III.-Квантовая-механика (1109680), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Таким образом, имеется всего р+ 2 классов. Если же п четно (и = 2р), то последовательными поворотами Сзр можно совместить лишь чередующиеся через одну плоскости; две соседние плоскости не могут быть совмещены друг с другом. Таким образом, имеются два набора по р эквивалентных плоскостей и соответственно два класса по р элементов (отражений) в каждом. Что касается поворотов вокруг оси1 то 2р С2Р—— Е и С2Рр — — С2 составляют каждый сам по себе класс, а остальные 2р — 2 поворотов попарно сопряжены и дают еще р — 1 классов по два элемента. Всего группа Сзр „имеет, следовательно, р+ 3 классов.
'41 . Группа П„ Если к оси симметрии и-го порядка присоединить перпендикулярную ей ось второго порядка, то это приведет к появлению еще (и — 1) таких же осей, так что будет всего и горизонтальных осей второго порядка, пересекающихся под углами я(п. Получающаяся группа О„содержит 2п элементов: п поворотов вокруг оси и-го порядка и п поворотов на угол я вокруг горизонтальных осей (условимся обозначать последние через У2, оставив обозначение С2 для поворота на угол я вокруг вертикальной 1эз точечные ГРуппы оси).
На рис. 34 изображены в качестве примера системы осей групп Х)3 и 04. Совершенно аналогично предыдущему случаю, убеждаемся,что ось и-го порядка является двусторонней, а горизонтальные оси второго порядка все эквивалентны, если и нечетно,или образуют два неэквивалентных набора, если п четно. Следовательно, группа Пзр имеет следующие р+ 3 классов: Е, 2 класса по р поворотов Ь'з в каждом, поворот Сз и (р — 1) классов по два поворота вокруг вертикальной оси. Группа же Х>2р4.4 имеет р+ 2 классов; Е, 2р+ 1 поворотов 11з и р классов по два поворота вокруг вертикальной оси. Важным частным случаем является группа Пз.
Ее система осей складывается из трех взаимно перпендикулярных осей второго порядка. Эту группу обозначают также буквой Ъ'. '1г1. Группа О„ь Коли добавить к системе осей группы Пп горизонтальную плоскость симметрии, проходящую через п осей второго порядка, то при этом автоматически появится п вертикальных плоскостей, каждая из которых проходит через вертикальную ось и одну из горизонтальных осей. По.лучающаяся при этом группа О„ь содержит 4п, элементов; кроме 2п элементов группы Ху„ в нее входят еще и отражений п„и п зеркально-поворотных преобразований Сьпю На рис.35 изображена система осей и плоскостей группы Х1зю :)-Х,Р Рнс.
35 Отражение пь коммутативно со всеми остальными элементами группы; поэтому можно написать О„ь в виде прямого произведения О„ь = Х1„х С„где С, есть группа из двух элементов .Е и пю При четном и в числе элементов группы имеется инверсия, и можно написать также 02р ь = Пзр х С,. Отсюда следует, что число классов в группе О„ь равно удвоенному числу классов в группе О„. Половина из них совпадает 446 гл. хи ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ с классами группы Хг„ (поворотгя вокруг осей), а остальные получаются из них умножением на пь.
Отражения па в вертикальных плоскостях относятся все к одному классу (если п нечетно) или образуют два класса (при четном п). Зеркально-поворотные преобразования оьС„и пьС„попарно сопряжены друг с ь — ь другом. Ъ П. Группа Хг„,~ Присоединить плоскости симметрии к системе осей группы Хг„можно еще одним способом.
