III.-Квантовая-механика (1109680), страница 90
Текст из файла (страница 90)
~) Если группа симметрии Н является подгруппой группы С, то говорят, что Н соответствует симметрии более низкой, чем более высокая симметрия группы 4% Очевидно, что симметрия суммы двух выражений, из которых одно обладает симметрией О, а другое — Н, совпадает с более низкой симметрией Н. гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ ющейся подгруппой группы Тз), причем характеры этого представления просто равны характерам тех же элементов в исходном представлении группы Тз, т,е.
Е 2Сз ЗО„ 3 0 1 Однако это представление приводимо. Зная характеры неприводимых представлений группы Сз„легко произвести его разложение на неприводимые части (по общему правилу (94.16)). Таким образом, найдем, что оно распадается на представления А1 и Е группы Сз„. Трехкратно вырожденный уровень Ез расщепляется, следовательно, на один невырожденный уровень А1 и один двукратно вырожденный уровень Е. Если та же система подвергается воздействию возмущения с симметрией Сз„(тоже являющейся подгруппой группы Тн), то волновые функции того же уровня Ез дадут представление с характерами Е Сз О„о 3 — 1 1 1 Разлагая его на неприводимые части, найдем, что оно содержит представления Аы Вы Вй. Таким образом, в этом случае произойдет полное расщепление уровня на три невырожденных.
'й 97. Правила отбора для матричных элементов Теория групп позволяет нс только произвести классификацию термов любой симметричной физической системы, но и дает простой метод нахождения правил отбора для матричных элементов различных величин, характеризующих систему. Этот метод основан на следующей общей теореме. Пусть 1р;"1 .одна из функций базиса неприводимого (неединичного) представления группы симметрии. Тогда ее интеграл по всему пространству') тождественно обращается в нуль; (97.1) Доказательство основано на очевидном обстоятельстве, что взятый по всему пространству интеграл инвариантен по отногпению к любому преобразованию системы координат, в том числе 1 ) Подразумевается конфигурационное пространство данной физической системы.
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧИЫХ ЭЛВМВИТОВ 467 по отношению к любому преобразованию симметрии. Поэтому Р(')з — ) о,11 111 — ) ~'о( 1г( )з1 Просуммируем это равенство по всем элементам группы. Интеграл слева просто умножается на порядок группы я, и мы получаем ~ Р1„, Е~„1.1ЕВ1-1„, ь б Но для всякого неединичного неприводимого представления ИМЕЕМ тОжДЕСтВЕННО 2,б Сы = 0 (ЭТΠ— ЧаетНЫй СЛУЧай СООт(о) ношений ортогональности (94.7), когда одно из нсприводимых представлений единичное). Тем самым теорема доказана. Если 9) функция, относящаяся к базису некоторого приводимого представления группы, то интеграл ) гп сгг) будет отличен от нуля, лишь если это представление содержит в себе единичное.
Эта теорема непосредственно следует из предыдущей. Матричные элементы физической величины ) даются интегралами фй~Д~гтг) = ф~~ )Я~ ) дд, (97.2) где индексы гт, )з' отличают различные уровни энергии системы, а индексы 1, Й нумеруют волновые функции, относящиеся к одноъ1у и тому же вырожденному уровнк1') . Обозначим неприводимые представления группы симметрии данной физи- 1Д) ческой системы, осУЩествлЯемые фУнкЦиЯми 1)1,.
и 1)1В, символами Рг ) и РВ'). Символом же Р7 обозначим представление той же группы, отвечающее симметрии величины 7; оно зависит от тензорного характера 7. Так, если 7 истинный скаляр, то ее оператор )" инвариантен по отношении) ко всем преобразованиям симметрии1 так что Ру единичное представление. То же самое относится и к псевдоскалярной величине, если группа содержит только оси симметрии; если же группа содержит также и отражения, то Р7 одномерное, но неединичное представление. Если ) векторная величина, то Р7 представление, осуществляемое тремя преобразующимися друг через друга 1 ) Поскольку после перехода к Афизически неприводимым» представлениям функции базиса могут быть выбраны вещественными, мы не делаем в Г97.9) различия между волновыми функциями и их комплексно сопряженными.
