III.-Квантовая-механика (1109680), страница 88
Текст из файла (страница 88)
(94.16) К Рассмотрим представление размерности у = я, осуществляемое я функциями Су1, где уг есть некоторая функция координат общего вида 1так что все получающиеся из нее д функций Сг)) линейно независимы); такое представление называется регуллрньсм. Ясно, что все матрицы этого представления не будут содержать вовсе диагональных элементов, за исключением только матрицы, соответствующей единичному элементу; поэтому будет Х(С) = 0 при С ~'= Е и Х1Е) = я. Разлагая зто представление на неприводимые, получим, согласно (94.16), для чи- СЕЛ а1 ) ЗНаЧЕНИя а)а) = (118)8~а = 11а), т.
Е. КаждОЕ НЕПрИВОднмос представление содержится в рассматриваемом приводимом число раз, равное его размерности. Подставив это в (94.14), найдем соотношение 21+22+ +гг 8: (94.17) сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна ее порядку'). Отсюда следует, в частности, что у абелевых групп (где г = 8) все неприводимые представления одномерны (11 = 12 =... ...=А=1) Укажем также, без доказательства, что размерности неприводимых представлений группы являются делителями ее порядка. Фактическое разложение регулярного представления на не- приводимые части осуществляется формулой ~(а) Д '1 ~ С(а)*С (94.18) С Легко проверить, что функции ф,.
(1 = 1, 2,..., уа), определя- РО емые этой формулой при заданном значении )с, преобразуются друг через друга согласно С,,)а) С- С)а)~(а) н ') Отметим, что для точечных групп уравнение (9447) при данных Г и и фактически может быть удовлетворено набором целых чисел 7п..., 1"„лишь одним единственным образом.
ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ гл. хи 4 = ,'),~~~,~~ ~,, ~~ ~ = — ,'~ С~,) С~. (94.19) Для доказательства подставим вторую формулу в первую и, произведя суммирование по г, получим (94. 20) Заметив, что размерности 1 совпадают с характерами 4 )(Е) единичного элемента группы, и воспользовавшись соотношением ортогональности (94.12), найдем, что сумма ~„~ад~а~*(С) отлична от нуля (и равна я), лишь если С единичный элемент группы. Поэтому правая часть (94.20) тождественно совпадает с ф. Рассмотрим две различные системы функций ф (а) (а) и К1,...,ф~, осуществляющие два неприводимых представления группы. Составляя произведения 4О ~фь~~, мы получим систему г" ~~э новых функций, которые могут служить базисом нового представления размерности 1 1д.
Это представление называется прямым (или кронехеровским) произведением первых двух; оно неприводимо, лишь если по крайней мере одно из у илн 1д равно единице. Легко видстгь что характеры прямого произведения равны произведениям характеров обоих составляющих представлений. Действительно, если ©~(а~ = ~ С~а~~(а) н С~Ю '~, СЮ~(Д т то т.е. Являя>тся базисом о-го неприводимого представления. Давая е различные значения, получим, таким образом, Г" различных наборов базисных функций ф, для одного и того жс (а) неприводимого представления, в соответствии с тем, что каждое неприводимое представление входит в регулярное представление г раз.
Произвольную функцию 4 можно представить в виде суммы функций, преобразующихся по неприводимым представлениям группы. Эта задача решается формулами 457 ПРВДОТАВЛЕНИЯ ГРУПП отсюда для характеров, которые обозначим как (х~") х ~5з))(С), получим ( ~ ~ х бз~)(С) = ~~~ С~ )С~~) = ~ С~ ) ~С~~) с(4й~Рй + 4й'Рг) = х~~ сйстй(Ф1'Рт + Фт'Рд йт 1 — (СЬСтй + Стгйй)(Ф~Рт + РтР~). Отсюда имеем для характера 2 Но ГС) ~~ «С С (Сз) Г г,й таким образом, окончательно получим формулу Гх'ПС) = —,Пж(С)Г+ МС')), (94. 22) т.
е. Ь" ° Х") НС) = Х'"'(СМ"'(С) Оба перемножаеъГые неприводимые представления могут, в частности, совпадать; в этом случае мы имеем два различных набоРа фУнкЦий фп..., фу и ~РМ..., ~Р Г, осУЩествлЯюЩих оДно и то же представление, а прямое произведение представления само на себя осуществляется 7" функциями ф;Рй, и имеет характеры 2 (Х 'ХПС) = 1Х(С)1' Это приводимое представление можно сразу разбить на два представления меньшей размерности (но, вообще говоря, все еще приводимые). Одно из них осуществляется 7" (7" + 1)/2 функциями ЩРй + фйР;, а другое ~(~ — 1) /2 функциями ~~,~рй — фй~р, (ю ~ й) (очевидно, что функции каждого из этих наборов преобразуются только друг через друга).
