III.-Квантовая-механика (1109680), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

число имеющихся в нашем распоряжении параметров как раз равно числу величин (веще- в ствснная и мнимая части комплексного уЗ ), которые мы хотим обратить в нуль. Физически это значит, что если частица со спином 1/2 (будем говорить для определенности об электроне) находится в состоянии, описываемом некоторой спиновой волновой функцией, то существует такое направление в пространстве, вдоль которого проекция спина частицы имеет определенное значение а = 1/2. Можно сказать, что в таком состоянии электрон полностью наллризован.

Существуют, однако, и такие состояния электрона, которые можно назвать частично поляризованнызли. Эти состояния описываются не волновыми функциями, а лишь матрицами плотности, т.е. они являются смешанными (по спину) состояниями (см. 914). Спиновая (или иоляризационная) матрица плотности электрона представляет собой спинор второго ранга РЛ", нормированный условием 276 анин гл гш Диагональные компоненты матрицы плотности определяют вероятности значений +1/2 и — 1/2 проекции спина электрона на ось ж Поэтому среднее значение этой проекции =21Р1 Р2) или, учитывая (59.1), 159.4) В чистом состоянии среднее значение величин в = в т гээ вычисляется как — ~л*-,),л — ~л*-, ~л Так как согласно (55.6) и (55.7), операторы а1 выражаются матрицами й+=(О О) в-=(1 О) то находим — ) 1~~2 — ~2~~ 1 Соответственно в смешанном состоянии будет Р2=9- Р1=ээ" (59.5) С помощью матриц Паули формулы 159.4) и (59.5) могут быть записаны совместно в виде р~р — — — (5~„+ 2й~„й).

(59.6) р = 2(э + 3„ + 3,) 1 есть величина, которую можно назвать степенью поляризации электрона. Таким образом, все компоненты поляризационной матрицы плотности электрона выражаются через средние значения компонент его вектора спина. Другими словами, вещественный вектор Б полностью определяет свойства поляризации частицы со спином 1/2. В предельном случае полной поляризации одна из компонент этого вектора (при соответствующем выборе направления осей) равна 1/2, а две другие нулю. В обратном случае неполяризованного состояния все три компоненты равны нулю.

В общем же случае произвольной частичной поляризации и произвольном выборе системы координат имеет место неравенство 0 < р < 1, где 360 ОЕРАщение времени и теОРемА кРАмеРОА Для частицы с произвольным спином в матрица плотности есть спинор рЛ"" ранга 4в, симметричный по первым 2в и по последним 2э индексам и удовлетворяющий условиям л~ .. (59.7) (Р и . ) — Рр л (59. 8) Для подсчета числа независимых компонент матрицы плотности замечаем, что среди возможных наборов значений индексов Л, д,... (или индексов р, щ...

) имеется лишь 2я + 1 су1цественно различных. учитывая также, что компоненты спинора рлр" связаны одним соотношением (59.7), найдекц что число различных компонент равно (2н + 1)2 — 1 = 4н(н+ 1). Хотя эти компоненты являются комплексными величинами, но в силу соотношений (59.8) это обстоятельство не у.величивает общего числа независимых величин, характеризующих состояние частичной поляризации частицы и равного, таким образом, 4в(в+ 1) ') .

Для сравнения укажем, что состояние полной поляризации частицы описывается всего 4н величинами (2э+1 комплексных компонент волновой функции ф~" ", связанных одним условием нормировки и содержащих одну несущественную для описания состояния обшую фазу). Как и всякий спинор ранга 4пч спинор рлн" эквивалентен совокупности неприводимых тензоров рангов 4э,4а — 2,...,0. В данном случае имеется всего по одному тензору каждого из этих рангов, поскольку в силу свойств симметрии спинора р ""' каждое его упрощение может происходить лишь одним способом по одному (любому) из индексов Л,р,... и одному из р,о,... Кроме того, скаляр (тензор ранга О) вообще отсутствует, сводясь в силу условия (59.7) к единице.

3 60. Обращение времени и теорема Крамерса Симметрия движения по отношению к изменению знака времени в квантовой механике выражается в том, что если уу есть волновая функция некоторого стационарного состояния системы, то и «обращенная по времени» волновая функция (обозначим ее через асар) описывает некоторое возможное состояние с ) Задание этих величин эквивалентно заданию средних значений компонент вектора в и всех их степеней и произведений по 2, 3,..., 2в, которые не сводятся к еще более низким степеням (см. задачу 3 з 36). 278 гл.

гш анин той же энергией. В конце 8 18 было указано, что ц)ооР совпадает с комплексно сопряженной функцией гг'. В таком простом виде это утверждение относится к волновым функциям без учета спина частиц. При наличии спина оно требует уточнения. Представим волновую функцию частицы со спином э в виде контравариантного спинора ц)А"" (ранга 2в). При переходе к комплексно сопряженным функциям гр ""'* мы получим, однако, совокупность величин,преобразуюп1ихся как компоненты ковариантного спинора. Поэтому операции обращения времени соответствует переход от волновой функции ф "" к новой волновой функции, ковариантные компоненты которой определяются согласно (60.1) При заданной совокупности значений индексов Л, )т,... компоненты ко- и контравариантных спиноров соответствуют отличающимся по знаку значениям проекции момента.

