III.-Квантовая-механика (1109680), страница 51
Текст из файла (страница 51)
') ГГри целой (полуцелой) сумме ~" в целыми (полуцелыми) являются также и все возможные значения полного спина о' системы. ~) Если электрическое поле обладает высокой симметрией (кубической), то может иметь место и четырехкратное вырожденно (см. з99 и задачу к нему) . з ) Говорить о вещественности спинора в буквальном смысле вообще не имеет смысла, поскольку комплексно сопряженные спиноры имеют различные законы преобразования.
ГЛАВА ГХ ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ т1АСТИЦ й 61. Принцип неразличимости одинаковых частиц В классической механике одинаковые частицы ~скажем, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют все жс своей «индивидуальностиь: можно представить себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в некоторый момент времени «перенумерованнымиь и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории; тогда в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать.
В квантовой же механике положение совершенно меняется. Уже неоднократно указывалось, что в силу принципа неопределенности понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент его координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей их идентификации в дальнейшие моменты времени; локализовав один из электронов в другой момент времени в некоторой точке пространства„ мы не сможем указать, какой именно из электронов попал в эту точку. Таким образом, в квантовой механике принципиально нс сугцествуст никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их.
Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою «идивидуальностьм Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет здесь весьма глубокий характер она приводит к их полной неразличимости. Этот, как говорят, принцип яеразличимости одинаковых частиц играет основную роль в квантовой теории систем, состоящих из одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы, состоящей всего из двух частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга просто перестановкой обеих частиц, должны быть физически полностью эквивалентными.
Это значит, что в результате такой перестановки волновая функция системы может измениться только на 282 гл. 1х ТО1КДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ несущественный фазовый множитель. Пусть Фф,~г)" волновая функция системы, причем (1, ~г условно обозначают совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быть: уг1(1, сг) = е' уз(сг, с1), где а —. некоторая вещественная постоянная. В результате повторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, между тем как функция ф окажется умноженной на ег' . Отсюда следует, что е ' =1 или е' =ж1. Итак, Фф,(г)=~~ф,~1).
Мы приходим к результату, что имеется всего две возможности. - волновая функция либо симметрична 1т. е. совершенно не меняется в результате перестановки частиц), либо антисимметрична 1т.е. при перестановке меняет знак). Очевидно, что волновые функции всех состояний одной и той же системы должны иметь одинаковую симмотрию: в противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, была бы ни симметрична, ни антисимметрична. Этот результат непосредственно обобгцается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Действительно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо их пара обладает свойством описываться, скажем, симметричными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких же частиц будет обладать тем же свойством.
Поэтому волновая функция одинаковых частиц должна либо соверпгенно нс меняться при перестановке любой пары частиц (а потому и при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак при перестановке каждой пары. В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае об антисимметрачной волновой функции. Свойство описываться либо симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми.Дирака или о фермионах, а о частицах, описываюп1ихся симметричными функциями, как подчиняющихся статистике Бозе-Эйнигтейна или о бозонах') .
) Эта терминология связана с названием статистик, которыми описывается идеальный газ, состоящий из частиц соотвстствонно с антисимметричными или симметричными волновыми функпиями. В действительности мы имеем здось дело не только с различными статистиками, но и по существу с различными механиками. Статистика Ферми была предложена Ферми (Б. Реггаг) для электронов в 1926 г..
а ее связь с квантовой механикой была выяснена Дираком (1926). Статистика Бозе была предложена Бозе (Я. Бозе) для световых квантов и обоб|цена Эйнштейном (1924). 661 ПРИНЦИП НЕРАЗЛИ П1МОСТИ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 283 Из законов релятивистской квантовой механики оказывается возможным показать (см. 11~, 8 25), что статистика, которой подчиняются частицы, однозначно связана с их спином; частицы с полуцслым спином являются фермионами, а с целым спином бозонами. Статистика сложных частиц определяется четностью числа входящих в их состав элементарных фермионов. Действительно, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалентна одновременной перестановке нескольких пар одинаковых элементарных частиц. Перестановка бозонов не изменяет волновой функции вообще, а перестановка фсрмионов меняет ее знак. Поэтому сложные частицы, содержащие нечетное число элементарных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие четное число их, — статистике Бозе.
Этот результат находится, конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: сложная частица имеет целый или полуцелый спин в зависимости от того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с полуцелым спином. Так, атомные ядра с нечетным атомным весом 1т.е. состоящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются статистике Ферми, а с четным весом статистике Бозе. Для атомов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, статистика определяется, очевидно, четностью или нечетностью суммы атомного веса и атомного номера. Рассмотрим систему, состоящую из Х одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь.
Пусть 1Д1, Ч1В,... - . вОлнОвыЕ функции Различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из част1щ в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций ф1, фз,... волновая функция ф всей системы в целом.
Пусть р1, рз,..., ру — номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Для системы бозонов волновая функция фф,(з,...,~1Р-) выражается суммой произведений вида д' К1)ч' Кз) ° 4 (сьч) (61.1) со всеми возможными перестановками различных индексов р1,рз,..., такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии.
Так, для системы из двух частиц, находяп1ихся в различных (р1 у= рз) состояниях: Ф(6:6) = —,-М (6)4 й)+Ф Ы~)~ (6)1 (81.2) 284 гл. 1х тождественность чАстиц Множитель 1/т1'2 введен для нормировки (все функции фму12,... взаимно ортогональны и предполагаются нормированными). В общем же случае системы произвольного числа частиц 1'у' нормированная волновая функция где сумма берется по всем перестановкам различных из индексов рз,р2,...,р~м, а числа 1"11, указывают, сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения 1 (при этом 2 1Т1 = 11').
При интегрировании квадрата !у1Я! по 11~Щ2...с!~А1') обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в сумме 161.3) равно, очевидно, 211!/(й11!2112!... ), то отсюда и получается нормировочный коэффициент в (61.3). Для системы фермионов волновая функция у1 есть антисимметричная комбинация произведений 161.1). Так, для системы из двух частиц имеем ~(~1~(2) = — 1ррр1(6)ург(6) 1рр1Ы2)урз(с1)).
(61.4) В общем же случае 1"у' частиц волновая функция системы запи- сывается в виде определителя Фр1 ((1) Фр1 (с2) .. Фр1 ((Х) фа А, = ~р'®) ~р'1ь~) '' гр''"~) . (61.5) №№...— Ф %) Фр,Ы Ф (Ы Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак. Из выражения (61.5) следует важный результат: если среди номеров рт,р2,... есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится то2цдественно в нуль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера рм р2,... различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы.
Это так называемый принцип Паули (И'. Ран!1 1925). ) Под интегрированием по 1!4 условно подразумевается (здесь и в з 64, 66) интегрирование по координатам вместе с суммированием по и. 285 262 ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ й 62. Обменное взаимодействие Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается наличие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение и все получающиеся с его полющью результаты. Дело в том, что электрическое взаимодействие частиц не зависит от их спинов') . Математически это означает, что гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие магнитного поля) не содержит операторов спина и потому при применении его к волновой функции никак не воздействует на спиновые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
