III.-Квантовая-механика (1109680), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2т2 2. Написать формулы, определяющие действие оператора спина на векторную волновую функцию частицы со спином 1. Р е ш е н н е. Связь компонент векторной функции н с компонентами спинора 1Ъ"" дается формулами (57.9), а последняя из формул (57.5) дает э,фт =- — 9гг, з,15 =- у1, е„тз. =- О (где тт =- 9~ х нУ, ) или з ф =- — 1у,ю э,ф„=- и)г, е,ф. =- О.
Остальные формулы получаются из этих циклической перестановкой индексов х, у, ю Все вместе они могут быть написаны в виде в,фь = — 1е,нфь 1 ) Другими словами, 21 -~- 1 (д — целое) компонент неприводимого тснзора ранга д, как и совокупность 25 + 1 шаровых функций 1;~, как и 25 + 1 компонент симметричного спинора ранга 21, осуществляют одно и то же неприводимое представление группы вращений.
258 ОпеРАРОР кОне гных ВРАщений Комплексный вектор и может быть представлен в виде н =- е'"(и+ 1ч), где и и Р— вещественные векторы, которые путем надлежащего выбора общей фазы О могут быть определены как взаимно перпендикулярные. Два вектора и и Р определяют плоскость, обладающую тем свойством, что проекция спина на перпендикулярное к ней направление по>нет принимать лиюь значения к1. 8 58. Оператор конечных вращений Вернемся к вопросу о преобразовании спиноров и покажом, каким образом коэффициенты этого преобразования могут быть фактически выражены через углы поворота координатных осей.
По определению оператора момента (в данном случае спина), выражение 1+ гбсз пв есть оператор поворота на угол асс вокруг направления, задаваемого единичным вектором и; в применении к волновой функции частицы со олином 1/2, т. е. к спинору первого ранга, надо положить в этом операторе в = й/2. Оператор же поворота на конечный угол сз вокруг того же направления будет соответственно даваться формулой 5г„= ехр(6рпй/2) (58.1) (ср. (15.13)). Как и всякая функция матриц Паули (сег. задачу 1, 855), это выражение сводится к линейному по этим матрицам выражению Оп = соз(~р/2) + гпп .
Еш(д/2). (58.2) Так, для поворота вокруг оси з находим О,'гр) = соз — + йт, 81п — = ~ о 12) . (58.3) 1Р .. |р / ехр(6р/2) О 2 ' 2 ~, О ехр( — ир 2 Это значит, что компоненты спинора при таком повороте преоб- разуются по закону ф1' ф1 1т/2 ~2' ~2 — гт/2 В частности, при повороте на угол 2п компоненты спинора меняют знак; таким же свойством будут, следовательно, обладать также и спиноры любого нечетного ранга (ср. конец 8 55). Аналогичным образом найдем матрицы преобразований, состоящих в повороте на угол сз вокруг оси х или оси у; ( сое(~р/2) г в1п(~р/2) ) — ~ соз(~р/2) ьйп(~р/2) ) '1 г зш(р/2) соз(~р/2) ( ' "~~ ) 1 — 81п(ф,12) соз(д/2) / ' (58.4) 270 спин гл гш Отметим частный случай поворота на угол л вокруг оси у, при котором ф1' у)2 ~2' у)1 т.
е Непосредственным перемножением матриц окончательно нахо- дим ( сов112,12)едет')12 вгп(Д/2)е 171сг,А ))=~ (' . 1,— вгп()3112)ей ' т)12 сов(я2)е Ц 158.6) Спиноры высших рангов преобразуются, по определению, как произведения компонент спинора первого ранга. В физических применениях, однако, представляют интерес не столько ) Системы туз и х у~у, как всегда, — правовинтовые, а положительное направление отсчета углов отвечает направлению буравчика, завинчиваемого в положительном направлении осн поворота. Данное здесь определение углов Эйлера )принятое в квантовомеханических применениях) отличается от определения в З Зб 1сы.
т. 1) тем, что второй поворот производится вокруг оси у, а не вокруг оси в. Углы о, Д, т связа. ны с угламн ех е, Е в т. 1 1не смешивать со сферическими углами сг, еО посредством т=о+ —, у=А Ф=т — —. 2 2 'Ф' = Ф1, Ф' = Ф2. 158.5) Легко написать теперь матрицу преобразования прн произвольном повороте координатных осей в зависимости от углов Эйлера, определяющих этот поворот. Вращение осей, определяемое углами Эйлера сг, )з, .у, производится в три приема: 1) поворот на угол о 10 < сг < 2я) вокруг оси з, 2) поворот на угол Д 10 < 12 < л) вокруг нового положения оси у 1О)у' на рис.
