III.-Квантовая-механика (1109680), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Другими словами, в результате преобразования С каждая из функций гр1 (1 = 1, 2, ..., 1) переходит в линейную комбинацию вида где Сы постоянные, зависящие от преобразования С. О совокупности этих постоянных говорят, как о матрице преобразоеанил ') . В этой связи удобно рассматривать элементы С группы как операторы, воздействующие на функции ф;, так что можно будет написать Сй = ~~' Сьг1гь (94.1) ь Функции ф; всегда можно выбрать таким образом, чтобы они были взаимно ортогональны и нормированы. Тогда понятие о матрице преобразования совпадает с понятием о матрице оператора в том виде, как оно было определено в ~ 11: (94.2) Произведению двух элементов С и Н группы соответствует матрица, определяющаяся по матрицам С и Н с помощью обычного правила переьлножения матриц (11.12)1 (СН),ь = у СиНи.
(94. 3) О совокупности матриц всех элементов группы говорят, как о представлении группы. Функции же у1П..., фу, с помощью которых определены эти матрицы, называют базисом представления. Число 1 этих функций определяет размерносгпь представления. 1 ) поскольку функции 1ь, предполагаются однозначными, то ка1кцому элементу группы соотвстствуст одна определенная матрица. 451 пгидставления ГРупп Рассмотрим интегралы 1 гд,*фь си1.
Поскольку интегрирование производится по всему пространству, то очевидно, что при любом повороте или отражении системы координат значения интегралов не изменятся. Другими словами, преобразования симметрии не нарушают ортонормированности функций базиса, а это значит (см. '2' 12), что операторы С унитарны') . Соответственно унитарны и матрицы, представляющие элементы группы в представлении с ортонормированным базисом.
Произведя над функциями ф1,...,гду линейное унитарное преобразование зг, = Щб (94.4) мы получим новую систему функций ф1»...,ф'~, которые тоже будут ортонормированы (см. 2 12) ') . Взяв в качестве базиса представления функции у),', мы будем иметь новое представление той же размерности. Такие представления, которые получаются друг из друга путем линейного преобразования функций из базиса, называются эквивалентными; они, очевидно, не являются существенно различными.
Матрицы эквивалентных представлений связаны друг с другом простым соотношением: согласно (12.7) матрица оператора С в новом представлении равна матрице оператора (94.5) в старом представлении. Сумма диагональных элементов (т.е. след) матрицы, представляющей элемент С группы, называется ее характером; мы будем обозначать характеры через у(С). Очень существенно, что характеры матриц эквивалентных представлений совпадают (сьь (12.11)). Это обстоятельство придает особую важность описанию представления группы с помощью задания его характеров, оно позволяет сразу отличать существенно различные представления от представлений эквивалентных. Ниже мы будем говорить как о различных лишь о неэквивалентных представлениях. Если понимать под Я в 194.5) элемент группы, связывающий сопряженные элементы С и С~, то мы придем к результату, ) В атом рассуждении существенно, что интегралы либо равны нулю (при 1 ф й), либо заведомо отличны от нуля (при 1 = ь) ввиду положительности интегрируемого выражения )ф, ~ ) Напомним (сьь (12.12)), что, ввиду унитарности преобразований, сумма квадратов модулей функций базиса инвариантна.
452 ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ гл. хп что в каждом данном представлении группы характеры матриц, представляющих элементы одного класса, одинаковы. Единичному элементу группь1 Е соответствует тождественное преобразование. Поэтому прсдставляющая его матрица во всяком представлении диагональна, причем диагональные элементы равны единице. Характер З~(Е) равен, следовательно, просто размерности представления т(Е) = у.
(94.6) Рассмотрим некоторое представление размерности у. Может оказаться, что в результате соответствуюгцего линейного преобразования (94.4) функции базиса разбиваются на наборы по ) и (з,... функций ф + (з +... = ~) таким образом, что при воздействии всех элементов группы функции каждого набора преобразук>тся только друг через друга, не затрагивая функций из других наборов. В таком случае говорят, что данное представление приводимо. Если жс число прсобразующихся друг черсз друга функций базиса не может быть ухгеньшено никаким их линейным преобразованием, то осуществляемое ими представление называется нсприводилгылз.
