V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. столкнутся с ней, только те, координаты з которых не больше, чем компонента н, их скорости по этой оси (которая, конечно, должна к тому же быть направлена к стенке, а не в противоположную сторону). Число Ыи столкновений молекул в единицу времени 1отнесенное к единице площади поверхности стенки), при которых компоненты скорости лежат в заданных интервалах с)и„пню г1н„ получится, следовательно, умножением распределения 138А) на объем цилиндра с основанием 1смв и высотой, равной н,. Мы получим тогда г)и„= — ( '" ) ехр~ — — (О~~+ и„+ н )~н~ дня йи~Ы,. '(39.1) Отсюда легко найти полное число и ударов молекул газа об единицу поверхности стенки сосуда в единицу времени.
Для этого проинтегрируем (39.1) по всем скоростям и, от О до ОО и по ня и н„от — сю до +ос (по О, не надо интегрировать от — оо до О, 144 накальный газ гл, гс так как при о, ( 0 молекула летит в сторону, противоположную стенке,и, следовательно, не столкнется с ней). Это дает и= (39.2) Р 'у' 2кгл чг2кшТ 1плотность газа выражена через его давление согласно уравнению Клапейрона).
Формулу 139.1) можно написать в сферических координатах в пространстве скоростей, вводя вместо о ., ою о, абсолютную величину скорости о и полярные углы 0 и гэ, определяющие ее направление. Если выбрать полярную ось по оси я, то о, = о сов 0 и мГ т '~212 Г ВЬ„= — ( ) ехр ~ — ) ов в1п 0 сов Вс10 сйр й>. 139.3) Р 2кТ 2Т Рассмотрим теперь столкновения молекул газа друг с другом. Для этого необходимо найти предварительно распределение молекул по их скоростям (скорость есть везде скорость центра инерции) относительно друг друга.
При этом мы выбираем какую-нибудь из молекул газа и рассматриваем движение всех остальных молекул относительно этой, т.е. для каждой молекулы мы рассматриваем не ее абсолютную скорость о 1относительно стенок сосуда), а скорость о' относительно некоторой другой молекулы. Другими словами, вместо того чтобы иметь дело с отдельными молекулами, мы каждый раз рассматриваем относительное движение пары молекул, причем не интересуемся движением их общего центра инерции. Из механики известно, что энергия относительного движения двух частиц 1с массами тг и т2) равна т'о'2/2, где т, = гп1т2((тг + т2) —. их априведенная массаь, а о .— относительная скорость.
Поэтому распределение молекул идеального газа по относительным скоростям имеет такой же вид, как и распределение по абсолютным скоростям, но только вместо т стоит приведенная масса гп'. Поскольку все молекулы одинаковы, т' = т/2, мы получаем для чисна молекул в единице обьема, обладающих скоростью относительно данной молекулы, лежащей между. о' и о' + г1о', выражение йМ„= — — ( — '" ) ехр( — ) о' Ыо'.
139.4) Столкновения молекул друт с друтом могут сопровождаться различными процессами: отклонением их (рассеянием) на определенный угол, распадом на атомы и т.д. Процессы, происходящие при столкновениях, принято характеризовать их эффективными се ~синями. Именно, эффективным сечением или просто 14б нкгавиоввсиый идклльный газ 14О сечением для некоторого процесса, происходящего при столкновении данной частицы с другими, называется отношение вероятности такого столкновения в единицу времени к плотности потока частиц (плотностью потока называется количество соответствующих частиц в единице объема, помноженное на их скорость). Поэтому число столкновений (в единицу времени) данной частицы с другими, сопровождающихся некоторым процессом с сечением и, равно Полное число таких столкновений, происходящих в единицу вре- мени во всем объеме газа, равно, очевидно, и'Я/2.
Задачи 1. Найти число ударов молекул газа об единипу поверхности стенки в единицу времени, при которых угол между направлением скоропги молекулы и нормалью к поверхности лежит между В и В + пВ. Р е ш е н и е. й~в = (Ж(У)(2Т)(т т))пз вшВ сов В ВВ. 2. Найти число ударов молекул газа об единипу поверхности стенки в единицу времени, при которых абсолютная величина скорости лежит между о и о -~- де. Р е ш е н и е. Ви,, = (М|Ъ1)т~ра((2хТ)) ~ е "'" гетгз нн 3. Найти полную кинетическую энергию Ег молекул газа, ударяющихся об единипу поверхности стенки в единицу времени. Р е ш е н и е.
~„=(~аз ау7Г ) =г луЛ~ ) 4. Найти число столкновений одной молекулы с остальными в одиницу времени. При этом молекулы считаются твердыми шарами радиуса г. Р е ш е н и е. Сечение столкновений молекул друг с другом будет теперь и = х(2г)е = 4хге (так как столкновение происходит всякий раз, когда молекулы проходят друг мимо друга на расстоянии, меньшем 2г). Подставляя это в (39.5)., находим и = 16г' ьУ(х~~т(М(Ч") = 16г;Я(тТ)Р.
