III.-Квантовая-механика (1109680), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Это соответствует тому, что при учете релятивистских взаимодействий спин, строго говоря,ие сохраняется (сохраняется лип1ь полный мол1ент .У). ) Во избежание недоразумений подчеркнем, что эта формула отвечает параметризации элементов группы, отличной от параметризации углами Эйлера; преобразование задается направлением осн вращения и углом 1д поворота вокруг нее. Можно показать, что при такой параметризации интегрирование, например, в (98,2) должно производиться по 2(1 — сов Ээ) 11Э111о, где По — элемент телесного угла для направления оси вращения. з99 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ Поэтому характер ~~ )(1) = +(2,7+ 1). (98.
4) Наконец, характеры, соответствующие отражению в плоскости а и зеркальному повороту на угол сз, вычисляются путем представления этих преобразований симметрии в виде о = 1СР, Я(9э) = 1С(я + ~р). Остановимся еще на неприводимых представлениях группы аксиальной симметрии С' „. Этот вопрос быд по существу уже решен, когда мы выясняли классификацию электронных термов двухатомной молекулы, обладающей как раз симметрией С (если оба атома различны).
Термам ОР и 0 (термы с й = О) соответствуют два одномерных представления: единичное представление А» и представление Аэ, в котором функция базиса инвариантна по отношению ко всем поворотам и меняет знак при отражениях в плоскостях ою Двукратно вырожденным же термам с й = 1, 2,... соответствуют двумерные представления, которые обозначают как Еы Е2,... Функции их базиса умножаются на е~' Р при повороте вокруг оси на угол 9э, а при отражении в плоскостях ов переходят друг в друга. Характеры всех этих представлений; (98.5) Неприводимые представления группы О а = С Р х С, получаются непосредственно из представлений группы С, (и соответствуют классификации термов двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами).
Если взять для й полуцелые значения, то функции е~'пт осуществят двузначные неприводимые представления группы С, „, соответствующие термам молекулы с полуцслым спином') . ) В отличие от трехмерной группы вращений, здесь можно было бы соответствующим выбором дробных значений О получить не только одно- и двузначные представления, но и представления трехзначные и выше. Однако физически возможные собственные значения момента импульса, как оператора трехмерного бесконечно малого поворота, определяются представлениями именно трехмерной группы вращений.
Поэтому трехзначные (и выше) представления двумерной группы вращений (а также любой конечной группы симметрии), хотя и могут быть математически определены, но не имеют физического смысла. 476 ГЛ. Хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ 9 99. Двузначные представления конечных точечных групп Состояниям системы с полуцелым спином (а потому и полу- целым полным моментом) соответствуют двузначные представления точечной группы симметрии этой системы. Это является общим свойством спиноров и потому справедливо как для непрерывных, так и для конечных точечных групп.
В связи с этим возникает необходимость в отыскании двузначных неприводимых представлений конечных точечных групп. Как уже отмечалось, двузначные представления по существу вообще не являются истинными представлениями группы. К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых шла речь в ~ 94, и когда в этих соотношениях (например, в соотношении (94.17) для суммы квадратов размерностей неприводимых представлений) речь шла о всех неприводимых представлениях, то в их числе подразумевались только истинные, однозначные представления.
Для отыскания двузначных представлений удобно применять следующий искусственный прием (Н. А. Вегле, 1929). Введем чисто формальным образом понятие о новом элементе группы (обозначим его через й'1) повороте на угол 241 вокруг произвольной оси -как об элементе, отличном от единичного, но совпадающем с Е при своем двукратном применении: Я = Е.
2 В соответствии с этим повороты С„вокруг осей симметрии иго порядка будут давать тождественные преобразования лишь после 2п-кратного (а не и-кратного) своего применения: Сси Е И (99.1) Инверсия 1 как элемент, коммутативный со всяким поворотом, должна при двукратном применении по-прежнему давать Е. Но двукратное отражение в плоскости будет равно ь1, а не Е: пз Я п4 Е (99.2) 1это следует из того, что отражение может быть написано в виде и = 1Сз). В результате мы получим совокупность элементов, составляющих некоторую фиктивную точечную группу симметрии, порядок которой вдвое болыпс порядка исходной группы; об этих группах мы будем говорить как о двойных точечных группах. Двузначные представления действительной точечной группы будут, очевидно, однозначным14, т.е.
