III.-Квантовая-механика (1109680), страница 40
Текст из файла (страница 40)
46з,Х ) В частности, для одной частицы ((~рг((2к6)~ есть число состояний, приходящихся на интервал йзр значений импульса в единичном объеме пространства. Этим объясняется совпадение двух истолкований нормировки плоской волны (15.8), отмеченное в примеч. на с. 68. Задачи 1.
Определить (приближенно) число дискретных уровней энергии частицы, движущейся в поле ХХ(г), удовлетворяющем условию квазиклассичности. Р е ш е н и е. Число состояний, «приходящихся» на объем фазового пространства, соответствующий импульсам в интервале О < р < р и координатам частицы в элементе объема сг'т', равно (4кг(3)р~ „„ (2к6)з При заданном г частица может обладать (в своем классическом движении) импульсом, удовлетворяющим условию Е = (рзХ2т) -'; ХХ(г) < О. Под—:г о(.» спектра 222 кВАэиклАсснческий случАЙ ГЛ. УП я 49. Квазиклассическое движение в центрально-симметричном поле 41Р дР1 + свКΠ— + 1(1+ 1)Р1 = О. (49.1) Подстановкой Р1(сов О) = х(В) у синд оно приводится к уравнению (49.2) г"-';~(1"; — ) А ., ~г=г. (49.3) не содсржагцему первой производной и по виду аналогичному одномсрному уравнению Шредингера.
Н уравнении (49.3) роль едебройлевской длины волны» иг- рает 1 ) Противоположный случай, пг = й в пределе должен соответствовать движению по классической орбите, лежащей в экваториальной плоскости В = кг12. Действительно, Р1'(соэВ) = сопэе а1п' В; при 1 — 1 сю эта функция (а с нею и ф~ ) стремится к нулю при всех В ф яг12. При движении в центрально-симметричном поле волновая функция частицы распадается, как мы знаем, на угловую и радиальную части.
Рассмотрим сначала первую из них. Зависимость угловой волновой функции от угла 1Р (определяющаяся квантовым числом т) настолько проста, что вопрос о нахождении для нее приближенных формул вообще не возникает. Что же касается зависимости от полярного угла О, то, согласно общему правилу, она квазиклассична, если соответствующее сй квантовое число 1 велико (более точная формулировка этого условия будет дана ниже). Мы ограничимся здесь выводом квазиклассического выражения угловой функции лишь для наиболее важного в применениях случая состояний с равныь1 нулю магнитным квантовым числом (т = О)') . Эта функция совпадает с точностью до постоянного множителя с полиномом Лежандра Р~(совО) (см. (28.8)) и удовлетворяет дифференциальному уравнению кВАзиклАсси еское движение 223 Требование малости производной дЛ/дх (условие (46.6)) приводит к неравенствам 01 » 1, ( .
— 0)1 » 1 (49.4) (условия квазиклассичности угловой части волновой функции). При болыпих 1 эти условия выполняются почти во всем интервале значений 0, за исключением лишь области углов, очень близких к нулю или к я. При выполнении условия (49.4) в (49.3) можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках по сравнению с первым: Х + (1 + ) Х О.
Решение етого уравнения: А=,Агя'А Е=АА ((1 ~-~й~ ~ ИАЕ 15 2 (А, а постоянные). Для углов 0 « 1 в уравнении (49.1) можно положить сааб 0†1/О; заменяя также приближенно 1(1+ 1) на (1+ 1/2), получим уравнение 4гр, 1,~Р,, 1; з + + 1+ — Ц вЂ” О <И2 0 дд ( 2) которое имеет решением функцию Бесселя нулевого порядка И=А((~-~-')~~, ~ «1. ИАЕ Постоянный множитель положен равным единице, так как при 0 = О должно быть Р~ = 1. Приближенное выражение (49.6) для Р~ справедливо при всех углах 0 << 1.
В частности, его ъюжно применить и для углов в области 1/1 « 0 « 1, где оно должно совпадать с выражением (49.5), справедливым при всех О» 1/1. При 01» 1 бесселеву функцию можно заменить ее асимптотическим выражением для больших значений аргумента, и мы получим / — е1Н ~(1 т -)В -г — 1 Р,=~/' (в козффипиенте можно пренебречь 1/2 по сравнению с 1). Сравнивая с (49.5), находим, что А = ° /2/К1, о = я/4.
Таким образом, получаем окончательно следующее выражение для Р~ (сов О), 224 кВАзиклАсси 1вский слу гкй Гл. Уп применимое в квазиклассическом случае '): ,— .1 [(1+ -) В+ — ~ Р~ (сов В) — ~/— ъ'яп 0 (49.7) Нормированная же сферическая функция У)0 получается отсюда в виде (ср. (28.8)) , зги ~ (1 Ь вЂ” ) е Э вЂ” ~ г ~0 я А~в)П д (49.8) Перейдем к радиальной части волновой функции.
