III.-Квантовая-механика (1109680), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В наиболее общем виде формулировка этих свойств сводится к указанию закона преобразования волновых функций при поворотах системы координат. Неизменной' ) волновая функция гам системы частиц (с заданными значениями могиента ь и его проекции ЛХ) остается лишь при повороте системы координат вокруг оси з. Всякий жс поворот, меняющий направление оси з, приводит к тому, что проекция момента на ось з уже не будет иметь определенного значения.
Это значит, что в новых координатных осях волновая функция превратится, вообще говоря, в суперпозицию (линейную комбинацию) 2Ь+ 1 функций, отвечающих различным возможным (при заданном Ь) значениям ЛХ. Можно сказать, что при поворотах системы координат 2б + 1 функций здгял преобразуются друг через друга') . Закон этого преобразования, т. е. коэффициенты суперпозиции (как функции углов поворота ко- ) С точностью до несущественного фазового множителя.
~) По математической терминологии, зги функции осуществляют собой так называемые ненриводимме представления группы вращений. Число преобразующихся друг через друга функций называют размерностью представления, причем предполагается, что зто число не может быть уменьшено никаким выборолг каких-либо других линейных кол~бинаций этих функций. 250 гл. г«п анин ординатных осей), полностью определяется заданием значения А.
Таким образом, момент приобретает смысл квантового числа, классифицирующего состояния системы по их трансформационным свойствам по отношению к вращениям системы координат. Этот аспект понятия момента в квантовой механике в особенности существен в связи с тем,что он не связан непосредственно с явной зависимостью волновых функций от углов; закон их преобразования друг через друга может быть сформулирован сам по себе, без ссылки на эту зависимость. Рассмотрим сложную частицу (скажекг, атомное ядро), покоящуюся как целое и находящуюся в определенном внутреннем состоянии.
Помимо определенной внутренней энергии она обладает также и определенным по своей величине Е моментом, связанным с движением частиц внутри нее; этот момент может еще иметь 2Ь+ 1 различных ориентаций в пространстве. Другими словами, при рассмотрении движения сложной частицы как целого мы должны, наряду с ее координатами, приписывать ей еще и одну дискретную переменную — проекциго ее внутреннего момента на некоторое избранное направление в пространстве.
Но при указанном выше понимании смысла момента становится несущественным вопрос о его происхождении, и мы приходим естественным образом к представлению о «собственном» моменте, который должен быть приписан частице вне зависимости от того, является ли она «сложной» или «элементарной». Таким образом, в квантовой механике элементарной частице следует приписывать некоторый «собственный» момент, не связанный с ее движением в пространстве.
Это свойство элементарных частиц является специфически квантовым (исчезаннцим при переходе к пределу 6 — э О) и поэтому принципиально не допускает классической интерпретации' ) . Собственный момент частицы называют ее спином, в отличие от момента, связанного с движением частицы в пространстве, о котором говорят как об орбитальном моменте') . Речь может идти при этом как об элементарной частице, так и о частице, хотя и составной, но ведущей себя в том или ином рассматриваемом круге явлений как элементарная (например, об атомном ядре).
Спин частицы (измеренный, как и орбитальный момент, в единицах Гг) будем обозначать буквой з. ) В частности было бы совершенно бессмысленным представлять себе «собственный» момент элементарной частицы как результат ее вращения «вокруг своей оси». з) Физическая идея о наличии у электрона собственного момента была высказана У«габеном и Гоудсмитом (о. ПЫепбесИ, Я. Соиазт«1, 1925). В квантовуш механику спин был введен Паули ( И». Раи1«', 1927). спин Для частиц, обладающих спином, описание состояния с помощью волновой функции должно определять не только вероятности ее различных положений в пространстве, но и вероятности различных возможных ориентаций ее спина. Другими словами, волновая функция должна зависеть не только от трех непрерывных переменных координат частицы, но и от одной дискретной спиноеой переменной, указывающей значение проекции спина на некоторое избранное направление в пространстве (ось г) и пробегающей ограниченное число дискретных значений (которые мы будем обозначать далее буквой о).
