III.-Квантовая-механика (1109680), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Далее, рассмотрим группу Сз,. По сравнению с группой Сз здесь прибавляются отражения О„в вертикальных плоскостях (относящиеся все к одному классу). Функция, инвариантная по отношению к повороту вокруг оси (функция базиса представления А группы Сз), может быть симметричной или антисимметричной по отношению к отражениям О, Функции же, умножающиеся при повороте Сз на е и е~ (функции базисов комплексно сопряженных представлений Е), при отражении переходят друт в друга') . Из этих рассуждений следует, что группа Сз„ (и изоморфная с ней Х)з) имеет два одномерных и одно двумерное неприводимое представление с характерами, указанными в ) Для точечной группы С„в качестве функций ~ можно, иаприл1ер, выбрать функции ф = е*ье (и = Ц 2,.,,, и), где <р — угол поворота вокруг оси, отсчитываемый от некоторого определенного направления, ) Эти функции лгожно взять, например, в виде Гг = е, фз .= е ~.
При отражении в вертикальной плоскости у меняет знак. гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ таблице. В том, что мы действительно нашли все неприводимые представления, можно убедиться, из того, что сумма 12 + 12 + + 2 = 6, т. е. равна порядку группы. 2 Аналогичными рассуждениями находятся характеры представлений других групп такого же типа (С4„Сбв). Группа т получается из группы Р2 = Ъ' добавлением поворотов вокруг четырех наклонных осей третьего порядка.
Функция, инвариантная по отношению к преобразованиям группы Ъ'" (базис представления А), может умножаться при повороте Сз на 1, с или е~. Функпии же базиса трех одномерных представлений Вм В2, Вз гРУппы Ъ' пРи повоРотах вокРУг осей тРстьсго порядка переходят друг в друга (что видно, если взять, например, в качестве этих функпий сами координаты х, у, л). Таким образом, получаем три одномерных и одно трехмерное неприводимое представление (12 + 12 + 12+ 32 = 12). Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Тн.
Группа Тн получается из группы Т добавлением отражений пн в плоскостях, каждая из которых проходит через две оси третьего порядка. Функция базиса единичного представления А группы Т может быть симметричной или антисимметричной по отношению к этим отражениям (относящимся все к одному классу), что дает два одномерных представления группся Т4. Функции, умножающиеся на е или е при повороте вокруг оси г третьего порядка (базис комплексно сопряженных представлений Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей через эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно двумерное представление.
Наконец, из трех функций базиса представления Е группы Т одна преобразуется при отражении сама через себя (причем может остаться неизменной или изменить знак), а две другие— переходят друг в друга. Таким образом, получаем всего два одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления ') . Что касается остальных интересующих нас точечных групп, то их представления можно получить непосредственно из уже выписанных, если заметить, что эти группы являются прямыми произведениями рассмотренных уже групп на группу С; (или С,). Именно, Сзл=СзхС, Р25=Р2хСО Рзн=РзхС„О5=0хС„ С45 — С4хС Р45=Р4хС Рй =РвхС Свл=СбхС, Вв=СзхС, Ть=ТхС. ') Упомянем, что неприводимые представления болыпей размерности (4-й и 5-й) имеются в группах икосаздра.
2 96 иепРинодимые пРедстАвления и клАсоиоикАция теРИОВ 463 Каждое из этих прямых произведений имеет вдвое больше неприводимых представлений, чем исходная группа, причем половина из них симметрична (обозначаются индексом и), а другая половина антисимметрична (индекс и) по отношению к инверсии. Характеры этих представлений получаются из характеров представлений исходной группы умножением на х1 (в соответствии с правилом (94.24)). Так, для группы Озя получим представления: 9 96. Неприводимые представления и классификация термов Квантовомеханические применения теории групп основаны на том, что уравнение Шредингера для физической системы (атома, молекулы) инвариантно по отношению к преобразованиям симметрии этой системы ') . Из этого обстоятельства непосредственно следует, что после применения элементов группы к функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера при некотором значении энергии (собственное значение), должны снова получаться решения того же уравнения с тем же значением энергии.
Другими словами, при преобразовании симметрии волновые функции стационарных состояний системы, относящихся к одноалу и токлу же уровню энергии, преобразуются друг через друга,т.е. осуществляют некоторое представление группы. Существенно,что это представление неприводимо. Действительно, функции, непременно преобразующиеся друг через друга при преобразованиях симметрии, во всяком случае должны относиться к одному и тому же уровню энергии; совпадение же собственных значений энергий, относящихся к нескольким группам функций (на которые можно разбить базис приводимого ') Методы теории групп были впервые введены в квантовую механику Вигнером (В. Р.