468 ГЛ. Хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ компонентами вектора; это представление, вообще говоря, различно для полярных и аксиальных векторов. Произведения 1)„Я; осуществляют представление группы, выражающееся прямым произведением РО)1 х Р1 х Р1 ). Матричные э.тементы отличны от нуля, если это представление содержит в себе единичное, или, что то же, если прямое произведение Р~Д) х Фа) содержит в себе Р1. Практически удобнее разлагать на неприводимые части произведение Р1 ) х Р~, тем самым мы сразу узнаем все типы Р1Д) состояний, для переходов в которые (из состояния типа Р1 )) матричные элементы отличны от нуля.
В простейшем случае скалярной величины, когда Р): единичное представление, отсюда сразу следует, что отличны от нуля матричные элементы лишь для переходов между состояниями одинакового типа (действительно, прямое произведение Р1 ) х Р1Р) двух различных неприводимых представлений не содержит единичное представление, но оно всегда содержится в прямом произведении неприводимого представления самого на себя). Это есть наиболее общая формулировка теоремы, с частными случаями которой мы уже неоднократно встречались. Особого рассмотрения требуют диагональные по энергии матричные элементы, т.е.
элементы для переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же терму (в отличие от переходов между состояниями, относящимися к двум различным термам одинакового типа). В этом случае мы имеем всего одну (а не две различные) систему функций 1)11, фв,... Пра(а) (а) вила отбора находятся здесь различным образом в зависимости от поведения величины )".
при обращении времени. Рассмотрим состояние, описывающееся волновой функцией вида 1)1 = ~ „, с,1)1, . Среднее значение величины Г в этом состоянии дается суммой сь с, (сй ~ ~ ~ 1Т1) . В состоянии же с комплексно сопряженной волновой функцией 1)1* = ~, С,*1Р,. ИМЕЕМ 7 = ~ с,с,*(пй)Я~п1) ~~~ се*,(о1 Я~о~). 1,Ь Коли величина ~ инвариантна по отношению к обращению времени, то оба состояния не только относятся к одному и тому же ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИ 1НЫХ ЭЛБМБНТОВ 469 297 уровню энергии, но должны иметь также и одинаковое значение у. Ввиду произвольности коэффициентов с, это значит, что (ак]Т"]от) = (аг]У]ой). Легко показать, что тогда для нахождения правил отбора надо рассматривать не прямое произведение Х)] ) х Р~ ), а лишь 1г его симметричную часть [В] ' ]; отличные от нуля матричные 2 элементы существуют, если ~В] ) ] содержит в себе Оу ') .
Если же величина у меняет знак при обращении времени, то замена г)г — э г)г* должна сопровождаться изменением знака у. Отсюда тем же способом находим, что (ой]Дог) = — (ог]у]агс). В этом случае правила отбора определяются разложением анти- симметричной части прямого произведения: (Фо) 7. Задачи 1. Найти правила отбора для матричных элелгентов электрического о и магнитного 9 дипольных моментов при наличии симметрии О.
Р с ш е н и е. Группа О не содержит отражений; поэтому полярныс (д) и аксиальные (р) векторы преобразуются по одному и тому же неприводи- мому представлению — Гг. Разложения прямых произведений Гг с другими представлениями группы О; Гг х Аг = Гг, Гг х Аг = Гг, Гг х Е .= Гг -Р Гг, Гг х Гг = Аг + Е т Гг т Гг, Гг х Гг = Аг т Е т Гг + Гг. Ж Поэтому отличны от нуля недиагональные (по энергии) матричные элемен- ты для переходов Гг Рэ Аг,Е,ЕИГг; Гг <-> Аг,Е,ГмГ2.
