III.-Квантовая-механика (1109680), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Кроме того, существуют элементарные частицы л-мезоны и К-мезоны, обладающие спином О. Полный момент импульса частицы складывается из ее орбитального момента 1 и спина в. Их операторы, действуя на функции совершенно различных переменных, разумеется, коммутативны друг с другом. Собственные значения полного момента (54.3) определяются тем же правилом «векторной модели;,что и сумма орбитальных моментов двух различных частиц (3 31). Именно, при заданных значениях 1 и а полный момент может иметь значения 1+ з,1+ а — 1,..., ~1 — а~. Так, у электрона (спин 1»»2) с отличным от нуля орбитальным моментом 1 полный момент может быть равен у = 1 ~ 1,12; при 1 = 0 момент у имеет, конечно, лишь одно значение » = 1»2.
Оператор полного момента Л системы частиц равен сумме операторов моментов Л каждой из них, так что его значения определяются снова правилами векторной модели. Момент Л можно представить в виде Л=1,+Я, 1,= ,'» 1„Я=~» в„(54.4) а а где Я можно назвать полным олином, а 1 — полным орбитальным моментом системы. Отметим, что если полный спин системы полуцелый (или целый), то то же самое будет иметь место и для полного момента, поскольку орбитальный момент всегда целый. В частности, если система состоит из четного числа одинаковых частиц, то ее полный спин во всяком случае целый, а потому будет целым и полный момент. Операторы полного момента частицы 3 (или системы частиц Л) удовлетворяя»т тем же правилам коммутации, что и операторы орбитального момента или спина, поскольку эти правила являются вообще общими правилами коммутации, справедливыми для всякого момента импульса.
Следующие из правил коммутации формулы (27.13) для матричных элементов момента тоже справедливы для всякого момента, если матричные элементы определять по отношению к собственным функциям этого же момента. Остаются справедливыми (с соответствующим изменением обозначений) также и формулы (29.7) — (29.10) для матричных элементов произвольных векторных величин. 254 гл сш спин Задача с1астица со олином 1/2 находится в состоянии с определенным значением з, = 1/2.
Определить вероятности возможных значений проекции спина на ось х', наклоненную под углом 9 к оси а Р е пз е н и е. Средний вектор спина и направлен, очевидно, по оси х и равен по ве.чичине 1/2.Проецируя его на ось з',найдем,что среднее значение спина в направлении з' есть в, = (1/2) сов 9. С другой стороны, имеем з; = (1/2)(ю.~ — ю ), где ют — вероятности значений в, .= х1/2. Учитывая такгке, что ют + 1г = 1, найдем ют = спев(9/2), ю = вгп (9/2).
я 55. Оператор спина Ниже, в этой главе, мы нс будем интересоваться зависимостью волновых функций от координат. Говоря, например, о поведении функций г9(х, р, лба) при повороте системы координат, можно подразумевать, что частица находится в начале координат, так что ее координаты при таком повороте останутся неизменными и полученные результаты будут характерны именно для поведения функции гр в зависимости от спиновой переменной сг. Переменная сг отличается от обычных переменных (координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного опсратора, действующего на функции от дискретной переменной о, запишем в виде (55.1) где (' . постоянные; заключив Я в скобки, мы тем самым хотим подчеркнуть, что следующий далее спиновый аргумент относится уже не к начальной функции ф, а к функции, возникшей под действием оператора ~.
Легко видеть, что величины 1 совпадают с матричными элементами оператора, определенными по обычному правилу (11.5) ') . Интегрирование по координатам в (11.5) заменяется теперь суммированием по дискретной переменной, так что определение матричного элемента принимает вид ~..., = ~~.*,( )~Й-,( )). (55.2) о ') Обратим внимание на то, что при этом индексы у матричных элементов в правой части (бб.1) записаны в последовательности, в известном смысле обратной обычной последовательности в (11.11).
555 ОПЕРАТОР СПИНА Здесь т)т,(тт) и т)т,(тт) - собственные функции оператора з,, отвечающие собственным значениям з, = п1 и з, = тт2, каждая такая функция отвечает состоянию, в котором частица обладает определенным значением з„т. е. из всех компонент волновой функции отлична от нуля лишь одна'): 4а,(О) = бааш от,(тт) = 6аа, (55.3) Согласно (55.1) имеем (Мат)(тт) ~ Хпт'ттьс т (тт ) ~ 1аа'ба'ат Лга', а' и после подстановки, вместе с ту,(ст), в (55.2) последнее равенство удовлетворяется автоматически, чем и доказывается сделанное утверждение. Таким образом, операторы, действующие на функции от тт, могут быть представлены в виде (2з + 1)-рядных матриц. Это относится, в частности, к оператору самого спина, действие которого на волновую функцию выражается, согласно (55.1), формулой 1вф)(о.) = ~~т в т))1о.'). (55.4) Согласно сказанномУ выше (конец 254) матРицы з, зу, в, сов- падают с полученными в 2 27 матрицами Х,, Ху, Х„в которых надо лишь заменить буквы Ь и ЛХ буквами з и и: 1 (аа)а,а — 1 — (Ча)а — 1,а— 2 (ау)аа — 1 — (Зу)а — 1,а— 2 (55.5) (зт)ас — с".
