III.-Квантовая-механика (1109680), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Поэтому уравнению Шредингера удовлетворяет в действительности каждая из компонент волновой функции; другими словами, волновая функция системы частиц может быть написана в виде произведения Ф(с1~ с2) Х(О1~ П2~ )1О(Г1~ Г2~ )~ где функция сэ зависит только от координат частиц, а функция Х только от их спинов; о первой будем говорйть как о координатной или орбитальной, а о второй как о спиновой волновой функции. Уравнение Шредингера определяет по существу только координатную функцию сэ, оставляя функцию Х произвольной. Во всех случаях, когда сам спин частиц нас не интересует, можно, следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая в качестве волновой функции одну только координатную функцию, что и делалось в предыду1цих главах.

Однако оказывается, что, несмотря на указанную независимость электрического взаимодействия частиц от их спина, существует своеобразная зависимость энергии системы от ее полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа неразличимости одинаковых частиц.

Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одинаковых частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная или антисимметричная координатная волновая функция р(г1, г2). Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а с ним и уравнение Шредингера) системы инвариантен по отношению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены, то при перестановке координат г1 и г2 функция д(г1, г2) может ) Это справедливо лишь постольку, поскольку речь идет о нерелятивистском приближении. При учете релятивистских эффектов взаимодействие заряженных частиц оказывается зависящим от спина.

286 Гл. 1Х тО1кдеотвеннООч'ь частиц измениться только на постоянный множитель; производя же перестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть равен только щ1') . Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль. Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и волновая функция сводится к одной лишь координатной функции р(тыгг), которая должна быть симметричной (поскольку частицы со спином нуль подчиняются статистике Бозе). Таким образом, не все из уровней энергии, получающихся при формальном решении уравнения Шредингера, могут в действительности осуществляться; те из них, которым соответствуют антисимметричные функции со, для рассматриваемой системы невозможны. Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна операции инверсии системы координат (начало которой выбрано посередине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны, в результате инверсии волновая функция ьс должна умножиться на ( — 1)', где 1 орбитальный момент относительного движения обеих частиц (см.

з 30). Сопоставляя эти соображения со сказанным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одинаковых частиц со спином нуль может обладать только четным орбитальным моментом. Далее, пусть система состоит из двух частиц со олином 1/2 (скажем, электронов). Тогда полная волновая функция системы (т.е, произведение функции у(гмго) и спиновой функции ~(сгм Оз)) должна быть непременно антисимметричной по отношению к перестановке обеих частиц. Поэтому при симметричной координатной функции спиновая функция должна быть анти- симметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т.е.

в виде спинора второго ранга 1~А", каждый из индексов которого соответствует спину одного из электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соответствует симметричный спинор (Х " = у" ), а антисимметричной — антисимметричный спинор (;1 " = — у" ). Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным олином, а антисимметричный спинор сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину.

Таким образом, мы приходим к следующему результату. Тс уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения у(гп го) уравнения Шредингера, могут фактически осуществ- ') При наличии же вырождения можно всегда выбрать такие линейные комбинации функций, относящихся к данному уровню, которые тоже удовлетворяют атому условию. 287 З62 ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ляться при равном нулю полном спине системы, т. е. когда спины обоих электронов еантипараллельнызз давая в сумме нуль.

Значения же энергии, связанные с антисимметричными функциями р(гы гз), требуют равного единице полного спина, т. е, спины обоих электронов должны быть «параллельнымиж Другими словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным.

Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (как и самый спин) при предельном переходе к классической механике. Для разобранного нами случая системы двух электронов характерно следующее обстоятельство. Каждому уровню энергии соответствует одно определенное значение полного спина: 0 или 1. Такое однозначное соответствие значений спина уровням энергии сохраняется, как мы увидим ниже 16 63), и в системах из произвольного числа электронов.

Оно, однако, не имеет места для систем, состоящих из частиц со спином, превышающим 1/2. Рассмотрим систему из двух частиц с произвольным спином в. Ее спиновая волновая функция есть спинор ранга 4ж м 2 Л'и" Я ", половина (2В) индексов которого соответствует спину одной, а другая половина —.

спину другой частицы. По индексам каждой из этих групп индексов спинор симметричен. Перестановке обеих частиц соответствует перестановка всех индексов Л,1А,... первой группы с индексами р,о,... второй группы. Для того чтобы получить спиновую функцию состояния системы с полным спином О, надо упростить этот спинор по 2 — 5 парам индексов (каждая пара содержит один индекс нз Л„и,... и один из р, и,... ) и симметризовать по остальным; в результате получится симметричный спинор ранга 2О.

Но, как мы знаем, упрощение спинора по паре индексов означает составление комбинации, антисимметричной по этим индексам. Поэтому при перестановке частиц спиновая волновая функция умножится на ( — 1) ' ~. С другой стороны, полная волновая функция системы двух частиц при их перестановке должна умножаться на ( — 1) ' (т. е.

на +1 при целом В и на — 1 при полуцелом). Отсюда следует, что симметрия координатной волновой функции по отношению к перестановке частиц определяется множителем ( — 1), зависящим 3 только от О'. 288 ГЛ. 1Х тождественность чьстиц Таким образом, мы приходим к результату, что координатная волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине. Вспоминая сказанное выше о связи между перестановкой частиц и инверсией системы координат, заключаем также, что при четном (нечетном) спине Я система может обладать только четным (нечетным) орбитальным моментом.

Мы видим, что и здесь обнаруживается некоторая зависимость между возможными значениями энергии системы и полным спиноьл, но эта зависимость не вполне однозначна. Уровни энергии, которым соответствуя>т симгиетричные (антисимметричные) координатные волновые функции, могут осугцествляться при всех четных (нечетных) значениях 5. Подсчитаем, сколько имеется всего различных состояний системы двух частиц с четными и нечетными значениями Я. Величина Я пробегает 2а + 1 значений: 2а, 2з — 1,..., О. Для каждого данного Я имеется 2Я + 1 состояний, отличающихся значением е-компоненты спина (всего (2а+ Ц~ различных состояний).

Пусть а — целое. Тогда среди 2а+ 1 значений Я есть а+ 1 четных и з нечетных. Полное число состояний с четными Я равно сумме (25+ Ц = (2а+ Ц(а+ Ц; остальные а(2з + Ц состояний обладают нечетными Я. Подобным же образом найдем, что при полуцелом з имеется з(2з + Ц состояний с четными и (з+ Ц(2з+ Ц с нечетными значениями 5. Задачи А.

Определить обменное расщепление уровней энергии системы двух электронов, взаимодействие электронов рассматривается как возмущение. Р е ю е н и е. Пусть частицы находятся (без учета их взаимодействия) в состояниях с орбитальными волновая функциями ~р~(Г1) и <рг(гг). Состояниям системы с полным спином Я .=- О и Я = 1 отвечают соответственно симметризованное и антисимметризованное произведения: 1 э = )э 1(Г1)фэ(Г2) ~ э 1(Г2)~Р2(гг)). чГ2 Средние значения оператора взаимодействия частиц о(гз — гг) в этих состояниях равны А х э', где // 1у~~еэ(Г1) ~Р2(гз)~ е 1 е 2 г = О (1Эе~(г )Эе~ (ге)дг(ге)р~(г ) Лэ Лг (интеграл,7 называют обменным).

Характеристики

Список файлов книги