III.-Квантовая-механика (1109680), страница 56
Текст из файла (страница 56)
возвращает ее к исходному значению. Непосредственное перемножение матриц (64.6) и (64.7) действительно показывает, что а;"а; изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными Аг,: ата, = Агн (64.9) Аналогичным образом найдем аа, =Аг,+1. 164. 10) ') Введено естественное обозначение а(п) для результата воздействия оператора а иа волновую функцию состояния ~н).
Можно сказать, что оператор а, уменьшает на единицу число частиц, находящихся в 4-м состоянии; его называют поэтому оператором уничтоэкения частиц. Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть 302 гл. ~х ТО1КДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ Разность этих выражений дает правило коммутации между операторами а,и ай: а;а~ — а+а; = 1. (64.11) Операторы же с различными индексами 4 и й, действующие на различные переменные (Х, и Хь), коммутативны: а,аь — ал,а, = О, а,а~~ — а~~а; = О, г ф й.
(64.12) Исходя из описанных свойств операторов ап а,', легко видеть, что оператор РП = ~,)'( )а' аь (64.13) ьь совпадает с оператором (64.1). Действительно, все матричные элементы, вычисленные с помощью (64.6), (64.7), совпадают с элементами (64.2) и (64.4). Этот результат очень важен. В формуле (64.13) величины у;ь -- просто числа. Таким образом, нам Ф удалось выразить обычный оператор, действующий на функции координат, в виде оператора, действующего на функции новых переменных чисел заполнения Х;. Полученный результат легко обобщается и на операторы другого вида. Пусть г-(2) ~ ~— ~ ~~2) (64.14) где 1 оператор физической величины, относящейся сразу к паре частиц и поэтому действующей на функции от ~, и см Аналогичные вычисления покажут, что такой оператор может быть выражен через операторы а,, а; посредством Г~ ~ = — ~ (4И~~~~~~!та)а, ата,„ап (64.15) Ьйдго (гас~~~ ~~1гп) = ф,*ффь((2)~~ ь42(с1)1г (42)д(1с142.
Обобщение этих формул на симметричные по всем частицам операторы любого другого вида (Р(' ' = 2; 1" и т. д.) очевидно. С помощью этих формул люжно выразить через операторы а„а,.' также и гамильтониан исследуемой физической системы из Х взаимодействующих одинаковых частиц. Гамильтониан такой системы, разумеется, симметричен по всем частицам. В нерслятивистском приближении') он не зависит от спинов ) В отсутствие иагнитиого поля.
З64 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ зоз частиц и может быть представлен в общем виде следующим образом: Й=') й~о+') 1169(г.,гЬ)+ ~ 11ЬЗ)(г.,г,,г,)+... (64.16) а а>Ь а>Ь>с Здесь Й есть часть гамильтониана, зависящая от координат Ж только одной (а-й) частицы: Й~о = — — А, + Г~П(г ). (64.
17) где Ьг'г г(г,) потенциальная энергия одной частицы во внепь нем поле. Остальные члены в (64.16) отвечают энергии взаимодействия частиц друг с другом, причем отделены друг от друга члены, зависящие соответственно от координат двух, трех и т, д. частиц.
Представление гамильтониана в такой форме позволяет непосредственно применить формулы (64.13), (64.15) и аналогичные им. Таким образом, Й = ~ Н~.~а~аь+ — ~ (Я~11( ~~НН)а, аььа,аа~... (64.18) го в г,Айаг Этим осуществляется искомое выражение гамильтониана в виде оператора, действующего на функции от чисел заполнения.
Для системы невзаимодсйствующих частиц в выражении (64.18) остается только первый член; Й = ~~ нь~а~аь (64.19) г,ь Если в катестве функций Щ выбраны собственные функции га- П) мильтониана Й отдельной частицы, то матрица Н, диагональна и ее диагональные элементы — собственные значения энергии частицы е,. Таким образом, Й = ~~~ е,а~а,; заменяя оператор атаг его собственными значениями (64.9), по- лучим для уровней энергии системы выражение Е=~Е,М, г .— тривиальный результат, который и должен был получиться.
304 ТОгКДЕС'1'ВЕННООТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. 1Х Развитый здесь аппарат можно представить в более компактном виде, введя так называемые г)г-операторы ') ф(() = ~ г)11(с)а1, гд (4) = 2 г)г (г)а,.', г г (64.20) где переменные ~ рассматриваются как параметры. В силу сказанного выше об операторах а„а~ ясно, что оператор гд умень- П!аЕТ, а "т' УВСЛИЧИВаЕТ ПОЛНОЕ ЧИСЛО ЧаСТИЦ В СИСТЕМЕ На СДИницу. ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧтО ОПЕРатОР 1)гт(~Е) СОЗДаЕт ЧаСтИЦУ, НаХОДЯ- щуюся в точке ~е.
Действительно, в результате действия оператора а, создается частица в состоянии с волновой функцией ф, ®. Отсюда следует, что в результате воздействия оператора г)11(фе) создается частица в состоянии с волновой функцией ~ФИ)Ф Ке) = 5К вЂ” 10) (использована формула (5.12), что и соответствует частице с определенными значениями координат и спина') ). Правила коммутации г)г-операторов получаются непосред- СтВЕННО ИЗ ПРаВИЛ КОММУтаЦИИ ОПЕРатОРОВ О,г а,г: Р(1) ~Т (~) ~~1) ~(Д) 1( (64.23) (здесь подразумевается, что оператор уг ) действует в ф(~) на функции параметров ~). Действительно, подставив сюда гд и г)гт в виде (64.20) и используя определение (64.3), вернемся ) Обратим вниманис на аналогию между выражением (64.20) и разложением га =- 2 а,г)г, произвольной волновой функции по некоторой полной системе функций.
