III.-Квантовая-механика (1109680), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Члены порядка 6~ в уравнении (46.4) дают оосгз + (1/2) о [ + (1,12)о 4' — — О, откуда (подставляя (46.5) и (46.8) для оо и о1) р рЛ Зр~ з 4р« Яр« Интегрируя (причем первый член интегрируется по частям) и вводя силу Г = рр'/т, получим тр т 1Г 4р« з / р~ Волновая функция в рассматриваемом приближении имеет вид дф = ехР[(г/Б)о) = ехР[(г/б)оп + о1[(1 — глаз) или 1 — —., — —, дх схр — рдх . (46.11) Появление мнимых поправочных членов в предэкспоненциальном множителе эквивалентно появлению вещественной поправки в фазе волновой функции (т.е. добавки к интегралу 212 кВАЗиклАссичвский случАЙ ГЛ.
1'И 1 — ) рох в ее экспоненте). Эта поправка оказывается пропорциоа нальной б, т. е. имеющей порядок величины Л,1Ь. Второй и третий члены в квадратной скобке в (46.1Ц должны быть малы по сравнению с 1. Для первого из них это условие совпадает с (46.7), но во втором оценка интеграла приводит к условию (46.7), лишь если Е2 достаточно быстро стреь|ится к нулю на расстояниях ь. й 47. Граничные условия в квазиклассическом случае Пусть х = а есть точка поворота (так что 77(а) = Е), и пусть 77 > Е при всех х > а, так что область справа от точки поворота классически недоступна.
Волновая функция должна затухать в глубь этой области. В достаточном удалении от точки поворота она имеет вид 1)1 = ехр — — / р11л при т, > а, (47.1) с 7 2уЯ ( а / а соответствующий первому члену в (46.10). Слева же от точки поворота волновая функция должна изображаться вещественной комбинацией (46.9) двух квазиклассических рс1пений уравнений Шредингера; ~ф = — ехр( — ~ рг1т~ + — ехр — — 1 рдх при х < а.
(47.2) л (, l ) л (, / Для определения коэффициентов в этой комбинации надо проследить за изменением волновой функции от положительных х — а (где справедливо выражение (47.1)) к отрицательным л — а. При этом, однако, приходится пройти через область вблизи точки остановки, где квазиклассическое приближение неприменимо и необходимо рассматривать точное решение уравнения Шредингера. При малых ~т — а,~ имеем Š— 77(х) = Ео(х — а), Ео = — — ( О; а111 (47.3) 11Л а=а другими словами, в этой области мы имеем дело с задачей о движении в постоянном поле. Точное решение уравнения Шредингера для этой задачи было найдено в ~24, и связь между коэффициентами в (47.1) и (47.2) может быть найдена сравнением с асимптотическими выражениями (24.5) и (24.6) указанного 347 ГРАНИ (НЫЕ УСЛОВИЯ В КВАЗИКЛАССИ !ЕСКОМ СЛУЧАЕ 213 точного решения по обе стороны от точки поворота.
При этом ° (оз) а Г()=У2 Р( — ), что интеграл 1 2 — рс(дн = — у'2тГ~(х — а) ) 3 2 6 '' 36 а совпадает с выражением в аргументе ехр или ейп в 124.5) или 124.6). В этих рассуждениях существенно, что область применимости разложения 147.3) и область квазиклассичности частично перекрываются: если движение квазиклассично почти во всей области поля 1что и предполагается), то существук>т значения (х — а~ настолько малые, что допустимо разложение 147.3), и в то жс время настолько большие, что удовлетворяется условие квазиклассичности и применимы асимптотики 124.5), 124.6) ') .
Методически более поучителен, однако, другой способ, позволяющий вообще избежать необходимости прибегать к точному решению. Для этого надо рассматривать формально ф(х) как функцию комплексного переменного х и произвести переход от положительных к отрицательным х — а, по пути, целиком расположенному вдали от точки х = а, так что на всем этом пути формально удовлетворяется условие квазиклассичности 1А. 7ллаап, 1929). При этом снова рассматриваем такие значения (х — а~, для которых в то же время допустимо разложение 147.3), так что волновая функция 147.1) принимает вид х Ф()=,... ««1-- ( 2 ~(Р(( - )з) (ИА) 2(2ш)Ре ) 7 (х — а) 7 ~ 6 ( а Проследим сначала за изменением этой функции при обходе вокруг точки х = а справа налево по полуокружности (радиуса р) в верхней полуплоскости комплексного х.
На этой полуок жности ру т — и = ре"', / ьух — ас)х = — р (сое — + тяп — ~, 2 372 )' 3(с .. З~~'~ 3 А 2 2) а причем фаза ()о меняется от О до н. При этом экспоненциальный множитель в 147.4) сначала 1при О < (р < 2н,(3) возрастает по ') Действительно, разложение (47.3) применимо при (х — а~ << 6, Где 6— характерное расстояние изменения поля 77(х). Условие же квазиклассичности (46.7) требует (х — а в~~ >> 6/уГш~К~.
