III.-Квантовая-механика (1109680), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Каждый класс вполне определяется одним каким-либо своим элементом А; действительно, задав А, мы получим весь 440 ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ Гл. хи класс, составляя произведения САС, где С пробегает все эле— 1 менты группы (при этом, конечно, каждый элемент класса может получиться и по нескольку раз). Таким образом, мы можем разбить всю группу на классы; каждый элемент группы может входить, очевидно, только в один из классов. Единичный элемент группы сам по себе составляет класс, так как для всякого элемента группы СЕС 1 = Е. Если группа абелева, то то же самое имеет место для каждого ее элемента; поскольку все элементы такой группы, по определению, коммутативны, то каждый элемент сопряжен только самому себе и потому сам по себе составляет класс. Подчеркнем, что класс группы (не совпадающий с Е) отнюдь не является ее подгруппой; это видно уже из того, что он не содержит единичного элемента.
Все элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок. Действительно, если п есть порядок элемента А (так что А" = Е), то и для сопряженного с ним элемента В = САС имеет место (САС 1)и = СА" С 1 = Е. Пусть Н есть подгруппа С', а С1 — элемент С, не принадлежащий Н.
Легко убедиться в том, что совокупность элементов С1.НС удовлетворяет всем требуемым для группы свойствам, т.е. тоже есть подгруппа группы С. Подгруппы Н и С1НС называются сопряженными; каждый элемент одной из них сопряжен одному из элементов другой. Давая С1 различные значения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут сжазаться частично совпадак1щими друг с другом.
Может случиться, что все сопряженные с .Н подгруппы совпадак1т с .Н. В таком случае .Н называют нормальным делителем (или инвариантной подгруппой) группы С. Так, например, всякая подгруппа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным делителем. Рассмотрим группу А с п элементами А, А'А",... и группу Ю с т элементами В, В',В",..., и пусть все элементы А (кроме единичного .Е) отличны от элементов Ю и коммутативны с ними. Если перемножить каждый элемент группы А с каждым элементом группы .В, то мы получим совокупность пт. элементов, которые тоже составляют группу.
Действительно, для всяких двух элементов этой совокупности имеем АВ . А'В' = = АА' ВВ' = А"В", т.е, опять элемент той же совокупности. Получившуюся группу порядка пт обозначают через А х В и называют пр мым произведением групп А и Б. Наконец, введем понятие изоморфизма групп. Две группы А и В одинакового порядка называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если элементу А соответствует элемент В, 441 точь" |ные ГРуппы а элементу А' — элемент В', то элементу А" = АА' соответствует элемент В|' = ВВ|.
Такие две группы, рассматриваемые абстрактно, обладают, очевидно, тождественными свойствами, хотя конкретный смысл их элементов различен. й 93. Точечные группы Преобразования, входящие в состав группы симметрии тела конечных размеров (в частности, молекулы), должны быть такими, чтобы по крайней мере одна точка тела оставалась неподвижной при применении любого из этих преобразований.
Другими словами, все оси и плоскости симметрии молекулы должны иметь по крайней мере одну обплую точку пересечения. Действительно, последовательный поворот тела вокруг двух непересекающихся осей или отражение в непересекаю|цихся плоскостях приводит к поступательному перемещению тела, которое, очевидно, не может совместить его с самим собой. Группы симметрии, обладающие указанным свойством, называются тпочечными группами. Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, изложим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести распределение элементов группы по классам. Пусть Оа есть некоторая ось, а элемент группы А есть поворот вокруг этой оси на определенный угол.
Пусть, далее, С есть преобразование из той же группы (поворот или отражение), которое, будучи применено к самой оси Оа, переводит се в положение Од. Покажем, что элемент В = САС л отвечает тогда повороту вокруг оси Од на тот же угол, на который элемент А поворачивает вокруг Оа. Действительно, рассмотрим воздействие преобразования САС л на саму ось Од.
Преобразование С л, обратное С, переводит ось Од в положение Оа, так что последующий поворот А оставляет ее в этом положении; наконец, С переведет ее обратно в исходное положение. Таким образом, ось Од остается в результате на месте, так что В есть поворот вокруг этой оси.
Поскольку А и В относятся к одному классу, то порядок этих элементов одинаков; это значит, что они производят поворот на одинаковый утол. Таким образом, мы приходим к результату, что два поворота на одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно таким же образом можно показать, что и два отражения в различных плоскостях относятся к одному классу, если какое-либо преобразование группы переводит одну плоскость в другую.
О самих 442 ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ гл. хи осях или плоскостях симметрии, направления которых могут быть совмещены друг с другом, говорят как об эквивалентных. Некоторыс дополнительные замечания требуются для случая, когда оба поворота производятся вокруг одной и той же оси. Элементом, обратным повороту Сь (1=1,2,...,и — 1) вокруг оси симметрии и-го порядка, является элемент С,, ~=С„" ~, т.