Здесь оно как бы снова квантуетси, откуда и происходит название всего метода в вторичное квантование. г)б(4 — ба) обозначасг условно произведение Йт — ла)б(р уа)б(л — ла)б а. Вторично-квантованный оператор Р ) напишется с помощью ф-операторов в виде 366 Гл. 1Х тождественность чАстиц Волновая функция 1)А1,1уз имеет теперь вид (61.5). В связи с антисимметричностью этой функции прежде всего возникает вопрос о выборе се знака. В случае статистики Бозе этого вопроса не было, так как, ввиду симметричности волновой функции, раз выбранный ее знак сохранялся при всех перестановках частиц.
Для того чтобы сделать знак функции (61.5) определенным, условимся устанавливать его следующим образом. Перенумеруем раз и навсегда все состояния 1о; последовательными номерами. После этого будем заполнять строки определителя (61.5) всегда таким образом, чтобы было Р1 < Рг < Рз « ... Рл, (65.1) причем в столбцах стоят функции различных переменных в последовательности с1, ~з,..., ~т. Среди чисел р1, рэ,... не может быть равных, так как в противном случае определитель обратится в нуль.
Другими словами, числа заполнения Х, могут иметь только значения О или 1. 1 Рассмотрим снова оператор вида (64.1): г'11) = 2 у, . По тем же причинам, что и в 364, его матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения всех чисел заполнения и для переходов, при которых одно из них (Х,) уменыпается на единицу (становясь равным нулю вместо единицы), а другое (Хь) увеличивается на единицу (переходит из нуля в единицу). Легко найти, что при 1 < Й (1 ОЕ~Р4Ц~О 1ь) = ~~ ( 1)Т-.О~~'~ ') (65.2) Здесь символами О;, 1; обозначены значения Х1 = О, Х, = 1, а символом 2 ()с,1) - сумма чисел заполнения всех состояний от а-го до 1-го '): ~(),1) = ~Л„.
и=-й Для диагональных же элементов получается прежняя формула (64.4) Р11) = ~У,~,"Л,. (65.3) Для того чтобы оператор Г11) мог быть представлен в форме (64.13), операторы а1 должны определяться как матрицы ) При з > й в показателе в (65.2) надо писать 2 (1с е 1, 1 — 1). При ю = 1с л 1 зти суммы надо заменять нулями. 5 65 ВтОРи'гнОе кВАнтОВАние слу гАЙ ОТАтистики ФеРми 307 с элементами: (0,(а1(11) = (11!а,+.!0,) = ( — 1)5-(цг (65.4) Перемножив эти матрицы, найдем (при е. ) 1) (1„0ь/а; аь!0„1ь) = (1„0Е!а,. !ОгзОЕ)(0;,Ое!ае/01,1ь) = ( 1)А,(1,г — 1)( 1)А,'(1,г — !)-~-А,(г-~-1,Š— 1) или (1;,Ог~атаь~0„1ь) = ( — 1)~('~~~ 1).
(65.5) Если же 4 = гс, то матрица ата; диагональна, причем ее элементы равны единице при Х; = 1 и нулю при Х, = 0, :это можно (1;,Ое~аьа,.'(Ом 1ь) = (1„0е(ае(10 1ь)(1;, 1ь(а~)0;,1А) = ( 1) А,'(1,г — 1)-~-А,'(г-ь1,1г — 1)+А,(1,г — 0-1-1 (1г ОЬ/ОЬа. ~Ог 11г) = ( 1)г'( ' ) (65 7) Сравнив (65.7) с (65.5), мы видим, что зти величины противоположны по знаку, так что атаь + ива+ = О, 4 у'= Е Для диагональной матрицы а,а~ найдем аа; =1 — Х,. (65.8) Сложив с (65.6), получим а аТ+ата = 1 г Оба полученных равенства можно написать вместе в виде — — + айаг + аг.
аг = бгв. (65.9) Произведя аналогичные вычисления, получим для произведений а;, аь соотношения (6 . 0) а1ае+ аьа1 = 0 (65.10 (в чаСтнОСти, О;а1 = 0). написат1 в виде (65.6) При подстановке этих выражений в (64.13) мы действительно получим (65.2), (65.3). Перемножая а,+., ае в обратном порядке, будем иметь 308 ГЛ.
1Х тождеотвеннООть чАстнц Таким образом, мы видим, что операторы а, и аь (или а~~) с 4 ф й оказываются антикоммутативными, между тем как в случае статистики Бозе они коммутировали друг с другом. Это различие вполне естественно. В случае статистики Бозе операторы а; и О,ь были соверпгенно независимыми; каждый из операторов а; действовал только на одну переменную Х;, причем результат воздействия нс зависел от значений остальных чисел заполнения.
В случае же статистики Ферми результат воздействия оператора а, зависит не только от сае|ого числа Х„ но и от чисел заполнения всех предыдущих состояний, как это видно из определения (65.4). Поэтому действие различных операторов а;, аь не может рассматриваться как независимое. После того как свойства операторов а,, а,. таким образом определены, все остальные формулы (64.13).-(64.18) остаются полностью в силе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