Первое называется симметричным произведением представления самого на себя (его характеры обозначаются символом ~~з](С)), а второе -- анти- симметричным Произведением (его характеры обозначаются символом (~ 1(С)). Для определения характеров симметричного произведения пишем 458 ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ гл. хп позволяющую определить характеры симметричного произве- дения представления самого на себя по характерам исходного представления. Совершенно аналогичным образом найдем для характеров антисимметричного произведения формулу ') Ь 1(~) —, ИХ(~)) Х( )1. (94.23) зс(С) = у(")(А)у(Д)(В).
(94.24) ') Полезно заметить, что для представлений с размерностью 2 характеры (Х~)(С) совпадают с определителями линейных преобразований С, в чем легко убедиться прямым вычислением. Если функции ф, и ~р, совпадают, то с их помощью можно, очевидно, определить лишь симметричное произведение, осуществляемое квадратами зр~ и произведениями ф,фь (4 ф к). В применениях приходится встречаться и с симметричными произведениями более высоких степеней; их характеры можно получить аналогичным образом.
Отметим важное для дальнейшего свойство прямых произведений. Разложение прямого произведения двух различных неприводимых представлений на неприводимые части содержит единичное представление (причем один только раз)., лишь если перемножаемые представления являются комплексно сопряженными. В случае вещественных представлений единичное представление содержится лишь в прямом произведении неприводимого представления самого на себя (причем, очевидно, в его симметричной части).
Действительно, чтобы узнать, содержится ли в представлении (94.21) единичное представление, надо (согласно (94.16)) просто просугимировать его характеры по С (и разделить результат на порядок группы й). Сделанное утверждение следует тогда прямо из соотношений ортогональности (94.10). Итак, сделаем несколько замечаний о неприводимых представлениях группы, являющейся прямым произведением двух других групп (не смешивать с прямым произведением двух представлений одной и той же группы!). Если функции ф,." осуществляют неприводимое представление группы А, а функции з)~ь ~ — то же для группы .В, то произведения ф~~, ~ф~ будут базисом ('„~д-глерного представления группы А х .В, причем представления неприводимого.
Характеры этого представления получаются перемножением соответствующих характеров исходных представлений (ср. вывод формулы (94.21)); элементу С = АВ группы А х .В соответствует характер 295 непРиводимые пРедстхилення то'1ьчных ГРупп Перемножив, таким образом, друг с другом все неприводихлые представления групп А и В, мы получим все нсприводимые представления группы А х .В. 9 95.
Неприводимые представления точечных групп Перейдем теперь к конкретному определению неприводимых представлений точечных групп. Огромное большинство молекул обладает лишь осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Поэтому мы не будем рассматривать группы икосаэдра У, У';,; группы С„, С„ь, С„„, Р„, Р„ь будем рассматривать лишь со значениями и, = 1, 2, 3, 4, б, а группы 52„, Р„я--с п=1, 2, 3. Характеры представлений этих групп даны в табл. 7.
Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводятся вместе в одной таблице. Числа перед символами элементов группы в первых строках указывают числа элементов в соответствующих классах (см. 993). В первых столбцах указаны принятые условные обозначения представлений. Одномерные представления обозначаются буквами А, В, двумерные буквой Е, а трехмерные — Е (обозначение Е для двумерного неприводимого представления не сме1пивать с обозначением Е для единичного элемента группы!) ') . Функции базисов представлений А симметричны, а функции Е антисимметричны по отношению к поворотам вокруг главной оси п-го порядка.
Функции различной симметрии по отношению к отражению гть отличаются количеством штрихов (один или два), а индексы я и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений буквами х, у, е указано по какому представлению преобразуются сами координаты; ось е везде выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы е и ог обозначают: 2хг/3 2иг76 4 6+ 6 = -1, Наиболее просто определение неприводимых представлений для циклических групп (группы С„, Яв). Циклическая группа, как и всякая абелева группа, имеет лишь одномерные представления. Пусть С вЂ” производящий элемент группы (т.е. элемент, возведение которого в последовательные степени дает все элементы группы).
Поскольку Ск = Е (б "-порядок группы), то 1 ) Причина, по которой два комплексно сопряженных одномерных предстанления обозначаются как одно двумерное, выяснится в 296. з95 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДОТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП Таблица 7 (ородолэсеиие) ясно, что при воздействии оператора С на функции> базиса гр последняя может умножиться только на йг1, т. е, ') Сф = е~ '~7кф, й = 1,2,...,я. ГРУппа Сзь (и изомоРфные с ней Сз, и Х19) абелева, так что все ее неприводимые представления тоже одномерны, причем характеры могут быть равны только ж1 (так как квадрат каждого элемента есть Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