е. поворот на угол (и — й)(211/и) в том же направлении, или, что то же, поворот на угол 2Мя(и в обратном направлении. Если в числе преобразований группы имеется поворот на угол я вокруг перпендикулярной оси (такой поворот меняет направление рассматриваемой оси на противоположное), то, согласно доказанному общему правилу, повороты С„и С,, будут отяоситься к ь — ь одному классу. Отражение оь в плоскости, перпендикулярной к оси, тоже меняет се направление на обратное; однако надо иметь в виду, что отражение меняет также и направление вращения. Поэтому наличие аь не сделает элементы С„и С„сопряжень — ь ными.
Отражение же оь в плоскости, проходящей через ось, не меняет направления оси, но меняет направление вращения, и потому С,,~ = о Сса,, так что при наличии такой плоскости симметрии С„и С„относятся к одному классу. Если повороты ь — ь вокруг оси на одинаковый угол в противоположных направлениях сопряжены, то мы будем называть ось двухсторонней. Определение классов точечной группы часто облегчается следующим правилом.
Пусть С есть некоторая группа, не содержащая инверсии 1, а С, группа из двух элементов: 1 и Е. Тогда прямое произведение С х С, есть группа, содержа1цая вдвое больше элементов,чем С;половина из них совпадает с элементами группы (', а остальные получаются умножением последних на 1. Поскольку 1 коммутирует с любым другим преобразованием точечной группы, то ясно,что группа С х С; содержит вдвое больше классов, чем С; каждому классу А группы С соответствуют в группе С х С„два класса: А и А1.
В частности, инверсия 1 всегда составляет сама по себе класс. Перейдем теперь к перечислению всех возможных точечных групп. Мы будеъ1 строить их, начиная от простейших и прибавляя к ним новые элементы симметрии. Точечные группы будем обозначать жирными латинскими буквами с соответствующими индексами. Е Группа С„ Простейший тип симметрии содержит всего одну ось симметрии и-го порядка. Группа С„есть группа поворотов вокруг оси и-го порядка.
Эта группа, очевидно, циклическая. Каждый из ее и элементов составляет сам по себе класс. Группа С1 тече 1ные ГРуппы содержит только тождественное преобразование .Е и соответствует отсутствию какой бы то ни было симметрии. П. Группа л2„ Это группа поворотов вокруг зеркально-поворотной оси четного порядка 2п. Она содержит 2и элементов и является, очевидно, циклическои. В частности, группа 52 содержит всего два элемента: Е и 7: ее обозначают также через С,. Отметим также, что если порядок группы есть число вида 2н = 4р + 2, то среди ее элементов имеется инверсия; очевидно, что (олр-,2)~Р+~ = Сзоь = 1. Такую группу можно написать в виде прямого произведения: 54р42 = Сзр41 х С;: ее обозначают такжЕ и чЕрЕЗ С2р41 Ь П1.
Группа С„ь Эта группа получается присоединением к оси симметрии и-го порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Групгга С„ь содержит 2п элементов: п поворотов группы С„и п зеркально-поворотных преобразований Сь1ть (к = 1,2, 3,..., и) (в том числе отражение Спал = 1ть). Все элементы группы коммутативны, т. с. группа абелсва; число классов равно числу элементов.
Если и четно (и = 2р), то группа содержит центр симметрии (так как Сзрпа = С21ть = 1). Простейшая группа С1ь содержит всего два элемента: Я и ггь, ее обозначают также через Св. Гу'. Группа Спв Если присоединить к оси симметрии и-го порядка проходящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически приведет к появлению еще (и — 1) плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами зг7п (это следует непосредственно из геометрической теоремы (91.7) ') ).
Получающаяся при этоь| группа С„„содержит, следовательно, 2п элементов: и поворотов вокруг оси п-го порядка и п отражений ов в вертикальных плоскостях. На рис. 34 изображены в качестве примера системы осей и плоскостей симметрии групп Сз„и Сзе. Для определения классов замечаем, что благодаря наличике проходящих через ось симметрии плоскостей симметрии эта ось ) В конечной группе не может быть двух плоскостей симметрии, пересекающихся под углом, не равным рациональной части от 2я. Из факта наличия двух таких плоскостей следовало бы наличие бесконечного числа других плоскостей симх1стрни, пересекающихся вдоль одной и той жс прямой и получающихся путем отражения неограниченное число раз одной плоскости в другой.
Другими словами, наличие двух таких плоскостей приводит сразу к полной аксиальной симметрии. 444 гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ двусторонняя. Фактическое распределение элементов по классам различно при четных и нечетных и. 1 4-.444 --1 1-~ 4 Р4 Рис. 34 Если п нечетно (11 = 2р + 1), то последовательные повороты Сзр 1 совмещают каждую из плоскостей последовательно со всеми остальными 2р плоскостями, так что все плоскости симметрии эквивалентны и отражения в них входят в один класс. Среди поворотов вокруг оси имеется 2р операций, отличных от тождественной, которые попарно сопряжены друг с другом, образуя р классов по два элемента (С2~ ~~ и С~„~ Р й = 1, 2, ..., р); кроме того, Е составляет еще один отдельный класс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
