III.-Квантовая-механика (1109680), страница 91

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 91)

Эту группу можно рассматривать как предельный случай групп С„при и — э оо. Аналогично, в качестве предельных случаев групп С„ь, С„,, Хг„, Х>„ь получаются непрерывные группы С „, С ., Х1 ', Х) '„. Молекула, обладает аксиальной симметрией только в том случае, если она состоит из атомов, расположенных по одной прямой.

Если она при этом несимметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа С,„, содержащая, поъгимо поворотов вокруг оси, также и отражения о, в любой плоскости, проходящей через ось. Если же молекула симметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа Х) ь = С „х С,. Что же касается групп С' СВ,ь, Х1 ., то они вообще не могут осугцествляться в качестве групп симметрии молекулы.

Группа полной сферической симметрии содержит повороты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через центр, и отражения в любой плоскости, проходящей через ту же точку; эта группа (которую обозначим через Кь) является группой симметрии отдельного атома. Она содержит в качестве подгруппы группу..К всех пространственных поворотов (ее называют трехмерной группой вращений, или просто группой вращений).

Группа .Кь может быть получена из группы К добавлением центра симметрии (Кь = К х С,). Элементы непрерывной точечной группы можно различать одним или несколькими параметрами, пробегающими непрерывный ряд значений. Так, в группе вращений параметрами могут быть три угла Эйлера, определяющие поворот системы координат. Описанные в 8 92 общие свойства конечных групп и относящиеся к ним понятия (как-то: понятия подгруппы, сопряженных элементов, классов и т.п.) непосредственно обобщаются на непрерывные группы. Теряют, разумеется, смысл те утверждения, которые непосредственно связаны с порядком группы (например, утверждение о том, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы).

В группе С,„все плоскости симметрии эквивалентны, так что все отражения о, составляют один класс с непрерывным 472 гл. хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ рядом элементов: ось симметрии двусторонняя, так что имеется непрерывный ряд классов, содсржа1цих каждый по два элемента С(4зр). Классы группы Хз ь получаются непосредственно из классов гРУппы С„„, так как Хз, ь = С Р х Сь В группе вращений .К все оси эквивалентны и двусторонни, поэтому классами этой группы являются повороты на заданный по абсолютной величине ~д~ угол вокруг любой оси.

Классы группы Кь получаются непосредственно из классов группы К. Понятие представлений . " приводимых и неприводимых —.. тоже непосредственно обобщается на случай непрерывных групп. Каждое нсприводимое представление содержит непрерывный ряд матриц, но число преобразующихся друг через друга функций базиса (размерность представления) конечно. Эти функции могут быть всегда выбраны таким образом, чтобы представление было унитарным. Число различных неприводимых представлений непрерывной группы бесконечно, но они составляют дискретный ряд, т.е. могут быть перенумерованы последовательными номерами. Для матричных элементов и характеров этих представлений имеют место соотношения ортогональности, обобщающие аналогичные соотношения для конечных групп.

Вместо (94.9) имеем теперь С1 )С1")*г1т~ = — 5 дбибь г1тгч (98.1) а вместо (94.10) ~~ )(С)~бз)(С)*г1тц = 6 д г1тц. (98.2) Интегрирование в этих формулах есть так называемое инвариантное интегрирование по группе; элемент интегрирования Йт~ выражается через параметры группы и их дифференциалы, причем таким образом, что при воздействии на него всех преобразований группы снова получается элемент интегрирования') .

Так, в группе вращений можно выбрать Мтгз = = вш111згтсг,Зс1у, где гг, Д, у углы Эйлера, определяющие поворот системы координат 18 58); при этом ~с1т~ = 8п2. Неприводимыс представления трехмерной группы вращений мы по существу уже нашли (не пользуясь при этом тер- ) Высказанные утверждения о свойствах неприводимых представлений непрерывных групп справедливы лишь при условии сходимости интегралов (98Л1), (98.2); в частности, должен быть конечен вобьем группыь ) дто.

