III.-Квантовая-механика (1109680), страница 41
Текст из файла (страница 41)
227 Ьбе пРохожденне чеРез потенциАльный БАРьеР бг(х) < Е) имеет вид бегущей волны: (50.1) гь = — ехр — рс~х+— ь Требуется найти волновую функцию этого же состояния в области х < Ь. Сделаем это тем же способом обхода в плоскости комплексного х, который был применен в З 47. Положив Š— бг(х) Ео(х — Ь), Ео ) О, напишем функцию (50.1) в виде ф(х) = ..., ехр — (2тЕ0) ~ / ъ'х — Ьдх+ — 1 и произведем в ней обход справа налево по полуокружности в верхней полуплоскости: 2 272/ . З«г . Зт'~ х — Ь = ре'" г А/х — ЬЙх = — р ' ~ — Б1п — +гсов — ~, / 3», 2 2 (' ь причем фаза сс меняется от 0 до тг. В течение обхода функция гд(х) сначала убывает, а затем возрастает по модулю, становясь в конце обхода равной 6 1».
Таким образом, находим следующее правило соответствия ): — ехр — р дх + — — ь ехр — р г)х . (50.2) ь ь х)Ь х< 5 ) При обходе же справа налево через нижнюю полуплоскость функция ф(т) сначала возрастает, а затем убывает по модулю, превращаясь на левой полуоси (бг †» — я)в зкспоненциально малую величину, сохранение которой «на фоне» зкспоненциально большой функции (60.2) было бы незаконным. На том участке обхода, где »Ь(т) зкспоненциально вслико,из-за неточности квазиклассического приближения теряется зкспоненциально малая добавка, которая при ~д — » — я могла бы превратиться в зкспоненциально болыпой член, тем самым тоже теряющийся.
228 КВАЗИКЛАССИ ВСКИЙ СЛУ 1АЙ Гл. нп Подчеркнем, что это правило предполагает определенный вид волновой функции (бегугцая направо волна) в классически разрешенной области и должно применяться именно для перехода от последней к классически недоступной области.
Вернемся теперь к вычислению коэффициента прохождения через потенциальный барьер. Пусть частица падает на барьер из области 1 слева направо. Тогда в области 111 позади барьера будет иметься лишь прошедшая через барьер волна, распространяю|пелся вправо; волновую функцию в этой области напишем в виде 4 = — ехр — рот,+— (50.3) ь где и = р/т †скорос частиц, а Р --плотность потока в волне.
По правилу (50.2) находим теперь волновую функцию в области 11 внутри барьера; ь ь х — ехр — р йх = — ехр — р дт — — р йл (50.4) ь а 'г' = 2 — ехр — ~р~ дх сов — рдх —— а х Эта функция, если положить в ней ь Р = ехр — — ~р~ Ит а (50.5) принимает вид х в' = — сов — рот+в а 1'~ Йг~ 1 ( г Г га~ = — ехр~ — ( рГкт+ — ) + — ехр~ — — ) рскт — — ) . ~а/ 4) НГН ~ 6/ 4) а а Наконец, применив правило (47.5), получим в области 1 перед барьером: 229 збО ПРОХО1КДЕНИЕ 1ЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Первый член в ней (сводящийся при х — э — со к плоской волне у) егйх(") описывает падающую на барьер волну, а второй - отраженную волну.
Выбранная нормировка отвечает равной единице плотности потока в падающей волне, а потому величина Р плотность потока в прошедшей волне совпадает с искомым коэффициентом прохождения через барьер. Подчеркнем, что эта формула применима лишь, если показатель экспоненты велик, так что само Р мало') . До сих пор предполагалось, что поле бг(х) удовлетворяет условию квазиклассичности на всем протяжении барьера (за исключением только непосредственной окрестности точек поворота). Фактически же часто приходится иметь дело с барьерами, в которых кривая потенциальной энергии с одной из сторон идет настолько круто, что квазиклассическое приближение неприменимо. Основной экспонснциальный множитель в Р остается здесь тем же, что и в формуле (50,5), но прсдэкспоненциальный множитель (равный в (50.5) единице) меняется. Для его вычисления необходимо в принципе вычислить точную волновую функцию в неквазиклассической области и по соответствию с ней определить квазиклассическую волновую функцию внутри барьера.
Задачи 1. Определить коэффициент прохождения через потенциальный барьер, изображенный на рис. 14: У(х) = О при х < О, У(х) = (уе — Ех при х > 0; вычислить только зкспоненциальный множитель. Р е ш е н и е. Простое вычисление приводит к результату В ехр [- (Со — Е) У ]- ЗйЕ 2. Определить вероятность выхода частицы (с равным нулю моментом) из центрально-симметричной потенциальной ямы: С(г) = — Се при т < го, У(г) =- О/г при г > ге (рис.
15) з) . Р е ш е н и е. Центрально-симметричная задача сводится к одномерной, так что можно применять полученные выше формулы. Имеем ) С экспонснцнальпой малостью Ю связан и тот факт, что амплитуды падающей и отраженной волн в области 1 оказались одинаковыми; экспоненциально малая разница между ними в квазиклассическом приближении теряется. ) Эта задача впервые рассматривалась Г.хэ. ромовым (1928) и Герни и Кондоном (11. И'.