Всякое приводимое представление может быть, как говорят, разложено на неприводимые представления. Это значит, что соответствующим линейным преобразованием функции базиса разбиваются на ряд наборов, из которых каждый преобразуется при воздействии элементов группы по какому-либо нсприводимому представлению. При этом может оказаться, что несколько различных наборов преобразуется по одному и тому же неприводимому представлению; в таком случае говорят,что это неприводимое представление содержится в приводимом соответствующее число раз. Неприводимые представления являются существенной характеристикой группы и играют основную роль во всех квантовомеханических применениях теории групп. Укажем главные свойства неприводимых представлений') .
Можно показать, что число различных неприводимых представлений группы равно числу г классов в группе. Мы будем отличать характеры различных неприводимых представлсний верхними индексами; характеры матриц элемента С в различных представлениях будут ~(П(С), з~~с~(С),..., З14')(С). Матричные элементы неприводпмых представлений удовлетворягот ряду соотношений ортогональности. Прежде всего для двух различных неприводимых представлений имеют место 1 ) Доказательство этих свойств можно найти в любом специальном курсе теории групп. ПРВДОТАВЛЕНИЯ ГРУПП соотношения ЕС(;)СО')* = О, (94.7) С где ГГ ~ ф отличают два неприводимых представления, а суммирование производится по всем элементам группы. Для каждого же неприводимого представления имен>т место соотношения (94.8) а т. е.
отличны от нуля лишь суммы квадратов модулей матричных элементов С;. ~С(п)(з л У Соотношения (94.7), (94.8) можно записать вместе в виде С~„~)С~~~* = ~ 5 зби5ь У (94.9) В частности, отсюда можно получить важное соотношение ортогональности для характеров представлений; суммируя обе части равенства (94.9) по парам индексов г, й и 1, Гп, получим ~~~,х' 'Ф)х 'Ф)* =аАхд. (94.10) При о = ~3 имеем ,~, ~х')~С)~' = а ~~,асХ~ )(С)ХОз)(С) = аб и, (94. 11) с С сумма квадратов модулей характеров нсприводимого представления равна порядку группы. Заметим, что этим соотношением можно пользоваться как критерием неприводимости представления для приводимого представления эта сумма во всяком случае больше а (так она равна па, если представление содержит в себе и неприводимых частей, которые все различны между собой). Из (94.10) следует также, что равенство характеров двух неприводимых представлений является не только необходимым, но и достаточным условием их эквивалентности.
Поскольку характеры, относящиеся к элементам одного класса одинаковы, то в сумме (94.10) в действительности имеется всего г независимых членов, и ее можно переписать в виде 454 ТЕОРИЯ ОИММЕТРИИ гл. хи х (С)х (С ) = †а' ас (94.12) Среди неприводимых представлений всякой группы всегда имеется одно тривиальное, осуществляющееся одной функцией базиса, инвариантной по отношению ко всем преобразованиям группы. Это одномерное представление называется единичным; все характеры в нем равны единице.
Если в соотношении ортогональности (94.10) или (94.11) одно из представлений -единичное, то для другого получим (94.13) т. е. сумма характеров всех элементов группы для всякого неединичного представления равна нулю. Соотношение (94.10) позволяет очень просто произвести разложение всякого приводимого представления на неприводимые, если известны характеры тех и других. Пусть Х(С) характеры некоторого приводимого представления размерности 1, и пусть числа а1 1,а1 1,...,а1'1 показывают, сколько раз содержатся в нем соответствующие неприводимые представления, так что ~ айз1 Гд = 1 д=-1 (94.14) (Гд размерности неприводимых представлений).
Тогда характеры Х(С) можно написать в виде Х(С) = ~) и1~1Х1~11,С). ,3=-1 (94.15) где суммирование производится по т классам группы (обозначаемым условно буквами С), а яс -- число элементов в классе С. ГГоскольку число неприводимых представлений совпадает с числом классов, то величины Г,„с = «дДдх~ ~(С) образуют квадратную матрицу г величин. Из имеющих место соотношений ортогональности по первому индексу (~ с Г с Г,*с = д д) автоъ1атически следуют тогда соотношения ортогональности по второму индексу: 2,,Г„сДс, —— = асс . Поэтому наряду с (94.11) имеют место формулы ПРНДОТАВЛВНИЯ ГРУПП Умножая это равенство на Х)а)(С)* и суммируя по всем С, получим в силу (94.10) а' ' = — ~,х(С)х'")(С)*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