я 40. Неравновесный идеальный газ Распределение Больцмана может быть выведено еще и совсем иным способом, непосредственно из условия максимальности энтропии газа в целом, рассматриваемого как замкнутая система. Этот вывод представляет существенный самостоятельный интерес, поскольку он основан на методе, дающем 146 илвлльный глз гл, гг возможность вычислить энтропию газа, находящегося в произвольном неравновесном макроскопическом состоянии.
Всякое макроскопическое состояние идеального газа можно характеризовать следующим образом. Распределим все квантовые состояния отдельной частицы газа по группам, каждая из которых содержит близкие состояния (обладающие, в частности, близкими энергиями), причем как число состояний в каждой группе, так и число находящихся в них частиц все же очень велики. Перенумеруем эти группы состояний номерами 1 = 1, 2,..., и пусть С, есть число состояний в у-й группе, а Л' число частиц в этих состояниях. Тогда набор чисел Лг будет полностью характеризовать макроскопическое состояние газа. Задача о вычислении энтропии газа сводится к задаче об определении статистического веса ЬГ данного макроскопического состояния, т.е.
числа микроскопических способов, которыми это состояние может быть осуществлено. Рассматривая каждую группу из Л7„частиц как независимую систему и обозначая символом ЬГ, ее статистический вес, можем написать: ЛГ = ПЛГ,. (40.1) у Таким образом, задача сводится к вычислению ЬГ . В статистике Больцмана средние числа заполнения всех квантовых состояний малы по сравнению с единицей.
Это значит, что числа Лгэ частиц должны быть малы по сравнению с числами С состояний (Х. « С.), но, конечно, сами по себе все же очень велики. Как было обьяснено в ~37, малость средних чисел заполнения позволяет считать, что все частицы распределяются по различным состояниям совершенно независимо друг от друга. Помещая каждую из Х. частиц в одно из С, состояний, получим всего С. ' возможных распределений, среди которых, однако, есть тождественные, отличающиеся лишь перестановкой частиц (частицы все одинаковы). с1исло перестановок Лг частиц есть Лгэ!, и таким обРазом, статистический вес распределения Ж частиц по С.
состояниям равен ЬГ = С '7'Лг,!. (40.2) Энтропия газа вычисляется как логарифм статистического веса Я = 1п ЬГ = ~ 1п ЬГ .. Подставив (40.2), имеем 5 = Я(М 1пС вЂ” 1пХ!). 147 нвгавноввсный идеальный газ 14о Имея в виду, что числа Х велики, воспользуемся для 1п йтз! приближенной формулой ') 1гг 11г! — Х 1гг(Х/е) (40.3) и полвчим Я= зт Х 1п — ''. (40.4) з' Эта формула решает поставленную задачу, определяя энтропию идеального газа, находящегося в произвольном макроскопическом состоянии, определяющемся набором чисел йг . Перепишем ее, введя средние числа и частиц в каждом из квантовых состояний утй группы; и = 1гт /С . Тогда Б=~~ Сп 1п — '. (40.5) пз Если движение частиц квазиклассично, то в этой формуле можно перейти к распределению частиц по фазовому пространству.
Разделим фазовое пространство частицы на участки Ьр01Ьд(41, каждый из которых мвл, но содержит все же большое число частиц. Числа квантовых состояний, приходящихся на эти участки, равны (40.6) (2яй)" (г -- число степеней свободы гастицы), а числа частиц в этих со- СтОяНИяХ НаПИШЕМ В ВИДЕ Лг = П(р,д)Ьт(1), ГдЕ П(р,д)-"ПЛОТ- ность распределения частиц в фазовом пространстве. Подставляем эти выражения в (40.5), после чего, имея в виду, что участки гат(з) малы, а их чистю велико, заменяем суммирование по у интегрированием по всему фазовому пространству частицы: (40.7) Б = п 1п — <1т. п В состоянии равновесия энтропия должна иметь максимальное значение (в применении к идеальному газу это утверждение иногда называют Н-теоремой Больцмана).
Покажем, каким образом из этого требования можно найти функцию распределения частиц газа в состоянии статистического равновесия. Задача заключается в нахождении таких йзз при которых ') При болыпом Х можно приближенно заменить сумму 1пХ! =1п1-т1п2-Ь., ... -1- 1п 1У интегралом )' 1п т г1к, откуда и получается (40.3).
е 148 идвэльный газ гл. ге сумма (40.5) имеет максимальное значение, возможное при до- полнительных условиях выражающих постоянство полного числа частиц Х и полной энергии Е газа. Следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, надо приравнять нулю производные — (Я+ стХ+)3Е) = О, (40.8) дп, где се, )э' некоторые постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
