III.-Квантовая-механика (1109680), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(52.1) Если положение «точки перехода» неоднозначно, должно быть выбрано то из них, для которого показатель в (52.1) имеет наименьшее по абсолютной величине значение (в то же время, разумеется, это значение должно быть достаточно велико для того, чтобы формула (52.1) была вообще применима) ') . Формула (52.1) находится в соответствии с полученным в предыдущем параграфе правилом вычисления квазиклассических матричных элементов. Следует, однако, подчеркнуть, что вычисление предэкспоненциального коэффициента в вероятности такого рода переходов по квадрату соответствующего матричного элемента было бы неправильным.
Основанный на формуле (52.1) метод комплексных классических траекторий имеет общий характер и применим к переходам в системах с лгобым числом степеней свободы (Л. Д. Линдау, 1 ) Если потенциальная энергия системы сама имеет особые точки, то эти точки тоже должны входить в число конкурирующих значений ое. 240 КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУ 1АЙ Гл. Уп 1932). Если точка перехода вещественна, но лежит в классически недоступной области, то (в простейшем случае одномерного движения) формула (52.1) совпадает с выражением (50.5) для вероятности прохождения через потенциальный барьер.
Надбарьерное отражение. Применим (52.1) к одномерной задаче о надбарьерном отражении отражению частицы с энергией, превосходящей высоту барьера. В этом случае под 119 надо понимать комплексную координату то «точки остановки», в которой частица. меняет направление своего движения на обратное, т.е.
комплексный корень уравнения бт(х) = Е. Покажем, каким образом в этом случае можно вычислить коэффициент отражения также и с большей точностью вместе с прсдэкспоненциальным коэффициентом. Мы снова (как и в 950) должны установить соответствие между волновыми функциями далеко справа (прошедп1ая волна) и далеко слева от барьера (падающая + отраженная волны). Это легко сделать способом, аналогичным примененному уже в 9 47, 50, рассматривая «11 как функцию комплексной переменной пх Напишем прошедшук1 волну в виде х 1 1, 41, = — ехр — / рс1х р ~й/ Х1 (где х1 какая-либо точка на вещественной оси) и проследим за ее изменением при обходе в верхней полуплоскости по пути С, огибающему (на достаточном удалении) точку поворота хо (рис.
19); последняя часть этого пути должна проходить целиком в настолько удаленной влево области, чтобы вдоль нее погрешность приближенной (квазибк 0 классической) волновой функции падающей волны была меньше искомой малой величины 91 . Обход точки то приводит к изменеРис. 19 ,Я:О~с возвращении на вещественную ось фУнкЦиЯ фт пеРейДет, слеДовательно, в волнУ «11, РаспРостРаняющуюся влево, т. е.
в отраженную волну') .Поскольку амплитуды падающей и прошедшей волн можно считать совпадающими, искомый коэффициент отражения Л определится просто ') Обход же по пути, проходящему под точкой хс (например, просто вдоль самой вещественной оси), псРеведет фУнкцию фт в падающчю волнУ. з 62 ВеРОятнОсть пеРехОДА В кВАзиклАссическОм случАе 241 как отношение квадратов модулей ф и 6 А (52. 2) с После того, как эта формула получена, можно любым образом деформировать путь интегрирования в экспоненте; если превратить его в указанный на рис. 19 путь С', то интеграл сведется к удвоенному интегралу по пути от х1 до хв и мы получим яе )ь = е ~ ~~п*е)7~, сг(х1, хо) = 1ш р(х) дх; (52.3) Х1 поскольку на всей вещественной оси функция р(х) вещественна, то выбор х1 несуществен') .
Обратим внимание на то, что предэкспоненциальный множитель в (52.3) оказывается равным единице (В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич, 1958) ') . Как уже указывалось, из всех возможных значений хв должно быть выбрано то, для которого показатель в (52.3) имеет наименьшее по абсолютной величине значение, причем это значение должно еще быть достаточно большим по сравнению с единицей. (Разумеется, должны рассматриваться лишь точки хв, для которых в ) О, т.е, точки, лежащие в верхней полуплоскости.) Подразумевается также, что если сама потенциальная энергия 17(х) имеет особые точки в верхней полуплоскости, то для них интеграл а(х1, хо) имеет бблыпие значения з) . В противном случае именно такая точка определит значение показателя, но предэкспоненциальный коэффициент будет уже не тем, что в (52.3).
Последнее условие заведомо нарушается при увеличении энергии Е, если 17(х) обращается в бесконечность где-либо 1 ) В некоторых случаях интересны не только амплитудные, но и фазовые соотношония меж,чу падающей и отраженной волнами. Эти соотношения характеризуются амплитудой отражения, выражающейся через введенные в 1 26 коэффициенты О и 6. с помощью проведенных выше рассуждений легко показать, в частности, что амплитуда отражения падающей слева волны 1Множитель 1 — 1) связан с изменением фазы предзкспоненциального множителя при обходе точки ветвления, ср.
147.) ) Изложенный вывод этого результата принадлежит Л. Д. Ландау 11961). ) Отметим, что контур С на рис. 19 должен проходить ниже особых точек функции О'1х). 242 КВАЗИКЛАССИ 1ВСКИЙ СЛУ 1АЙ Гл. Уп в верхней полуплоскости: наступает момент, когда точка хе, в которой Ег = Е, настолько сближается с точкой х, в которой 5г = оо, что обе дают сравнимый вклад в коэффициент отраже- ниЯ (интегРал с(х, о, ха) 1) и фоРмУла (52.3) становитсЯ непРименимой. В предельном случае, когда Е настолько велико, что указанный интеграл клал по сравнению с единицей, становится применимой теория возмущений (см.