20, так называемая линия узлов), 3) поворот на угол у 10 < у < 2я) вокруг получившегося окончательного по—,— — — — — '' О,' —,— ) ложения 1л') оси х') . Очевидно, что углы сг, )1 совпадают со .Ь..; сферическими углами со, 0 новой оси з' по отношению к осям х1улм сг = ~р,,З = О. Соответственно такому способу по- ворота осей, матрица полного преобраРис. 20 зования равна произведению трех мат- риц 158.3), 158.4); 77(о,К-д =77.ЯО,Я77.Ю 271 858 ОпеРАРОР кОне еных ВРАщений законы преобразования самих спиноров, сколько отвечакпцих им волновых функций 1)1.
Пусть функции 1)) „, (т = ), ) — 1,..., — )) описывают в координатной системе аул состояние с определенным значением момента ), а функции 1)11, то же состояние по отношению к ОСЯМ Х У Е', В ПЕРВОМ СЛУЧаЕ т ССтЬ ЗНЕЧЕНИС йю а ВО ВТОРОМ: т = )тч Те и другие функции связаны друг с другом линейными соотношениями, которые запишем в виде Ф, = ~.Р~~~ (О,)8, 7)Ф, (58.7) т' Коэффициенты Р, составляют (по отношению к индексам О) тн'т) матрицу ранга 2) +1 матрицу конечных вращений Р(1); ее элементы являются функциями углов поворота ст, )з, 7 системы х'у'е' относительно хуж Конструктивное построение матрицы конечных вращений может быть произведено с поъющью спинорного представления функций у) При ) = 1/2 две функции ц)1 э (т = ~1/2) составляют ковариантный спинор первого ранга.
Согласно (56.13) его преобразование (от системы х'~'е' к системе хуе) осуществляется матрицей 0 (58.6), так что Р(11~) = 0') . Запишем ее элементы в виде р(1)Э) 1ю'7 ~(1/Э) 1 о1 ела где (58. 8) При произвольном значении з функции флв связаны с компонентами симметричного ковариантного спинора ранга 2) формулой (57.6). Матрица преобразования компонент спинора ранга 2у' есть произведение 27' матриц Р(11'), каждая из которых ) Обратим внимание на то, что матричные индексы в (58.7) как раз расположены в порядке, отвечающом перемножению столбцов матрицы 1)и~ с расположенными в строку функциями а„а .
В символической записи равенство (58.7) должно было бы быть написано как т = (8'ОО1) — в соответствии с записью в (56.13). 272 спин гл чш действует на один из спинорных индексов. Произведя перемно- жение и вернувшись снова к функциям фз, получим матрицу преобразования последних в виде В)з) (о 8 ) = е1 'М'),„)1ег причем функции д ~,,п(р) даются формулой') (08.9) т'-Гвг „) ~0,т)!(1 т~)!1 / Ят,т ~ (у ~- т)!0 -- т)! ~ 2 х (з)п — ) Р~"", ' ) (сов 1з). (58.10) где Р~~' )(соз)8) = „, (1 — соз,З) о(1+ совр) х х ( ~) [(1 — соз)8)от" (1+ соз)з) т") (58.11) ~Нсозб/ так называемые полиномы Якоби' ) . Отметим, что Р~'*~)( — соз,З) = ( — 1)" Р~~")(соз)3). (58.12) лб) ( р) 7Ы р) (58.13) Проведение вычислений можно найти в книге: А.
В. ЕйпопсЬ. Апхп1аг пзопзепгппз 1п Чпапгппз пзесЬапгса — Рппсегоп, 1957 (см. также перевод статьи того же автора в сбл Деформация атомных ядер. — Мл ИЛ. 1958). Определение функций В ',„„согласно (58.9), (58.10), отличается от принятого в книге Эдмондса перестановкой о и т (что более естественно в излагаемом подходе), а от принятого в статье еще и изменением знаков всех углов. ~) Связь этих полнномов с гипергеометрическим рядом — см. Зе (формула (е.11)). Функции дО, обладают рядом свойств симметрии, которые можно было бы усмотреть из выражений (58.11) и (58.12), но проще вывести непосредственно из их определения как коэффициентов вращательного преобразования.