Для непрерывных точечных групп зто условие выполняется (оно не выполняется, например, для так называемой лорендевой группы, с которой мы встретимся в релятивистской теории). 898 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ минологией теории групп), когда определяли собственные значения и собственные функции полного момента. Операторы компонент момента совпадают (с точностью до постоянного множителя) с операторами бесконечно малых поворотов'), и собственные значения момента характеризуют поведение волновых функций по отношению к пространственным вращениям. Значению момента 1 соответствует 21 + 1 различных собственных фУнкций фдю, отличаюЩихсЯ значениЯми пРоекЦии т момента и относящихся к одному (21 + 1)-кратно вырожденному уровню энергии.

При поворотах системы координат эти функции преобразуются друг через друга, осуществляя, таким образом, неприводимые представления группы вращения. Следовательно, с точки зрения теории групп числа 1 нумеруют неприводимыс представления группы вращений, причем каждому 1 соответствует одно (21+ 1)-мерное представление. Число з пробегает целые и полуцелые значения, так что размерность 21 + 1 представлений пробегает все целые значения 1,2,3,... Функции базиса этих представлений были уже по существу исследованы в 8 56, 57 (а матрицы представлений были найдены в 8 58). Базисом представления с данным 1 являются 2з + 1 независимых компонент симметричного спинора ранга 2у (которым эквивалентна совокупность 21 + 1 функций Мзю). Неприводимые представления группы вращений, соответствующие полуцелым значениям з, отличаются существенной особенностью.

Дело в том, что при повороте на угол 2и функции их базиса (компоненты спинора нечетного ранга) меняют знак. Но поскольку поворот на 2и совпадает с единичным элементом группы, то мы приходим к выводу, что представления с полуцелыми у являются, как говорят, двузначными: каждому элементу группы (повороту вокруг некоторой оси на угол 9з, 0 < у < 2п) соответствует в таком представлении не одна, а две матрицы с противоположными по знаку характерами') .

Изолированный атом обладает, как уже отмечалось, симметрией Кь = .К х С;. Поэтому, с точки зрения теории групп, каждому теръгу атома соответствует некоторое неприводимое представление группы вращений .К (им определяется значение ) Но математической терминологии зтн операторы называют генераторами группы вращений. ~) Необходимо сказать, что двузначные представления группы не являются представлениями в истинном смысле слова, так как осуществляются неоднозначными функциями базиса; см. также З 99. 474 гл. Хп ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ полного момента 7 атома и неприводимое представление группы С ) (чем определяется четность состояния) ') . При помегпении атома во внешнее электрическое поле его уровни энергии расп1епляются.

Число возникающих при этом различных уровней и симметрия соответствующих состояний могут быть определены способом, описанным в 9 96. Для этого надо разложить приводимое (2.7+1)-мерное представление группы симметрии внешнего поля (осуществляемое функциями фум) по неприводимым представлениям этой группы. В связи с этим возникает необходимость в знании характеров представления, осуществляемого функциями фум.

поскольку характеры неприводимых представлений элементов одного класса одинаковы, достаточно рассмотреть повороты вокруг одной оси — оси л. При повороте на угол ~р вокруг оси л волновые функции фум умно- жаЮтСЯ, КаК МЫ ЗНаЕМ, Иа Е' э', ГДЕ Л1 ПРОЕКЦИЯ МОМЕНта На данную ось. Поэтому матрица преобразования функций фум будет диагональна с характером у Х (()= ~~. е' '=' М=- — / или ') (у),, э1п(з т 1/2)1Р Х (Ф) = з1п(<р/2) По отношению же к инверсии 1 все функции флм с различными М ведут ссбя одинаковым образом -умножаются на +1 или на — 1, смотря по тому, четно или нсчетно состояние атома.

1) Кроме того, гамильтоииан атома инвариантеи по отношению к перестановкам электронов. В нерелятивистском приближении координатные и спиновые волновые функции разделяются, и можно говорить о представлениях группы перестановок, осуществляемых координатными функциями. Заданием неприводимого представления группы перестановок определяется полный спин атол1а о' (см. З 63). При учете же релятивистских взаимодействий разделение волновых функций на координатную и спиновую части невозможно. Симметрия по отно1пению к перестановкам одновременно координат и спиноз частиц не приводит к какой-либо характеристике герма, так как принципом Паули допускаются лишь антисимметричные по всем электронам полные волновые функции.

Характеристики

Список файлов книги