III.-Квантовая-механика (1109680), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Произведение двух отражений в пересекающихся друг с другом плоскостях эквивалентно повороту; ось этого поворота, очевидно, совпадает с линией пересечения плоскостей, а угол поворота равен, как легко убедиться простым геометрическим построением, удвоенному углу между обеими плоскостями. Если обозначить поворот вокруг оси на угол 92 через С(92), а отражения в двух плоскостях, проходящих через осгч символами ое и о„''), то высказанное утверждение можно записать в виде гл. Хи ТЕОРИЯ ОИММВТРИИ Покажеъ1, что произведение поворотов на угол я вокруг двух пересекающихся под углом 1р осей (Оа и ОЬ на рис.
33) есть поворот па угол 2д вокруг оси,перпендикулярной к первым двум (РР' на рис. 33). Действительно, заранее ясно,что результирующее преобразование есть тоже поворот; после первого поворота (вокруг Оа) точка Р переходит в Р', а после второго (вокруг ОЬ) она возвращается в исходное положение. Это значит, РР что линия РР' остается неподвижной и, следовательно, является осью поворота.
Для определения угла поворота достаточно заметить, что при первом повороте ось Оа остается на месте, а после второго переходит в положение Оа', образующее с Оа угол 2~р. Таким же способом можно убедиться в р! том, что при перемене порядка обоих Рис. 33 преобразований мы получим поворот в противоположном направлении. Хотя результат двух последовательных преобразований зависит, вообще говоря, от порядка, в котором они производятся, однако в ряде случаев порядок операций несуществен преобразования коммутативны. Это имеет место для следующих преобразований: 1) два поворота вокруг одной и той же оси; 2) два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях (они эквивалентны повороту на угол я вокруг линии пересечения плоскостей); 3) два поворота на угол 1г вокруг взаимно перпендикулярных осей (они эквивалентны повороту на тот же угол вокруг третьей перпендикулярной оси); 4) поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота; 5) любой поворот (или отражение) и инверсия в точке, лежа1цей на оси вращения (или в плоскости отражения); это следует из 1) и 4).
3 92. Группы преобразований Совокупность всех преобразований симметрии данного тела называют его группой преобразований симметрии, или просто группой симметрии. Выше мы говорили об этих преобразованиях, как о геометрических перемещениях тела. В квантовомеханических применениях удобнее, однако, рассматривать преоб- 437 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ разования симметрии как преобразования координат, оставляющие инвариантным гамильтониан данной системы. Очевидно, что если система совмещается сама с собой при некотором повороте или отражении, то соответствующее преобразование координат не изменит ее уравнения Шредингера.
Таким образом, мы будем говорить о группе преобразований, по отношению к которым инвариантно данное уравнение Шредингера' ) . Изучение групп симметрии удобно производить с помощькз общего математического аппарата так называемой теории групп, основы которого излагаются ниже. Мы будем рассматривать сначала группы, каждая из которых содержит конечное число различных преобразований (так называемые конечные группы).
О каждом из преобразований, входящих в состав группы, говорят, как об элементе группы. Группы симметрии обладают следующими очевидными свойствами. В состав всякой группы входит тождественное преобразование Е (о нем говорят, как о единичном элементе группы). Элементы группы можно перемножать друг с другом; под произведением двух (или нескольких) преобразований подразумевается результат их последовательного применения. Очевидно, что произведение всяких двух элементов группы есть элемент той же группы. Для умножения элементов имеет место закон ассоциативности (АВ)С = А(ВС), где А, В, С элементы группы.
Закон коммутативности, однако, не имеет, вообще говоря, места; в общем случае АВ ~ ВА. Для каждого элемента группы А имеется в той же группе обратный элемент А (обратное преобразование) такой, что АА ' = Е. В некоторых ) Такая точка зрения позволяет включить в рассмотрение не только группы поворотов и отражений, о которых идет здесь речь, но и другие типы преобразований, оставляющих неизменным уравнение Шредингера. К ним относятся перестановки координат тождественных частиц, входящих в состав данной системы (зюлекулы или атома).
О совокупности всех возможных в данной системе перестановок тождественных частиц говорят, как о ее группе перестановок (мы имели уже с ними дело в 363). Излагаемые ниже общие свойства групп относятся и к группам перестановок; более подробным изучением этого вида групп мы не станем заниматься. По поводу применяемых в этой главе обозначений надо сделать следующее замечание.