Тем самым мы определили оператор спина. В важнейшем случае спина 1/2 (з = 1 т2, ~т = ~1/2) зти матрицы двухрядны. Их записывают в виде 1- в= -и., 2 (55.6) ) Более точно надо было бы писать: т)т т (а) = т(л, у, з)д,; в (55.3) опущены несущественные в данной связи координатные множители. Подчеркнем лишний раз необходимость отличать заданное собственное значение ат (ат или аз) от независимой переменной а! Именно с зтим связано различие записей (11.11) и (55.1).
256 гл сш спин где ') а ° = (1 0) пи= (г 0) а = (О 1). 155.7) Матрицы 155.7) называют матрицами Паули. Матрица в, = —" 2 диагональна, как и должно быть для матрицы, определенной по собственным функциям самой величины л,') . Отметим некоторые специфические свойства матриц Паули. Непосредственно перемножая матрицы 155.7), получим равенства -2 -2 -2 1 е е (55.8) ауа, = 4а, а,а = 4аю а„ау — — 4а,. Комбинируя их с общими правилами коммутации 154.1), найдем, что аеаь + аьа, = 2бпч 155.9) т.с. матрицы Паули антикоммутативны. С помощью этих равенств легко убедиться в справедливости следующих полезных формул: а = 3, 1аа)1аЬ) = аЬ+ за)аЬ), 155.10) где а и Ь вЂ” два произвольных вектора') .
В силу этих соотношений всякое скалярное полиномиальное выражение, составленное из матриц йб сводится к не зависящим от а членам и членам первой степени по а; отсюда следует, что всякая вообще скалярная функция оператора а сводится к линейной функции 1сы, задачу 1). Наконец, отметим значения следов 1сумм диагональных компонент) матриц Паули и их произведений; Яр о., = О, Яр сггсгь = 251ь. 155.1Ц ) В записи матриц в виде 155.7) строки и столбцы нумеруются значениями щ причем номер строки соответствует первому, а номер столбца— второму индексу матричного элемента. В данном случае эти номера пробегают значения +1/2, — 1/2. Действие оператора, согласно 155.4), означает перемножение и-й строки матрицы с компонентами волновой функции, расположенными в столбик (~~( — 1,12)) ' ) Обозначение проекции спина и матриц Паули одинаковой буквой не может повлечь недоразуменения: матрицы Паули снабжены крышечкой над буквой.
з) Не зависящие от и члены в правых частях равенств 155.8) — 155.10) надо, конечно, понимать как константы, умноженные на единичную двухрядную матрипу. 257 366 ОПЕРАТОР СПИНА Подробному изучению спиновых свойств волновых функций, в том числе их поведения при произвольных вращениях системы координат, посвящены следующие параграфы этой главы. Но уже здесь сразу же отметим важное свойство этих функций поведение относительно поворотов вокруг оси ю Произведем бесконечно малый поворот на угол Бсз вокруг оси е. Оператор такого поворота выражается с помощью оператора момента (в данном случае -- спина) в виде 1+ гбссз . Поэтому в результате поворота функции ~)~(п) перейдут в ф(п) + оф1сг), где бф(а) = гйрз,Д(п) = йоши(сг)йр.
Переписав это соотношение в виде дф/йр = Ыф(п) и интегрируя, находим, что при повороте на конечный угол сз функции гд1гг) перейдут в функции (55.12) ф(сг) = ф(о.)е' ". В частности, при повороте на угол 2н они умножаются на множитель ез ', одинаковый для всех а и равный ( — 1)2' (число 2а всегда имеет ту же четность, что и 2з). Таким образом, при полнолю повороте системы координат вокруг оси е волновые функции частицы с целым спином возвращаются к своему первоначальному значению, а волновые функции частиц с полуцелым спином меняют свой знак. Задачи 1. Свести произвольную функцию линейного по матрицам Паули скаляра а -~- Ьо к линейной функции. Р е ш е н и с. Для определения коэффициентов в искомой формуле 1(а + Ьа) .= А + Ва замечаем, что при выборе оси х вдоль направления Ь собственные значения оператора а 4- Ьо равны а х Ь, а соответствующно собственные значения оператора Па+ Ьп) равны 1(а х Ь).
Отсюда находим А = — )~(а-Р 6) + Да — Ь)), В = — бг(а+ Ь) — 1(е. — 6)). 1 Ъ 2' 2Ь 2. Определить значения скалярного произведения в1вз спииов (1/2) двух частиц в состояниях, в которых суммарный спин системы Б = В1 + Вз имеет определенные значения (О или 1).
Р е ш е н и с. По общей формуле (31.3), справедливой при сложении любых двух моментов, найдем вгвз =- 174 при Я = 1, агав = — 3/4 при Я = О. 3. Какие степени оператора в произвольного спина в являются независимыми? Р е ш е н и е. Оператор (з, — е)(з, — е + Ц ... (в, Е з), составленный из разностей з, и всех возможных собственных значений е„ дает нуль при воздействии на любую волновую функцию, а потому сам 258 спин гл чп1 я 56. Спиноры При равном нулю спине волновая функция имеет всего одну компоненту: ф(6). При воздействии оператора спина она обращается в нуль: вф = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