Симметричные и антисимметричные произведения неприводимых пред- ставлений группы О равны ]А~2] = [А~г] = Ам ]Ег] = Аг + Е, ]Гг~] = ]Гг~] = Аг -Р Е+ Гг, (2) тЕ'т = Аг, тГг) = тГ2) = ГР Симметричные произведения не содержат Гг; поэтому диагональные (по энергии) матричные элементы вектора д (инвариантного по отношению к обращению времени) отсутствуют.
Магнитный же момент (меняющий знак при обращении времени) имеет диагональные матричные элементы для со- стояний Гг и Гг. 2. То же при симметрии Ргю Р е ш е н и е. Законы пРеобРазований вектоРов б и 9 в гРУппе Рзз Раз- личны: Ы„агг Е„, А, А „, рг, дг Ез, р» А22 ~г ') Произведение ]Р~ ~ ] всегда содержит в себе единичное представление, так что диагнональные элементы (как и не диагональные между состояниями одинакового типа) для скалярной величины отличны от нуля. 470 ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ Гл.
Хп (здесь и ниже в задачах знак означает слова «преобразуется по предста- влениюь). Имеем Е„хА, =Е„хАгх=Е„, Е„хА1 =Е„хАг =Е, Е х Е„= А12 -«- Аг «- Ех. Е„х Е = А1 -«- Аг„+ Е„. (3) Поэтому отличны от нуля недиагональные матричные элементы от д,, «22 для переходов Е„«-1 А«х.А22, Ех, .Ех «-1 А1, Аг„, Е„. Таким же образом найдем правила отбора для «),: А12 «-2 Аг„; Аг.«-~ А,„;Ех «-1Е„; для д„, дэ« Е «-1 Атю Ага, Е„; Е„«-~ Агю Аг„, Е; Дла Д,« Агх ег Аг; А1 «э Аг; Е„ «-1Е„;Е «-1Е .
Симметричныс и антисимметричные произведения неприводимых пред- ставлений группы Озз равны ~ ~г ) ) ~г ) ~ ~г ) ~ 1г ) г) ~ г) + (4) ж,') = 4Е.') = Агю 0тсюда видно, что диагональные (по энергии) матричные элементы отсут- ствуют у всех компонент «2; для вектора р диагональные матричные эле- менты имеются у д, для переходов между состояниями, относящимися к вьгрожденному уровню типа Е, или Е . 3. Найти правила отбора для матричных элементов тензора электриче- ского квадрупольного момента «7,1 при симметрии О. Р е ш е н и е.
Компоненты тензора Я„г, (симметричный тензор с равной нулю суммой «„2„) по отношению к группе О преобразуются по законам: «;2*„ «,2*., «.22. Ег, ()„ + еО„2 + е~«,2„, «)„ + е~сзэ„ + е«„>„ Е (е = ег"Иг). Разлагая прямые произведения Ег и Е со всеми представлениями группьг, найдем правила отбора для нсдиагональньгх матричных элементов: для «е' 2, «э1 „«7„,1 Е1 ег Аг, Е, Е1, Хг, 'Ег «-1 А1, Е, Е1, Ег; Диагональные матричные элементы имеются (как видно из (2)) в сле- дующих состояниях: Е1 Ег Е, Еы Ег для «,)„2, «,) „«72,1 для «;),„922, О.-1 4. То же при симметрии Озю Р е п« е н и е.
Законы преобразования компонент сз,ь по отношению к группе Огз« Я- - А а, 'О*- — Юээ, Ю*, - Ех, '«;2'., Яэ. - Еа. Компонента Я,. ведет себя как скаляр. Разлагая прямые произведения Ех со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для недиагональных матричных элементов остальных компонент «.),11 Ех «-1 А12,Агх,Е; Е «-1 А«„,Аг,Е .
Диагональные элементы отличны от нуля (как видно из (4)) только для состоянии Е„и Е„. 471 898 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ 8 98. Непрерывные группы Помимо конечных точечных групп, перечисленных в 8 93, .существуют непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это — группы аксиальной и сферической симметрий. Простейшей из групп аксиальной симметрии является группа С, содержащая повороты С(р) на произвольный угол р вокруг оси симметрии (ее называют двумерной группой вращений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