В ~ 32 было показано, что функция ~(г) = г1Г(г) удовлетворяет уравнению, тождественному одномерному уравнению Шредингера с потенциальной энергией 17~(г) ~ (г ) + г б 1(1+ П огп „г Поэтому мы можем применить полученные в предыдущих параграфах результаты, понимая под потенциальной энергией функ- ЦиЮ [31(Г). Наиболее прост случай 1 = О. Центробежная энергия отсутствует, и если поле 17(г) удовлетворяет необходимому условию (46.6), то радиальная волновая функция будет квазиклассической во всем пространстве. При г = О должно быть т = О, поэтому квазиклассическая функция )1(г) определяется в соответствии с формулами (47.6). Если же 1 у'= О, то условию (46.6) должна удовлетворять также и центробежная энергия.
В области небольших г, где центробежная энергия порядка величины полной энергии, длина волны Л = 6/р г(1 и условие (46.6) дает 1» 1. Таким образом, если ! невелико, в области неболыпих т условие квазиклассичности нарушается центробежной энергией. Можно легко убедиться в том, что мы получим правильное значение фазы квазиклассичсской волновой функции 1(г), если будем вычислять ее по формулам одномерного движения, заменив в потенциальной энергии Ц(г) коэффициент 1(1 + 1) ) Обратим внимание на то, что именно в результате замены 1(1 -~- 1) на (1+ 1/2)~ мы получили выражение, умножающесся на ( — 1) при замене о на я — 0, как и должно быть для функции Р~(сове).
225 квязиклАсси еское двигкение на (1+ 1 12)2 г) ())(г) = сг(г) +— йг (14 1Д) 2т гг (49.9) Вопрос о применимости квазиклассического приближения к кулонову полю сг' = ша(т требует особого рассмотрения. Из всей области движения наиболее существенна часть, соответствующая расстояниям г, при которых ~Ц )Е~, т.е.
г стгг~Е~. Условие квазиклассичности движения в этой области сводится к требованию малости длины волны А 6/.'2г~~Е~ по сравнению с размерами а(~Е~ области; это дает )Е~ << (49. 10) т.е. абсолютное значение энергии должно быть мало по срав- нению с энергией частицы на первой боровской орбите. Усло- вие (49.10) можно написать также и в виде — »1, йо (49. 11) где п ДЕДж скорость частицы.
Обратим внимание на, то, что это условие обратно условию (45.7) применимости теории возмущений к кулонову полю. Что касается области малых расстояний (~б'(г)~ >> Е), то в кулоновом поле отталкивания она вообще не представляет интереса, поскольку при сг' > Е квазиклассические волновые функции затухают экспоненциально. В поле же притяжения при малых 1 возможно проникновение гастицы в область, где (Г)» (Е), так что возникает вопрос о границах применимости здесь квазиклассического приближения.
Воспользуемся общим условием (46.7), положив в нем 4(1 о г то Е = — — = — —,, р м 2т~Г~ ~)' —. Ыг г г В результате найдем, что область применимости квазиклассического приближения ограничивается расстояниями г » 6 /пгсг, (49.12) т. е. расстояниями, болыпими по сравнению с «радиусом» первой боровской орбиты. ') Так, в простейшем случае свободного движения (СГ = 0) фаза функции, вычисленной по формуле (48.1) с 15 из (49.9), при больших г совпадает, как и следовало, с фазой функции (33.12). 226 кВАзиклАссичвский слу 1АЙ Гл. уп Задача Определить поведение волновой функции вблизи начала координат, если при т — 1 О поле обращается в бесконечность, как ха1'г' с э ) 2. Р е щ е н и е.
При достаточно малых г длина волны 6 6г'12 л ъ'т)с' угто так что аЛ 6 .,21 — г' <«1; 21г угта таким образом выполняется условие квазиклассичности. В поле притяжения Ц вЂ” 1 — сю при г — 1 О. Область вблизи начала координат в этом случае классически доступна н радиальная волновая функция у 11' гр, откуда уэ г' 1 В поле отталкивания область малых г классически недоступна. В этом случае волновая функция при г — 1 О экспоненциально стремится к нулю. Опуская множитель при экспоненциальной функции, имеем 1 Р 2У22та О, г — ц) 212 ехр( — — р21г~ или 212 ехр — г 6) ) 1г — 2) 6 о й 50.
Прохождение через потенциальный барьер Рассмотрим движение частицы в поле типа, изображенного на рис. 13, характеризующегося наличием потенцггального барьера, участка, в котором потенциальная энергия Г(х) превьппает волнух> энергию Е частицы.
В классической механике потенциальный барьер непрони111х) цаем для частицы; в кванто- и вой же механике частица может, 1 11 Ш с отличной от нуля вероятностью, пройти «сквозь барьер> 1об этом явлении говорят также,как о туннельном эффекте) ') . Если Рис. 13 поле с11х) удовлетворяет услови- ям кввзиклассичности, то коэффициент прохождения через барьер может быть вычислен в общем виде. Заметим, что эти условия приводят, в частности, к тому, что барьер должен быть широким и потому коэффициент прохождения в квазиклассическом случае мал. Чтобы не прерывать дальнейших вычислений, решим предварительно следующую задачу. Пусть квазиклассическая волновая функция в области справа от точки поворота х = Ь 1где ) Примеры такого рода угкс рассматривались в задачах 2 и 4 к з 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