Именно, можно провести их вертикально через ось п-го порядка посредине между каждыми двумя соседними горизонтальными осями второго порядка. Опять присоединение одной такой плоскости влечет за собой появление еще (и — 1) плоскостей. Получающаяся система осей и плоскостей симметрии определяет группу Хг„з (на рис. 35 изображены оси и плоскости групп Х124 и Хгэз). Группа Х1„4 содержит 4п элементов. К 2п элементам группы Х.2„присоединяется п отражений в вертикальных плоскостях (обозначаемых через сгл «диагональныеь плоскости) и п преобразований вида С = ХГзссз. Для того чтобы выяснить характер последних, замечаем, что поворот Пз можно, согласно (91.6), написать в виде ХГ2 = пыл„где и„-- отражение в вертикальной плоскости, проходящей через данную ось второго порядка; тОГДа С = СРЬСг,ПЬ (ПРЕОбРаЗОВаинй Сс„, Сгй СаМИХ ПО СЕбЕ В ЧИ- слс элементов группы, разумеется, нет). Поскольку плоскости ОтРажСНИй Оа И С24 ПЕРЕСЕКаЮтСЯ ДРУГ С ДРУГОМ ВДОЛЬ ОСИ и-ГО порядка, образуя угол (22222п)(2й + 1), где й = 1,..., (и — 1) (поскольку здесь угол между соседними плоскостями равен гг/2п), то, согласно (91.6), имеем о„оз = Сз„.
Таким образом, нахо- 22-~-1 дим, что С = пьС2„2 — — Яз„, т. е. эти элементы представляют собой зеркально-поворотные преобразования вокруг вертикальной оси, оказывающейся, следовательно, не простой осью симметрии гмго порядка, а зеркально-поворотной осью 22мго порядка. Диагональные плоскости отражают две соседние горизонтальные оси второго порядка друг в друга; поэтому в рассматриваемых группах все оси второго порядка эквивалентны (как при четных, так и при нечетных п). Аналогично, эквивалентны все диагональные плоскости.
Зеркально-поворотные преобразования Яз„и Я~„й попарно сопряжены друг с другом') . ) Действительно, имеем И+2 22+2 22ег — 22 — 1 — 22 — 2 аааг„ан =- аааьСг„ан = аьааСг„ав = аьС2 = о точе 1ные ГРуппы 447 Применяя эти соображения к группе Озрд, находим, что она содержит следующие 2р+ 3 классов; Е, поворот С2 вокруг оси иго порядка, (р — 1) классов по два сопряженных поворота вокруг той же оси, класс 2р поворотов 17з, класс 2р отражений пл и р классов по два зеркально-поворотных преобразования.
При нечетном п (и = 2р+ 1) в числе элементов группы имеется инверсия (это видно из того, что одна из горизонтальных осей в этое1 случае перпендикулярна к вертикальной плоскости). Поэтому можно написать 1РэрР~ 4 = .ОзрР1 х Сь так что группа Пэрэйд 4 содержит 2р+4 классов, получающихся непосредственно из р+ 2 классов группы 02рь1. ЪГ1П. Группа Т (группа тетраэдра) Система осей этой группы есть система осей симметрии тетраэдра.
Она может быть получена добавлением к системс осей группы у' четырех наклонных осей третьего порядка, повороты с, вокруг которых переводят три оси второго порядка друг в друга. Эту систему осей удобно представить, изображая три оси второ- го порядка как проходяп1ие через центры противоположных граней куба, а оси третьего порядка Рнс. 36 как пространственные диагонали этого куба. На рис. 36 изображено расположение этих осей в кубе и в тетраэдре (по одной оси каждого типа).
Три оси второго порядка эквивалентны между собой. Оси третьего порядка тоже эквивалентны, так как переводятся друг в друга поворотами С2, но они не являются двусторонними осями. Отсюда следует, что 12 элементов в группе Т распределяются по четырем классам: Е, три поворота С2, четыре поворота Сз и четыре поворота Сз. '2 1Х. Группа Т4 Эта группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Систему ее осей и плоскостей можно получить, добавляя к осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго н две оси третьего порядков. При этом оси второго порядка становятся зеркально-поворотными осями четвертого порядка (подобно тому как это имеет место в группе 024). Эту систему удобно представить, рисуя три зеркально-поворотные оси, проходящими через центры противоположных граней куба; четыре оси третьего порядка, как его пространственные диагонали; шесть плоскостей симметрии 448 Гл.