Преобразования симметрии представляют собой по существу такие же операторы, какие лгы рассматриваем на протяжении всей книги, и их следовало бы обозначать буквами со шляпкаът. Мы не делаем этого, имея в виду общепринятьге обозначения, а также учитывая, что это не может привести в настоящей главе к недоразумениям. По той же причине мы пользуемся для обозначения тождественного преобразования общепринятым символом Е, а не 1, как это соответствовало бы обозначениям в остальных главах. Наконец, оператор инверсии обозначается в этой главе символом 1 вместо использованного в 3 30 символа Р, принятого в современной литературе по квантовой механикс.
438 гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ случаях элемент может совпадать со своим обратным, в частности, Е = Е. Очевидно, что взаимно обратные элементы А — 1 и А ' коммутативны. Элемент, обратный произведению АВ двух элементов, равен (АВ) 1=В 'А 1 и аналогично для произведения болыпего числа элементов; в этом легко убедиться, производя перемножение и используя закон ассоциативности. Если все элементы группы коммутативны, то такая группа называется абелевой. Частным случаем абелевых являются так называемые циклические группы. Под циклической понимают группу, все элементы которой могут быть получены путем возведения одного из них в последовательные степени, т.е.
группу, состоящую из элементов А А2 43 4а Е где и есть некоторое целое число. Пусть С есть некоторая группа') . Коли из нее можно выделить некоторую совокупность элементов Н такую, что она сама тоже будет составлять группу, то группу Н называют подгруппой группы С. Один и тот же элемент группы может входить в различные ее подгруппы. Взяв любой элемент А группы и возводя его в последовательныс степени, мы получим в конце концов единичный элемент (поскольку полное число элементов в группе конечно).
Если п есть наименыпее число, при котором А" = Е, то п называется порядком элементпа А, а совокупность элементов А, Аз,..., А" = Е периодом А. Период обозначают символом 4А~; он составляет сам по себе группу, т.е. является подгругшой исходной группы, причем подгруппой циклической. Для того чтобы проверить, является ли данная совокупность элементов группы ее подгруппой, достаточно убедиться в том, что при умножении всяких двух ее элеъзентов получается элемент, содержащийся в той же совокупности. Действительно, тогда вместе со всяким элементом А будут иметься и все его степени, в том числе А"' 1 1п- порядок элемента), играющий роль обратного (так как А" 1А = А" = Е); будет иметься, очевидно, и единичный элемент.
Полное число элементов группы называют ее порядком. Легко видеть, что порядок подгруппы есть делитель порядка всей ) Мы будем обозначать группы куреивными жирными буквами. ~92 ГРУППЫ ПРЕОВРАЭОВАНИЙ группы. Для этого рассмотрим подгруппу Н группы С, и пусть С1 есть некоторый элемент группы С, ие принадлежащий Н. Умножая все элементы Н на С1 (например, справа), мы получим совокупность (или, как говорят, комплекс) элсментов, обозначаемый как НСЫ Все элементы этого комплекса принадлежат, очевидно, группе С. Однако ни один из них не принадлежит Н; действительно, если бы для каких-либо двух элементов Н„, Нм принадлежащих Н., было Н„С1 = Нм то отсюда следовало бы С1 = Н 1Нм т. е.
С1 тоже принадлежало бы подгруппе Н в противоречии с предположением. Аналогично можно показать, что если Са есть элемент группы С, не принадлежащий ни Н, ни НСЫ то все элементы комплекса НСЙ, не будут принадлежать ни Н, ни НСЫ Продолжая этот процесс, мы в конце концов исчерпаем весь запас элементов конечной группы С. Таким образом все элементы окажутся разбитыми по множествам (называемым смежными классами Н в С) каждое из которых содержит по 6 элементов, где й.— порядок подгруппы Н.
Отсюда следует, что порядок группы С равен я = Ьт, чем и доказывается сделанное утверждение. Целое число т = ф~Ь называют индексом подгруппы Н в группе С. Если порядок группы есть простое число, то из доказанного непосредственно следует, что такая группа вообще не обладает никакими подгруппами (за исключением Е и самой себя). Справедливо и обратное утверждение: всякая группа, не имеющая подгрупп, непременно простого порядка и к тому же должна быть циклической (в противном случае она содержала бы элементы, период которых составлял бы подгруппу). Введем важное понятие о сопряженных элементах.
Два элемента А и В называются сопряженными друг с другом, если А = СВС где С есть тоже элемент группы (умножив написанное равенство справа на С и слева на С 1, получим обратное равенство В = С 1АС). Существенным свойством сопряженности является то, что если А сопряжено с В, а В с С, то и А сопряжено с С; действительно, из В = Р 1АР, С = Я 1ВЯ (где Р, Я элементы группы) следует, что С = (РЯ) 'А(Рф. По этой причине можно говорить о совокупности элементов группы, сопряженных друг с другом. Такие совокупности называются классами сопряженных элементов или просто классами группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