Пусть ф(х,у,г;<т) . такая волновая функция. По существу она представляет собой совокупность нескольких различных функций координат, отвечаюгцих различным значениям т; об этих функциях мы будем говорить как о спиновых компонентах волновой функции.
При этом интеграл ~ф(х,у,з;о)~ Л' определяет вероятность частице иметь определенное значение о.. Вероятность же частице находиться в элементе объема 4$', имея произвольное значение и, есть сЛ' ~~ (ф(х, д, лгп)~ . а Квантовомеханический оператор спина при применении его к волновой функции действует именно на спиновую переменную а. Другими словами„он каким-то образом преобразует друг через друга компоненты волновой функции. Вид этого оператора будет установлен ниже. Но, уже исходя из самых общих соображений, легко убедиться в том, что операторы з„ зю з, удовлетворяют таким же условиям коммутации, как и ойераторы орбитального момента.
Оператор момента в основном совпадает с оператором бесконечно малого поворота. При выводе в ~26 выражения для оператора орбитального момента мы рассматривали результат применения операции поворота к функции координат. В случае спинового момента такой вывод теряет смысл, поскольку оператор спина действует на спиновую переменную, .а не на координаты. Поэтому для получения искомых соотношений коммутации мы должны рассматривать операцию бесконечно малого поворота в общем виде, как поворот системы координат. Производя последовательно бесконечно малые повороты вокруг оси х и оси у, а затем вокруг этих же осей в обратном порядке, легко убедиться непосредственным вычислением, что разница между результатами обеих этих операций эквивалентна бесконечно малому 252 спин гл чш ,2 ( +1) (54.
2) где з может быть либо целым числом (включая значение нуль), либо полуцелым. При заданном з компонента и, спина может пробегать значения з, з — 1,..., — з всего 2з + 1 зна ~ений. Соответственно этому; и волновая функция частицы со олином з имеет 2з + 1 компонент ') . Опыт показывает, что болыпинство элементарных частиц электроны, позитроны, протоны, нейтроны, 1г-агсзоны и все 1 ) Поскольку в есть для каждого рода частиц заданное число, то при предельном переходе к классической механике (6 — г О) спиновый момент Ьз обращается в нуль. Для орбитального момента такое рассуждение не имеет смысла, поскольку 1 может иметь произвольные значения.
Переходу к классической механике соответствует одновременное стремление 6 к нулю и 1 к бесконечности, так что производение Я остается конечным. повороту вокруг оси 2 (на угол, равный произведению углов поворота вокруг осей л и у). Мы не станем производить здесь этих простых вычислений, в результате которых вновь получаются обычные соотношения коммутации между операторами компонент момента импульса, которые, следовательно, должны иметь место и для операторов спина: 1зю з,) = гз, 1з„з ) = 1зю 1з„зв) = гв. (54.1) со всеми вытекающими из них физическими следствиями.
Соотношения коммутации (54.1) дают возможность определить возможные значения абсолютной величины и компонент спина. Весь вывод, произведенный в 2 27 (формулы (27.7)— (27.9)), был основан только на соотношениях коммутации и потому полностью применим и здесь; надо только вместо 1 в этих формулах подразумевать в. Из формул (27.7) следует, что собственные значения проекции спина образуют последовательность чисел, отличающихся на единицу. Мы не можем, однако, теперь утверждать, что сами эти значения должны быть целыми, как это имело место для проекции Л, орбитального момента (приведенный в начале ~ 27 вывод здесь неприменим, поскольку он основан на выражении (26.14) для оператора 1„специфическом для орбитального момента).
Далее, последовательность собственных значений з, ограничена сверху и снизу значениями, одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку, которые мы обозначим через жз. Разность 2з между наибольшим и наименьшим значениями з, должна быть целым числом или нулем. Следовательно, число з может иметь значения О, 1/2, 1, 3/2,... Таким образом, собственные значения квадрата спина равны спин гипероны (Л, Е, Е) обладают спином 1»2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
