V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Найти изменение энтропии. где ~ и го постоянные. Подставляя его в (42.4), получим для свободной энергии следующее окончательное выражение: Р = №о — ХТ1гг —, — МЕТ1пТ вЂ” 7У7ТТ. (43.1) е Ь' Х Постоянная ~ называется химической постоянной газа. Для энергии получим 155 идеАльный ГАЗ О пОстОяннОЙ теплОемкОстьк» Р е ш е н и е. До соединения сосудов энтропия обоих газов (равная сумме их энтропий) была, согласно (43.6), равна Яо = — 236 1п Р + Мер 1и Т» Т» ' ) .
После соединения сосудов температуры газов выравниваются. Сумма энергий обоих газов остается постоянной. Пользуясь выражением (43.2) для энергии, находим Т = (Т» -Ь Тг)~2 (Т вЂ” температура после выравнивания). После соединения сосудов газ имеет 2Д» частиц и занимает объем 1 ~ + ! г = г»»(Х» +Тг)(Р. Его давление теперь равно 2ХТ/('г» + ЪЯ = Р, т.е. остается тем же. Энтропия при этом равна Е = — 2»»'!еР+ 2№„!и Т,-ЬТг 2 Изменение энтропии (т, -Ь Тг)' 4Т,Т, 2.
Найти работу, производимую над идеальным газом при адиабатиче- ском сжатии. Р е ш е н и е. При адиабатическом процессе количество тепла Я = О, так что Н = Ег — Ем где Ег — Е» — изменение энергии при процессе. Соглас- но (43.2) находим: й = г»»с» (Тг — Тг), где Тг и Тг — температуры газа после и до процесса; 77 можно выразить через начальный и конечный объемы !Р» и 4г, пользуясь соотношением (43.9): г=~,„г, ~(~) -~~ = Ага !~-(» ) 3. Найти количество тепла, получаемого газом при процессе, происхо- дящем при постоянном объеме (изохорном).
Р о ш е н и с. Поскольку в дщщом случае работа Л = О, то имоелг () = Ег — Ег — — Д'с, (Тг — Тг). 4. Найти работу и количество тепла при процессе, происходящем при постоянном давлении (изоб»арном). Р е ш е н и е. При постоянном давлении имеем 7с = — Р»,1»г — 15 ), »»г = В» — И», откуда В = Х(Т» — Т»), 1„~ = №рЯ вЂ” Т»).
б. Найти работу, совершаемую над газом, и количество герша, »гол) чаемое им при сжатии от объема !Т» до объема Иг, согласно уравнению Р!Р ' = а (политропическийг процесс). Р е ш е и и е. Работа г» / 1 '!!' = '»»г !'» ) и — 1 »'» Поскольку сумма количества тепла и работы равна полному изменению ) Несущественные при решении задач постоянные члены в энтропии и энергии мы везде опускаом.
идкхльный газ гл, г~ энергии, имеем: Я = 74сг1Тв — Т~) — 77, и так как Т = Р)г/Х = 1а/74)Ъ' то Я = а (с„. + ~ (рз~ — Р~~ ). 1 — и/ 6. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаелюе им, когда гиз совершает круговой процесс !т.е. после процесса возвращается в исходное состояние), состоящий из двух изохорных и двух изобарных процессов: газ переходит из состояния с давлением и объемом Ры $'~ в состояние с Рм 1в, далее в состояние с Рз, Ъм далее с Рг 17 и, наконец, опять с Ры гь Р е ш е н и е. Изменение энергии при круговом процессе равно нулю, так как исходное состояние совпадает с конечным. Поэтому работа и количество тепла, получаемые при таком процессе, равны друг другу с обратными знаками (й = — 17). Для того чтобы найти 77 в данном ш~учае, замечаем, что при изохорных процессах работа равна нулю, а при двух изобарных, соответственно, — Р~ Я вЂ” 1з) и — Рз!17 — )св).
Таким образом, 77 = ()'г — 17)(Рв — Р~). Т. То же для кругового процесса, состоящего из двух изохорных и двух изотермических !последовательные состояния газа имеют объем и темпера- ТУРУ: 1) 1гы Т1; 2) 1ы Тг; 3) \г, Т~', 4) )гг, Т~, '5) !дм Т~), Р е ш е н и е. 17 Л = (Тэ — Т~)Л 1п —. ге 8. То же для никла из двух изотермических и двух адиабатических процессов !последовательные состояния имеют энтропию, температуру и давление: 1) Яы Т~ РИ 2) Ям Тщ 3) Яв, Тэ Р~; 4) Яз, Тц 5) Яы Ты Р~)- Р е ш е н и е.
