц (35.2) Е = вьеы Х = пь и приписывая индекс й величине П, получим распределение вероятностей различных значений пь в виде й~ -Ь ль(Н вЂ” гь) ю„, = ехр Ь т В частности, юе = ехр(йь/Т) есть вероятность полного отсутствия частиц в данном состоянии.
В интересующем нас здесь случае, когда пь « 1, вероятность юв близка к единице; поэтому в выражении ю~ для вероятности наличия одной частицы в Й-м состоянии можно положить, опуская члены высшего порядка малости, ехр(йь/Т) = 1. Тогда ~ за глапвкдклкник вольпмлнл в нллссичкской атлтистикк 141 по фазовому пространству, т.е. по импульсам и координатам. Пусть йй7 среднее число молекул, «заключенных» в элементе объема фазового пространства молекулы йрйд = йрю ..йр,йг)1...
йд, число степеней свободы молекулы). Напишем его в виде йХ = ~(р, и) йт, (2я6)' и будем называть н(р,д) плотностью в фазовом пространстве (хотя йт отличается множителем (2я6) " от элемента объема фазового пространства). Мы получим теперь вместо (37.5) п(р,д) = ехр (38.2) (38.1) йЬ„= — ( — ) ехр ~ — " * ) йн як йн, (38.4) (т, - — масса молекулы), нормированную на Х/1' частиц в единице объема. Рассмотрим далее газ, находящийся во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы есть функция только от координат ее центра инерции: и = и(л, у, к) (таково, например, гравитационное поле). Если, как это практически всегда где к(р, д) энергия молекулы как функция координат и импульсов ее атомов. Обычно, однако, квазиклассичным оказывается не все движение молекулы, а лишь движение, соответствующее части ее степеней свободы.
В частности, в газе, не находящемся во внешнем поле, всегда квазиклассично поступательное движение молекул. При этом кинетическая энергия поступательного движения входит в энергию кь молекулы как независимое слагаемое, а остальная часть энергии вовсе не содержит координат л, д, к и импульсов рт, рю р, центра инерции молекулы. Это обстоятельство позволяет выделить из общей формулы распределения Больцмана множитель, определяющий распределение молекул газа по указанным переменным.
Распределение молекул по занимаемому газом объему будет, очевидно, просто однородным, а для числа молекул, приходящихся на единицу объема и имеющих импульсы (поступательного движения) в заданных интервалах йр, йрю йр„получим формулу распределения Максвелла йй7р — — „,г, ехр ~ — ' '", ' ~ йр, йрв йр:, (38.3) И(2итит')М ~ 2тт' 142 идкальный газ гл, 1у имеет место, поступательное движение в этом поле квазиклассично, то (т, у, з) входит в энергию молекулы в качестве независимого слагаемого. Максвелловское распределение по скоростям молекул остается, разумеется, неизменным, а распределение по координатам центра инерции определится формулой н(з) = иое (38. 7) где но — плотность на уровне я = О.
На болыпих расстояниях от Земли ее гравитационное поле должно описываться точным ньютоновским выражением, причем потенциальная энергия и обращается на бесконечности в нуль. Согласно формуле (38.6) плотность газа должна была бы иметь при этом на бесконечности отличное от нуля конечное значение. Однако конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Это значит., что в гравитационном поле газ (атмосфера) не может находиться в равновесии и должен непрерывно рассеиваться в пространство.
Задачи 1. Найти плотность газа в цилиндре с радиусом и и длиной 6 вращающемся вокруг оси с угловой скоростью Й (всего в цилиндре Х молекул). Р е ш е н н е. В З 34 было указано, что вращение тела как целого эквнва- 3 2 лентпо внешнему полю с потенциальной энергией -шй г (г расстояние 2 до оси вращения). Поэтому плотность газа есть () пе зщт Нормировка дает у Пз п~ (зт 2тТ((е и и 2 т — ц частиц по импульсам для релятивистского иде- п(г) 2.
Найти распределение альпого газа. с()у; =угон ' '"' сЛ'. (38.5) Эта формула дает число молекул в элементе пространственного объема й"г' = с(щ с(у йз; величина же и(г) = ное "( '"л)7 (38.6) представляет собой плотность числа частиц. Постоянная по есть плотность в точках, где и = О. Формула (38.6) называется формулой Больцмини. В частности, в однородном поле тяжести, направленном вдоль оси з, и = пзйз, и распределение плотности газа определяется так называемой биромегирической формулой ОТОлкнОВения мОлекул Р е гп е н и е. Энергия релятивистской частицы выражается через ее сяет ' ( ..
Г н и распределение по импульсам есть ( Т ) (гасе) Т (тс ) 4я1гпс)' где Ко, К~ . функции Макдональда (функции Ганкеля от мнимого аргумен- та). При вычислении нормировочного интеграла использованы формулы: е ''ь вп г М = — К1(в), о К,1я) = --К,(я) — Ке1я). 3 39.
Столкновения молекул Молекулы газа, заключенного в сосуде, сталкиваются при своем движении с его стенками. Вычислим среднее число ударов молекул газа об едннипу поверхности стенки за единицу В1)смени. Выберем какой-нибудь элемент поверхности стенки сосуда и введем систему координат с осью з, направленной перпендикулярно к этому элементу поверхности (который можно теперь написать в вид гьт г1у). Из молекул газа в единицу времени долетят до стенки сосуда, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