Матрица Йо) как матрица вращательного преобразования унитарна. Поскольку преобразование, обратное повороту (сг,р', у), есть поворот ( — ), — р', — о) то для вещественной матрицы Ж) отсюда получаются соотношения 273 888 ОПЕРАТОР КОНЕ 1НЫХ ВРАЩЕНИЙ (58.15) Результат двух поворотов вокруг одной и той жс оси не зависит от их последовательности. Поэтому мы должны получить тот же результат, произведя повороты — р и гг в обратном порядке.
Сделав это и сравнив ответ с (58.16), получим соотношение 11 ~, (~3) = ( — 1)т' ~11 ~', (®. (58.17) Из (58.17), (58.14) и (58.13) следует, что г1 ~, (Д) = ( — 1) '"д ~',(~3) = ( — 1)т 'пд ~, ( — ф). (58.18) На основании (58.13) — (58.18) могут быть написаны различные свойства симметрии полных функций Р~~~т. Отметим, в частности, выражение комплексно сопряженной функции Рй*((,К д = Рй ( — ~,К вЂ” 7) = ( — 1) Р~'~ (сг,8,7) (58.19) С математической точки зрения, матрицы Рбй дают унитарные неприводимые представления группы вращений с размерностью 2у + 1 (см. ниже, 8 98).
Отсюда сразу следует соотношение ортогональнОсти и н0$1мирОВки г а Р(11 тг а Р(г;~гп а — = б . б б т тг( '' ' ") т тг( '~' ~)8 г 2 Г 1 11бг тгтг тгтг' т, тг (58.20) где дьг = егп,ЗдагЦЙ-~ Далее, справедливы равенства б~'( (г8) = 1~'~, И) (58.14) д~'~ (я) = ( — 1)'т б 11', ( — гг) = ( — 1)' б, д,„', (О) = бп,, При у = 1гг2 они очевидны из (58.8), а их обобщение для про- извольных у очевидно из описанного выше способа построения матрицы преобразования.
Произведем поворот на угол гг — гг как два последовательных поворота на углы гг и — (г: б~'( ( — д) = ~~„ 6 ( )11~'( ( — Р) = ( — 1)' '" б~'~ ( — Ф), гпг или, используя (58.13), д~~, (гг — (3) = ( — 1)1 д~~~ ~,ф). (58.16) 274 гл чш анин Ортогональность функций по индексам т и т' обеспечивается множитслем ехр(г(та+ т'7)). Ортогонвльность жс по индексу 1 связана с функциями д,'~,, для которых имеем бй) ® ( З) ( 3) яп~Ыф 1 2л ~-1 о (58.
21) Наконец, приведем, для справок, выражения функций с1 (Я для некоторых частных значений параметров. При у = 1 имеем (58.22) 1 — — в|п й Л При целом 1 = 1 и т' = О формулы (58.10) и (58,11) дают д~~ (Р) = ( — 1)~д О(Р) = ( — 1)'" 'Р~~(созР). (58.23) Происхождение этой формулы легко проследить из исходного определения (58.7).
Будем относить значения функций ф. в правой части (58.7) к оси з', на которой имеем (при 1' = 1) У1я (П, ) = 4 1( дя О. Г2И 1 1/ (58. 24) Функция же ф в лозой части будет тогда шаровой функцией 1вп(Р', а) от сфеРических Углов У = а, В = Д напРавлсниЯ оси в~. Подставив (58.24) в (58.7), получим (58. 25) что эквивалентно (58.23). 1 — — япй ~'2 1 — (1 — сов Д 2 1 — яппи ~у2 сов,9 1 — (1 — соп Д, 2 1 — яппи, ъ'2 1 — (1 Ь сов~3).
2 159 ЧАСТИЧНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЧАСТИЦ Наконец, приведем выражение функции при наибольшем возможном значении одного из индексов т, т; с 9 59. ь1астичная поляризация частиц Рл=Р1+Рэ=1 (59.1) и удовлетворяющий условию «эрмитовостиь (Р И) — ' Л. (59.2) В случае чистого (т. е. вполне поляризованного) спинового состояния электрона спинор р „сводится к произведению компонент л волновой функции ф : РЛ фЛ (фи) (59.3) Надлежащим выбором направления оси з всегда можно обратить в нуль одну из компонент (например, 1З ) заданного спинора 9л — волновой функции частицы со спином 1/2. Это очевидно уже из того, что направление в пространстве определяется двумя величинами (углами), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