Поэтому в терминах функций ф, обращению времени соответствует переход от ф, к ц),, как и должно было быть, поскольку изменение знака времени меняет направление момента. Точное соответствие устанавливается согласно (60.1): Ф,". = Ф,*.( — 1)' (60.2) Другими словами, замена ц), — + гр,*, требуемая операцией обращения времени, означает замену ') (60.3) Феа ~ "тВв,— о( 1) При двукратном повторении этой операции имеем ( 1)е — о ~ ~ 1)е — о( 1)етв ц) ( 1)2е Таким образом, двукратное обращение времени возвращает волновую функцию к исходному значению лишь при целом спине, а при полуцелом спине оно меняет знак волновой функции. Рассмотрим произвольную систему взаимодействующих частиц. Орбитальный и спиновый моменты такой системы, каждый в отдельности, при учете релятивистских взаимодействий, вообще говоря, не сохраняются.

Сохраняется лишь полный момент Л. Ксли никакого внешнего поля нет, то каждый уровень энергии системы (2) + 1) кратно вырожден. При включении внешнего поля это вырождение, вообще говоря, снимается. Возникает вопрос о том, может ли вырождение быть снятым полностью, т. е. так, ') Обратим внимание на соответствие правила комплексного сопряжения сферической функции, согласно (28.9), с общим правилом (60.3). 560 ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ТЕОРЕМА КРАМЕРСА чтобы система имела только простые уровни.

Этот вопрос тесно связан с симметрией по отно1пению к обращению времени. В классической электродинамике имеет место инвариант- ность уравнений по отношению к изменению знака времени, если при этом оставить неизменным электрическое поле и из- менить знак магнитного поля') . Это фундаментальное свойство движения должно сохраняться и в квантовой механике. Поэтому симметрия по отношению к обращению времени имеет место не только для замкнутой системы, но и во всяком внешнем элек- трическом поле (при отсутствии магнитного поля). Волновые функции системы представляют собой спиноры 6 ""', ранг п которых равен удвоенной сумме спинов всех частиц (и = 22; аа); эта сУмма может не совпаДать с полным спином Я системы. Согласно сказанному выше мы можем утверждать, что в произвольном электрическом поле волновая функция и обращенная к ней по времени функция должны соответствовать состояниям с одинаковой энергией.

Для того чтобы уровень был невырожденным, во всяком случае необходимо, чтобы эти со- стояния были тождественными, т. е. соответствующие волновые функции должны совпадать с точностью до постоянного мно- жителя. При этом, конечно, обе должны быть выражены в виде одинаковых 1ко- или контравариантных) спиноров. Напишем фА Р— — Сфх„, или, согласно (60.1), Ю'""'* = СЮ „, (60.4) где С вЂ” постоянная. Взяв комплексно сопряженное от обеих час- тей этого равенства, получим Ф"и- = С*Ф,* ЛИ....

Опустим индексы в левой части равенства, соответственно под- няв их в правой. Это значит, что мы умножаем обе части равен- ства на К АКЕ„, и суммируем по индексам Л,1А,...; при этом в правой части надо воспользоваться тем, что к Х К ( 1 ) а К ~ о К И Д В результате получим Фл„= С*( — 1)"ФА""'*. Подставив фА""'* из 160.4), найдем ~~.1и... = ( — 1) СС у Аи.... ) См. 11, 6 17; см. также замечание в конце 6 111. 280 гл гш анин Это равенство должно выполняться тождественно, т. е.

должно быть ( — 1)" СС* = 1. Но поскольку ~С~э во всяком случае положительно, то ясно, что это возможно лишь при четном п (т. е. при целочисленном значении суммы 2, в,). При нечетном п (при полуцелом значении 2 ' вв) ') условие (60.4) нс может выполняться. Таким образом, мы приходим к результату, что электрическое поле может полностью снять вырождение только у системы с целочисленным значением суммы спинов частиц. У системы с полуцелой суммой спинов в произвольном электрическом поле все уровни должны быть двукратно вырождены, причем двум различным состояниям с одинаковой энергией соответствуют комплексно сопряженные спиноры') (Н. А.

Кгатегв, 1930). Сделаем еще одно замечание математического характера. Соотношение вида (60.4) с вещественной постоянной С представляет собой, с математической точки зрения, условие того, чтобы компонентам спинора можно было поставить в соответствие набор каких-либо вещественных величин; такое условие можно назвать условием «вещественности» спинора') . Невозможность выполнения соотношения (60.4) при нечетном п означает, что никакому спинору нечетного ранга не может быть сопоставлена вещественная величина. Напротив, при четном и условие 160.4) может выполняться, причем С может быть вещественной.

В частности, симметричному спинору второго ранга может быть приведен в соответствие веьцественный вектор, если выполняется условие (60.4) с С = 1: (в чем легко убедиться с помощью формул (57.8), (57.9)). Вообще, условие (60.4) с С = 1 является условием «вещественности» симметричного спинора любого четного ранга.

Характеристики

Список файлов книги