Оба зти условия совместны, поскольку квазиклассичность движения вдали от точки поворота (т. е. при (х — а( ь) означает, что ь ) » 67УГш)те). 214 КВАЗИКЛАССИ 1ВСКИЙ СЛУ 1АЙ Гл. Уп модулю, а затем падает по модулю до 1. В конце перехода пока- затель экспоненты становится чисто мнимым, равным — — 2гп~Ео~(и — х) Йх = — — р(х) 41х. а а В предэкспоненциальном же множителе в (47.4) в результате обхода (, ) — 4/4» ( — 174 — 4»74 Таким образом, вся функция (47.4) переходит во второй член в (47.2) с коэффициентом Сз = (1/2)Се »х74.
Тот факт, что путем обхода через верхнюю полуплоскость оказалось возможным определить лишь коэффициент Сз в (47.2), имеет простое объяснение. Если проследить за изк»енением функции (47.2) при обходе по той же полуокружности в обратном направлении (слева направо), то мы увидим, что в начале обхода первый член быстро становится экспоненциально малым по сравнению со вторым. Но квазиклассическое приближение нс дает возможности заметить экспоненциально малые члены в у1 «на фоне» большого основного члена, что и является причиной «потери первого члена в (47.2) при произведенном обходе. Для определения же коэффициента С1 надо произвести обход справа налево по полуокружности в нижней полуплоскости комплексного т,. Аналогичным образом найдем, что при этом функция (47.4) переходит в первый член в (47.2) с коэффициентом С1 = (1,12)Се»"7~. Таким образом, волновой функции (47.1) при х > а соответствует при л ( и функция х у1 = — сов — рот+†а Полученное правило соответствия можно записать в виде, не зависящем от того, с какой именно стороны от точки поворота лежит классически недоступная область (47.
5) ехр — — р дх — ~ — соз — р дн —— а а при б'(х) > Е при 1Г(х) < Е (г7. А. Кгап»егэ, 1926). пРАВилО кВАнтОВАния БОРА — ЗОммеРФельдА Подчеркнем лишний раз очевидное из вывода обстоятельство, что это правило связано с определенным граничным условием, поставленным с одной из сторон от точки поворота, и в этом смысле должно применяться лишь в определенном направлении. Именно, правило (47.5) получено при граничном условии ф — ~ О в глубь классически недоступной области и должно применяться для перехода от последней к классически разрешенной области (как и указано в (47.5) стрелкой) ') . Если классически доступная область ограничена (при х = а,) бесконечно высокой потенциальной стенкой, то граничное условие для волновой функции при х = о, есть ф = О (см.
218). Квазиклассическос приближение при этом применимо вплоть до самой стенки и волновая функция гд = — в(п — рдх а гЬ = О при хоп, при х>а. й 48. Правило квантования Бора — Зоммерфельда Состояния, относящиеся к дискретному спектру энергии, квазиклассичны при больших значениях квантового числа п порядкового номера состояния. Действительно, это число определяет число узлов собственной функции (см. 2 21). Но расстояние между соседними узлагии совпадает по порядку величины с дебройлевской длиной волны.
При болыпих п это расстояние мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения. Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное одномерное движение частицы в потенциальной яме; классически доступная область 5 < х < а ограничена двумя точками поворота') . Т = 2 / — = 2т /— (е — скорость частицы). ) Переход же в обратном направлении теряет смысл в том отношении, что уже небольшое изменение волновой функции справа в (47.5) может привести к появлению зкспоненциально возрастающего члена в функции слева. ~) В классической механике в таком поле частица совершала бы периодическое движение с периодом (время движения от точки Ь до а и обратно) 216 кВАЗиклАссичвский слу 1АЙ Гл.
нп у1 = — соз — рдх —— ь (48.1) Применив это жс правило к области слева от точки х = а, полу- чим ту же волновую функцию в виде а уь = — сов — рах —— х Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть целым кратным от л". 1' к — 1 рдх — — = пк л/ 2 ь (причем С = ( — 1)" С'). Отсюда 1 1 2Л6 рах = и+ —, 2 148.2) где интеграл урдх = 21 рдх взят по полному периоду клась сического движения частицы. Это и есть условие, определяющее в квазиклассическом случае стационарныс состояния частицы. Оно соответствует правилу квантования Бора — Зоммерфельда старой квантовой теории 1 Величина 1 = — у рдх называется адиабатическим инвори- 2К антом (см. 1, 249), так что условие квантования (48.2) можно записать как 1(Е) = 6(п + 1/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