задачу 2) ') . Задачи 1. В квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью определить вероятность распада дейтрона при столкновении с тяжелым ядром, рассматриваемым как неподвижный центр кулонова поля (Е. М. Лифшиц, 1939). Р е ш е н и е. Наибольший вклад в вероятность реакции вносят столкновения с нулевым орбитальным моментом. В квазиклассическол« приближении это — «лобовь»е» столкновения, в которых движение частиц сводится к одномерному. Пусть Š— энергия дейтрона,измеренная в единицах е — энергии связи протона и нейтрона в нем; Е„ и Ер — энергии освободившихся нейтрона и протона (в тех жс единицах).
Введем также бсзрамерную координату 9 = г11(Яе~/е) (Уе†заряд ядра), а ее значение (вообще говоря, комплексное) в «точке перехода»,т.е. в «момент распада» дейтрона,обозначим через цс. Представим Е„, Ер., Е в виде Е,. =- и„!2, Ер —— - ир(2-~-1/да, Е =. иэ т 1Гдо,' и, ир, ия — «скорости» частиц в момент распада, измеренные в единицах уй/т (ш — масса нуклона): и вещественна и совпадает со скоростью освободившегося нейтрона, а ир и иэ комплексны. Условия сохранения энергии и импульса в точке перехода дают (2) Ер+ Е„= Š— 1, ив+ и„= 2иш откуда ир — — 2« + и„, иа = 1 + и„, 1/до = Е + 1 — и„ + 2ги .
э Действие системы до перехода отвечает движению дейтрона в поле ядра до точки распада; его мнимая часть «о 1ш Яг =- Яе — 1ш ~ 4 ( Š— — ( Йх = = Ее — 1ш»(йдои« вЂ” Агой У»доЕ)~. (3) ')) е УЕ После перехода действие отвечает движению нейтрона и протона от точки ) Промежуточный случай рассмотрен В. Л. Покровским и И. М. Халатниковым (ЖЭТФ.
1961. Т. 40. С. 1713). 3 52 ВеРОятнОсть пеРехОдА В кВАзиклАссическОм О,пучАе 243 распада: ш Чо =- Яе — 1ш — с„до — г до -Р 1 — АРСЬ |ГгдеЕ (4) ')( е ) ~ЕР Р Согласно (52.1) вероятность процесса 2 — 11 ш ехр — 11п АРСЬ у'доЕР— АРСЬ уГдеЕ . (5) Ы'. УРЕ В соответствии с происхождением первого и второго АРСЬ в квадратных скобках из выражений (4) и (3) знаки их мнимых частей должны совпадать со знаками соответственно 1ш ср и 1ш сз (знаки же последних в решении уравнений (2) выбраны так, чтобы в результате получилось 1ш (о1-РЯэ) > 0).
В виду экспоненциального характера зависимости ш от Е суммарная вероятность распада (со всеми значениями Е„и Ер —— — Š— 1 — Е„) определяется минимальным 1по абсолютной величине) значением показателя экспоненты как функции от Е„. Анализ показывает, что это значение достигается при ń— э О. При этом де = 1ДЕ -~- 1) и из (5) находим ш ехр — — агссоз — агссоэ Условие применимости этой форлгулы состоит в большой (по сравнению с единицей) величине показателя экспоненты.
Вычислив мнимую часть действия Я = Яг + Яз при отличных от нуля значениях Е„, можно найти распределение освобождающихся частиц по энергиям. Вблизи значения Е = 0 имеем ) 1пз Б(Е„) — 1п| Я(0) Е„( ) ЙЕ /е е Вычисление производной приводит к результату: йЕ„) 6 ~) е ~(Š— 1ИЕ ' 1)~ %е — ~ де~~~~ 2. Определить коэффициент надбарьерного отражения при таких энергиях частицы, когда применима теория возмущений. Р е ш е н н е получается по формуле (43.1), в которой начальная и конечная волновые функции — плоские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях и нормированные соответственно на единичную ') При Е„= 0 функция 1ш Я1Е„) имеет угловую точку, от которой возрастает в обе стороны — положительных и отрицательных Е„(значения Е, < 0 отвечали бы захвату нейтрона ядром).
244 КВАЗНКЛАССН 1ВСКИЙ СЛУ 1АЙ гл. Уп плотность потока и на б-функцию импульса, деленного на 2яб. При этом 11и = 11р'112тгь где р' — импульс после отражения. Произведя в (43.1) интегрирование по Ыр (с учетом наличия б-функции), получим ~г г А я =- ™ / с'(х)емг*~~ и'х, '. ьг г (1) Эта формула справедлива, если выполняется условие применимости теории возмущений: Па/йс « 1, где а — ширина барьера (см. примеч. на с. 205), и в то же время рагг11 < 1. Последнее условие обеспечивает неэкспоненцяальный характер зависимости Л)р); в противном случае вопрос о применимости формулы (1) требует дальнейшего исследования. 3. Определить коэффициент надбарьерного отражения от квазиклассического барьера в случае, когда функция с'(х) при х = хо имеет излом.
Р е ш е н и е. Если функция с'(х) имеет какую-либо особенность при вещественном х, коэффициент отражения определяется в основном полем вблизи этой точки и для его вычисления можно формально применить теорию возмущений, не требуя при этом соблюдения условия ее применимости при всех х: достаточно выполнения условия квазиклассичности. Мы приходим тогда к формуле 11) задачи 2 с той лишь разницей, что вместо импульса падающей частицы в ней должно стоять значение функции р(х) при х = хс. Выбирая в данном случае точку ишгома в качестве точки х = О, илгсем вблизи нее: 11 = — Ргх при х > О, 1Г = Ггх при х < 0 с различными Б и Гг. Интегрирование по дх производится путем введения в подынтегральноо выражение затухающего множителя с * (после чего полагаем Л вЂ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