Я = 1Тэ — 71)152 — 81) = (Тэ — 7~) (Л!и — + Мор )и— Р~ Тэ ! Р Т) 9. То же для цикла из двух нзобарных и двух нзотермическнх процессов !последовательные состояния: Ц Ры 76 2) Ры Те; 3) Рв, Тз; 4) Рв, 7) ,' 5) Ры Т~). Р е ш е н и е. Работа, произведенная над газом при изобарных процессах, равна 1сьь задачу 4) М1Т~ — Т„) и 74(Тв — Т~), а при изогермичеР2 Р1 ских ХТэ )и — и 74Т~ )в —. Сумма нх равна Р~ Р,' В = Л'(Тз — Т~)!и — . Ре Р,' 10. То же для цикла из двух изобарных и двух адиабатических процессов (последовательные состояния газа; 1) Ры Ям ТИ 2) Ры ЯЮ 3) Рю Яв, Тв! 4) Рю ЯИ 5) Р„Яы Т~).
гр х П зУз Р е ш е н и е. Температура во втором состоянии есть 7в ( — ), а Р, ~Р П-зУз в четвертом Т~ ( — ) 7'й '! [их можно найти из Т~ и Тз с помощью соотРг ношения (43.7)). Количество тепла, получаемое газом при адиабатических 158 идвальный газ гл, гг !так как температура постоянна), т. е. Ег — Ег = О. Пользуясь 143.6), находим Р изменение энтРопии пРи изменении давлениЯ от Рг до Рг: Яг — Э! = ЛР!и —, Рг /1 1! изменение же объема: Иг — рг = %То — — — ) .
Отсюда находим )Р, Р!' 15. Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью идеазьпого газа при охлаждении от температуры Т до температуры среды То при постоянном объеме. Р е пг е н и е. Т!о общей Формуле 120.3) находим й„,»„= !'ср(Т вЂ” То) + Хс„Те 1и —, Т 16.То же для газа, охлаждающегося от температуры Т до температуры среды То и в то же время расширяющегося так, что его давление меняется от Р до давления среды Ре. Р е ш е н и е.
Л» = 1«'с4Т вЂ” То) З- дРХо !и — -'г !«'ср1о 1п — Ч- !«' ~ Т вЂ” — Та) . Р ,, Те / Ро Р т 17. Из большого теплоизолированного резервуара газ с температурой То вытекает в пустой теплоизолированный сосуд, причем давление газа в резервуаре поддерживается постоянным. Найти изменение температуры газа в этом процессе, Р е ш е и и е. Энергия Е газа в сосуде складывается из энергии Ее, которую он имел в резервуаре, и работы, произведенной над ним при «изгнании» из резервуара.
Поскольку состояние газа в резервуаре можно считать стационарным, мы получаем условие И'о = Е !ср. 3 18). Отсюда температура газа в сосуде Т =зт. 8 44. Закон равнораспределения Прежде чем приступить к подробному вычислению термодинамических величин газов с учетом различных квантовых эффектов, полезно рассмотреть эту жс задачу с точки зрения чисто классической статистики. В дальнейшем мы увидим, в каких случаях и в какой мере получающиеся при этом результаты могут быть применены к реальным газам.
Молекула представляет собой конфигурацию атомов, совершающих малые колебания около определенных положений равновесия, соответствующих минимуму потенциальной энергии их взаимодействия. Последняя имеет при этом вид г р„„ и = ео + ~~ а,ь!),г)ь, Ьlг= 1 ЗАКОН РАННОРАСПРНДЕЛБНИН 159 где ео потенциальная энергия взаимодействия атомов, когда все они находятся в положениях равновесия; второй же член есть квадратичная функция координат, определяющих отклонения атомов от положений равновесия. Число г координат в этой функции есть число колебательных степеней свободы молекулы. Последнее можно определить по числу и атомов в молекуле.
Именно, п;атомная молекула имеет всего Зп степеней свободы. Из них три соответствуют поступательному движению молекулы как целого и три ее вращению как целого. Если все атомы расположены по одной прямой (в частности, у двухатомной молекулы), то вращательных степеней свободы всего две. Таким образом, нелинейная и-атомная молекула имеет всего Зп — 6 колебательных степеней свободы, а линейная Зп — 5.
При п, = 1 колебательных степеней свободы, конечно, совсем нет, так как все три степени свободы атома соответствуют поступательному движению. Полная энергия е молекулы есть сумма потенциальной и кинетической энергий. Последняя является квадратичной функцией от всех импульсов, число которых равно полному числу Зп степеней свободы молекулы. Поэтому энергия е имеет вид е = = ео + 1п(р,д), где 1п(р,д) квадратичная функция импульсов и координат; полное число переменных в этой функции есть 1 = бп — 6 (для нелинейной молекулы) или 1 = бп, — 5 (для линейной); у одноатомного газа 1 = 3, так как координаты вообще не входят в выражение для энергии. Подставляя это выражение для энергии в формулу (41.5), имеем ,, — ~/т Г Р = — МТ1п ' / е йй'"")~ Йт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