истинными представлениями соответствующей двойной группы, так что для их отыскания можно применить обычные приемы. з 99 двнзначнык пгвдотавлвння кони ~ных точвчных ггкпп 477 Число классов в двойной группе больше, чем в исходной группе (но, вообще говоря., не вдвое). Элемент Я коммутативен со всеми другими элементами группы') и потому всегда составляет сам по себе класс. Если ось симметрии двусторонняя, то в двойной группе это означает сопряженность элементов С~ и Сэа ~ = стС„" ь .
В связи с этим при наличии осей второго порядка распределение элементов по классам зависит также и от того, являются ли эти оси двусторонними (в обычных точечных группах это несущественно, так как Сз совпадает с обратным поворотом Сэ '). Так, в группе Т оси второго порядка эквивалентны, и каждая из них двусторонняя, а оси третьего порядка эквивалентны, но не являются двусторонними.
Поэтому 24 элемента двойной группы Т") распределяются по 7 классам; Е, Я, класс из трех поворотов Ст и трех Сзф классы 4Сз, 4Сз~, 4СзЯ, 4Сэ~Я. В число всех неприводимых представлений двойной точечной группы входят, во-первых, представления, совпадающие с однозначными представлениями простой группы (причем элементу Я, как и Е, соответствует единичная матрица), и, вовторых, двузначные представления простой группы, причем элементу Я соответствует отрицательная единичная матрица; нас интересуют сейчас именно эти последние представления.
Двойные группы С'„(и = 1, 2, 3, 4, 6) и Я~с, как и соответствующие им простые группы, являются циклическими группами') . Все их неприводимые представления одномерны и могут быть найдены без всякого труда, как это было объяснено в 9 95. Неприводимые представления групп П~„(или изоморфных им С'„„) можно найти тем же способом, как и для соответствующих простых групп. Эти представления осуществляются функциями вида е ' э', где со — угол поворота вокруг оси и-го порядка, а для а берутся полуцелые значения (целые значения соответствуют обычным однозначным представлениям).
Повороты вокруг горизонтальных осей второго порядка переводят эти функции друг в друга, а поворот С„умножает на е~~ 'ь7". Несколько труднее нахождение представлений двойных кубических групп. 24 элемента группы Т' распределяются по семи ) Для поворотов в инверсии это очевидно; для отражения в плоскости это следует из того, что отражение можно представить в виде произведения инверсии н поворота. г ) Двойные группы мы будем отличать штрихом у символа обычной группы. ) Группы же Яз— : С,', Яе =: Сэ„содержащие инверсию 1, являются абелевыми группами, но не циклическими.
478 гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ классам. Поэтому имеется всего семь неприводимых представлений, из которых четыре совпадают с представлениями простой группы Т. Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна 12, откуда находим,что все они двумерны. Поскольку элементы Сз и Сз1~ находятся в одном классе, то 1с(Ст) = ;«(Сз® = — Х(Ст), откуда следует, что во всех трех представлениях ~(Ст) = О. Далее, из трех представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь взаимно сопряженными парами. Рассмотрим это представление и предположим, что матрица элемента Сз приведена к диагональному виду (пусть ам а2 ес диагональные элементы).
Поскольку Сзз — — с„, то азг = азз — — — 1. Для того чтобы Х(Сз) = а1+ аз было вещественным, надо взять а1 = Р 'уз, аз = е гуз. Отсюда находим, что с(Сз) = 1, ЦСз2) = а~~ + а~ ~— — — 1. Таким образом, одно из искомых представлений найдено.
Составляя его прямые произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными представлениями группы Т, найдем два остальных представления. Аналогичными рассуждениями, которые мы не станем приводить здесь, можно найти представления группы сУ. В сводной табл. 8 даны характеры представлений перечисленных двойных групп (приведены лишь представления, соответствующие двузначным представлениям обычных групп). Те же представления имеют изоморфные с ними двойные группы. Остальные точечные группы либо изоморфны с рассмотренными, либо получаются в результате прямого умножения последних на группу С;, так что их представления не нуждаются в особом вычислении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