Сигпеу, Е. К Сопйоп, 1929) в связи с теорией радиоактивного О-распада. 350 пРОХОбкдение чеРез пОтенциАльный БАРьеР В области ямы 1 функция бЛ( — т) исчезающе мала по сравнению с фс(е), а в яме 11 — наоборот. Поэтому произведение фс(х)б)бс( — л) исчезающе мало везде, и функции (1) нормированы так, что равны единице интегралы от их квадратов по ямам 1 н 1Е Пишем уравнения Шредингера Фсл+ — (Ео — У)бро = О, йг 2т фб' -1- — (Еб — У)убб = О, йг Умножаем пеРвое на б)бб, втоРое на б)бс, вычитаем почленно и интегРиРУем по б1х в пределах от 0 до со.
Имея в виду,что при х .= 0 йб = ч'2б)бс, б)бб — — 0 и что -Л 1 1 г 1 бРоб)бб б1я = — / Фо б х = находим йз Еб — Ес = — — б)бс(0)б)бс(0) бп Аналогичным образом находим для Ез — Ес такое же выражение с обратным знаком. Таким образом, 2й~ Ез — Еб = — б)бо(0)Фо(0). т С помощью формулы (47.Ц с коэффициентом С из (48.3) находим, что б)бс(0) = ехр( — — / )р) б1х 1 б)бо(0) = "б)бс(0), 2яес бб й У / гб о тбР гбб .г б шй бб 1 Еэ — Еб = — ' ехр ( — — / ~р~ Нх) (, йl (о — точка поворота, отвечающая энергии Ес — см.
рис, 16). 4. Опрсдслить точнос значение коэффициента прохождения Ю (не предполагая его малым) через параболический потенциальный барьер У(и) = — йх~/2 (Е. С. КетИе, 1933) ') . Р с ш е н и с. При любых значениях к и Е движение квазиклассично на достаточно больпбих расстояниях ~л~, где Гт 1 р= (Е+-й* ~ =* ~ -Е ~- 2 и асимптотический вид решения уравнения Шредингера есть б~б = сопзз б *' 1 ехр(~ц,б2), ) Рсшенис этой задачи можно применить также к прохождению в достаточной близости к вершине любого барьера У(х), квадратично зависящего от х вблизи своего максимума.
232 кВАзиклАссичвский случАЙ ГЛ. УП где введены обозначения Нас ингересует решение, которое при х -э -~-оо содержит лишь прошедшую через барьер волну, т. е. распространяющуюся слева направо. Положим Е = В(" 1 ехр(гб )2) при х — э со, % 1р = (-.б) " 2 ехр( — ц /2) + А( — б)" ~ ехря,12) при т — 1 — со. (2) Первый член в (2) представляет собой падающую, а второй — отраженную волну (направлением распространения волны является то, в котором возрастает ее фаза). Связь между А и В может быть найдена, исходя из того, что асимптотическое выражение л1 справедливо во всей достаточно удаленной области плоскости комплексного переменного б. Проследим за изменением функции (1) при обходе вдоль полуокружности болыпого радиуса р в верхней полуплоскости б: б = ре*т, Ц = р ( — з1п21р+гсоэ21р), причем д меняется от 0 до я.
В результате обхода функция (1) переходит во второй член в (2) с коэффициентом А =- В(е* )" '1 = — 1Ве Р) на участке пути (х/2 < 1р < к), где модуль ~ехрЯ~/2) экспоненциально велик, теряется экспоненциально малая величина, которая должна была бы дать первый член в (2) Прн выбранной в (2) нормировке падающей волны условие сохранения числа частиц имеет вид (А)~ + )В~~ =- 1.
(4) Из (3) и (4) находим искомый коэффициент прохождения Р= ~В~'=1Д1+е '"). Эта формула справедлива при любых Е. Если энергия отрицательна н велика по абсолютной величине, получаем Р е ' ~" в согласии с формулой (50.5). При Е > 0 величина В = 1 — Р = 1Д1 + е~ ') есть коэффициент надбарьерного отражения. й 51. Вычисление квазиклассических матричных элементов Непосредственное вычисление матричных элементов како1ллибо физической величины у с помощью квазиклассических волновых функций представляет болыпие трудности. Мы предполагаем, что энергии состояний, для перехода между которыми ) Обход же через нижнюю полуплоскость для определения А был бы непригоден, так как на участке пути ( — х < 1р < — я/2), примыкающем к его левому краю (где 1р дается формулой (2)), член с ехр(Ц~,12) экспоненциально мал по сравнению с членом с ехр( — гб~/2).
Вы 1исление кАзик.лАссических элементОВ 233 у11Я2 11х. 151.1) Согласно (47.5) волновая функция у11 в областях по обе стороны от точки поворота х = а1 (в достаточном удалении от нее) имеет вид х У11 = ЕХР— — Р1 11Х Х1 С, /1Г у11 = СО — 1 р1 аХ вЂ”вЂ” =,у,— ~л / ° ( Х1 при х ( а1, (51 2) при х > а1 и аналогично для фз (с заменой индекса 1 индексом 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