Хи ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ проходя1цими через кажлую пару противоположных ребер (на рис. 37 изображено по одному из каждого рода осей и плоскостей). Поскольку плоскости симметрии вертикальны по отношению к осям третьего порядка, то последние являются двусторонними осями. Все оси и плоскости каждого рода эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы распреде, аб лаются по следующим 5 классам: Е, восемь нов воротов Сз и Сз2, шесть отражений в плоскостях, шесть зеркально-поворотных преобразований О4 и 5~4 три поворота С2 = Я4 Х.
Группа Ть Эта группа получается из Т добавлением центра симметрии Ть = Т х Сь В результате появляются трн взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, проходящие через кажа дые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными осями шестого порядка (на рис. 38 изображено по одной из этих осей и плоскостей). Группа содержит 24 элемента, .распределенРис. 37 ных по 8 классам, непосредственно получающим- ся из классов группы Т.
Х1. Группа О (группа октаэдра) Системой осей этой группы является система осей симметрии куба: три оси четвертого порядка проходят через центры противоположных граней, четыре оси третьего порядка через противоположные вершины и шесть осей второго порядка через середины противоположных ребер (рис. 39). Сз а аб с„' тб о о, Рис. 38 Рис.
39 Рис. 40 Легко видеть, что все оси одинакового порядка эквивалентны и каждая из них двусторонняя. Поэтому 24 элемента распределяются по 5 классам: Е, восемь поворотов Са и Сз~, шесть поворотов С4 и С4,три поворота С~ и шесть поворотов С2. з 2 ПРЕДОТАВЛЕНИЯ ГРУПП ХП. Группа ОА Это есть группа всех преобразований симметрии куба') . Она получается добавлением к группе О центра симметрии: Оь = О х С,. Оси третьего порядка группы О превращаются при этом в зеркально-поворотные оси шестого порядка (пространственные диагонали куба); кроме того, появляются еще шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер, и три плоскости, параллельные граням куба (рис. 40).
Группа содержит 48 элементов, распределенных по 10 классам, которые могут быть непосредственно получены из классов группы О. Именно, 5 совпадают с классами группы О, а остальными являются; 1; восемь зеркально-поворотных преобразований об и Я; шесть зеркально-поворотных преобразований С4пы С44Гть вокруг осей четвертого порядка; три отражения пь в плоскостях, горизонтальных по отношению к осям четвертого порядка; шесть отражений пи в плоскостях, вертикальных по отношению к этим осям. ХП1, Х1Ъ'. Группы Ъ, Ъ'ь (группы икосаэдра) Эти группы осуществляются в природе в качестве групп симметрии молекул лишь в исключительных случаях. Поэтому мы ограничимся здесь указанием, что У' есть группа 60 поворотов вокруг осей симметрии икосаэдра (правильного 20-гран- ника с треугольными гранями) или пентагонального додекаэдра (правильного 12-гранника с пятиугольными гранями), причем имеется 6 осей пятого порццка, 10 третьего и 15 второго.
Группа 1ГА получается добавлением центра симметрии; Ъ'А = 1Г х С„и представляет собой полную группу преобразований симметрии указанных многогранников. Этим исчерпываются все возможные типы точечных групп, содержащих конечное число элементов. В дополнение к ним надо рассмотреть так называемые непрерывные точечные группы, содержащие бесконечное число элементов. Это будет сделано в ~98.
й 94.Представления групп Рассмотрим какую-либо группу симметрии, и пусть ф1 есть некоторая однозначная функция координат (в конфигурационном пространстве данной физической системы). При преобразовании системы координат, соответствующем элементу С ) Группы 'Г, Tю 'Гл, О, Ол называют кубическими. 450 гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ группы, эта функция перейдет в некоторую другук> функцию. Производя поочередно все д преобразований группы (д порядок группы), мы получим из ф~ в общем случае д различных функций. При определенных выборах ц11 некоторыс из этих функций могут, однако, оказаться линейно-зависимыми. В результате мы получим некоторое число у(1 < д) линейно-неза- ВИСИМЫХ фуНКцИй гры аз,..., фу, КОтОрЫЕ Прн ПрЕОбраЗОВаНИяХ симметрии, входящих в рассматриваемую группу, преобразуются линейно друг через друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