ЬПдпег, 1926). 464 гл. Хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ представления), не преобразующихся друг через друга, было бы невероятной случайностью ') . Таким образом, каждому уровню энергии системы соответствует некоторое неприводимое представление ее группы симметрии. Размерность этого представления определяет кратность вырождения данного уровня, т.е. число различных состояний с данной энергией. Заданием неприводимого представления определяются все свойства симметрии данного состояния- его поведение по отношению к различным преобразованиям симметрии.
Неприводимые представления с размерностью, большей чем единица, имеются только в тех группах, которые содержат некоммутативные элементы (абелевы группы имеют лишь одномерные неприводимые представления). Уместно по этому поводу напомнить, что связь вырождения с наличием некоммутативных друг с другом (но коммутативных с гамильтонианом) операторов была выяснена уже раньше из соображений, не связанных с теорией групп (см. ~ 10).
Ко всем этим утверждениям необходимо сделать существенную оговорку. Как уже в свое время указывалось (см. з 18), симметрия по отношению к изменению знака времени (имеющая место в отсутствие магнитного поля) приводит в квантовой механике к тому, что комплексно сопряженныс волновые функции должны относиться к одному и тому же собственному значению энергии. Отсюда следует, что если некоторый набор функций и набор комплексно сопряженных с ними функций осуществляют различные (не эквивалентные) неприводимые представления группы, то эти два комплексно сопряженных представления должны рассматриваться вместе как одно «физически неприводимое» представление с удвоенной размерностью (что и будет подразумеваться везде ниже).
В предыдущем параграфе мы имели примеры таких представлений. Так, группа Сз имеет только одномерные представления; однако два из них комплексно сопряжены и физически соответствуют двукратно вырожденным уровням энергии. (При наличии магнитного поля симметрия по отношению к изменению знака времени не имеет места, и потому комплексно сопряженным представлениям соответствуют различные уровни энергии') .) 1 ) Если только на это нет особых причин. Напомним в этой связи о «случайном» вырождении, возникающем в результате того, что гамильтониан системы может иметь симметрию более высокую, чем чисто геометрическая симметрия, о которой идет речь в этой главе (ср.
конец 2 36). 2 ) Строго говоря, вещественность характеров (т.е. эквивалентность комплексно сопряженных представлений) нс является достаточным условием з 96 непРинодимые ИРедстАвления и клАссиФикАция теРмоп 465 Предположим, что физическая система подвергается воздействию некоторого возмущения (система помещается во внешнем поле). Возникает вопрос о том, в какой мере может возмущение привести к расщеплению вырожденных уровней. Внешнее поле имеет, само по себе, некоторую собственную симметрию') . Если эта симметрия та же или более высокая'), чем симметрия невозмущенной системы, то симметрия возмущенного гамильтониана Й = Йо + 1г совпадает с симметрией невозмущенного оператора Йе.
Ясно, что в этом случае никакого расщепления вырожденных уровней нс произойдет. Если же симметрия возмущения ниже симметрии нсвозмущенной системы, то симметрия гамильтониана Й будет совпадать с симметрией возмущения 1'. Волновые функции, которые осуществляли неприводимое представление группы симметрии оператора Йе, будут осуществлять также и представление группы симметрии возмугценного оператора Й, но это представление может оказаться приводимым, что означает расщепление вырожденного уровня. Покажем на примере., каким образом математический аппарат теории групп позволяет решить конкретно вопрос о расщеплении того или иного уровня. Пусть невозмущенная система обладает симметрией Тп. Рассъютрим трехкратно вырожденный уровень, соответствующий неприводимому представлению Гй этой группы; характеры этого представления равны Е 8Сз ЗС9 бок бс'4 3 0 — 1 1 — 1 Предположим, что система подвергается воздействию возмущения с симметрией Сз„(с осью третьего порядка, совпадающей с одной из таких осей группы Тп).
Три волновые функции вырожденного уровня осуществляют представление группы Сз„(явля- для обеспечения возможности выбора вещественных функций базиса представления группы. Для неприводимых представлений точечных групп это, однако, так (но это уже не так для «двойных» точечных групп — см. 199). ) Речь может идти, например, об уровнях энергии Н- и У-оболочек ионов в кристаллической решетке, слабо взаимодействующих с окружающими атомами. Возмущением (внешним полем) является в этом случае поле, действующее на ион со стороны остальных атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
