III.-Квантовая-механика (1109680), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Продолжая этот процесс, мы придем к функции, сначала симметризованной по переменныъ1 каждой строки, а затем альтернированной по переменным каждого столбца (разумеется, после альтернирования функция, вообще говоря, перестает быть симметричной по переменным каждой строки; симметричность сохраняется ли1пь по отноп1ению к переменным, находящимся в клетках первой строки, выступающих за остальные строки).
Распределяя Х переменных различным образом по строкам схемы Юнга (распределение по клеткам каждой строки 293 СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ несущественно), мы получим таким способом ряд функций, которые при произвольной перестановке переменных преобразуются друг через друга ') . Необходимо, однако, подчеркнуть, что не все эти функции линейно независимы; число независимых функций, вообще говоря, меньше числа возможных распределений переменных по строкам схемы; мы не станем останавливаться здесь на этом подробнее').
Таким образом, каждая юнговская схема определяет некоторый тип симметрии функций по отношению к перестановкам. Составляя все возможные (для данного Х) юнговские схемы, мы найдем все возможные типы симметрии. Это сводится к разбиению числа Х всеми возможными способами на сумму нескольких меныпих слагаемых, причем в число возможных разбиений включается также и само число Х (так, для Х = 4 возможны разбиения: 4, 3+ 1, 2+ 2, 2+ 1 + 1, 1+ 1+ 1 + 1).
Каждому уровню энергии системы можно привести в соответствие некоторую юнговскую схему, определяющую перестановочную симметрию соответствующих решений уравнения Шредингера; при этом каждому значению энергии соответствует, вообще говоря, несколько различных функций, при перестановках преобразующихся друг через друга.
Наличие этого «перестановочного вырождеиияа связано с упоминавшейся уже некоммутативностью операторов Р, каждый из которых коммутативен с гамильтонианом (ср. 210, с. 48). Подчеркнем, однако, что оно не означает наличия какого-либо дополнительного физического вырождения уровней энергии. Все эти различные координатные волновые функции, умноженные на спиновые функции, входят в одну определенную комбинацию-- полную волновую функцию, удовлетворяюп1ую (в зависимости от спина частиц) условию симметричности или антисимметричности.
Среди различных типов симметрии всегда существует (при данном Х) два, которым соответствуют всего по одной функции. Одному из них отвечает функция, симметричная по всем переменным, а другому- антисимметричная (в первом случае ) Можно было бы производить симлгетризацию и альтернирование в обратном порядке — сначала альтернировать по переменным в каждом столбце, а затем симметризовать по переменным в строках. Это, однако,не дало бы ничего нового, так как гюлучающиеся обоими способами функции являются линейными комбинациями друг друга.
) Преобразующиеся друг через друга независимые функции составляют базис иеприводимого представления группы перестановок. Число этих функций есть размерность представления. Для случая частиц со спином 1/2 оно определено в задаче 1 к этому параграфу. 294 Гл. 1Х тождественность чАстнц юнговская схема состоит всего из одной строки из гх' клеток, а во втором из одного столбца). ПеРейДем к спиновым волновым фУнкЦиЯм ~(сгм аз,..., НА ).
Их типы симметрии по отношению к перестановкам частиц определяются теми же юнговскими схемами, причем роль переменных играют проекции свинов частиц. Возникает вопрос о том, какая схема должна соответствовать спиновой функции при заданной схеме координатной функции. Предположим сначала, что частицы обладают целым сливом. Тогда полная волновая функция ф должна быть симметрична по всем частицам.
Для этого симметрия спииовых и координатных функций должна определяться одной и той же юнговской схемой, а полная волновая функпия 4 выражается в виде определенных билинейных комбинаций тех и других; мы не станем останавливаться здесь на вопросе о составлении этой комбинации. Пусть теперь частицы обладают полуцелым спином.
Тогда полная волновая функция должна быть антисимметричной по всем частицам. Можно показать, что для этого юнговские схемы координатной и спиновой функций должны быть дуальными: получаться друг из друга заменой строк столбцами и обратно (таковы, например, две схемы, изображенные на рис. 21). Остановимся подробнее на важном случае частиц со спином 1/2 (например, электронов). Каждая из спиновых переменных сгыоэ,... пробегает здесь всего два значения х1/2. Поскольку функция, антисимметричная по каким-либо двум переменным, обращается в нуль, когда эти переменные имеют одинаковые значения, то ясно, что функция г может быть альтернирована лип|ь по парам переменных; уже при альтернировании по трем переменным две из них во всяком случае будут иметь одинаковые значения, так что получится тождественно нуль.
Таким образом, для системы электронов юнговские схемы спиновых функций могут содержать столбцы длиной лишь в одну или две клетки (т. е. всего одну или две строки): в юнговских же схемах координатных функций то же самое относится к длине строк. Число возможных типов перестановочной симметрии для системы из гх' электронов равно, следовательно, числу возможных разбиений числа Х на сумму единиц и двоек. При четном Х это число равно Х/2+ 1 (разбиения с О, 1,..., М/2 двоек), а при нечетном оно равно (1х' + 1)/2 (разбиения с 0,1,..., (Х вЂ” 1)/2 двоек). Так, на рис. 22 изображены возможные юнговские схемы (координатные и спиновые) для 1х' = 4.
Легко видеть, что каждый из этих типов симметрии (т.е. каждая из юнговских схем) соответствует определенному полному спину Я системы электронов. Будем рассматривать СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ 295 Рис. 22 спиновые функции в спинорном виде,т.е.в виде спинора т и" Х-го ранга, причем его индексы (каждый из которых соответствует спину отдельной частицы) будут теми переменными, которые располагаются в клетках юнговских схем. Рассмотрим спиновую юнговскую схему, состоящую из двух строк, имеющих по О'1 и Х2 клеток (Ил+%2 = Х, Хл > Х2). В первых Х столбцах имеется по две х ~ ' Я клетки, и по соответствующим парам з = 2 з = 1 3 = о индексов спинор должен быть анти- симметричен. По индексам же, находящимся в последних и = Хл — %2 клетках первой строки, спинор должен быть симметричен.
Но, как мы знаем, такой спинор Х-го ранга сводится к симметричному спинору и-го ранга, которому соответствует полный спин, равный О = п/2. Возвращаясь к юнговским схемам координатных функций, мы можем сказать, что схема с п строками, содержащими по одной клетке, соответствует состоянию с полным спином О = и/2. При четном Х полный спин может иметь целые значения от 0 до Х/2, а при нечетном Х полуцелые значения от 1/2 до Х/2, как и должно было быть.
Подчеркнем, что такое однозначное соответствие юнговских схем полному спину имеет место только для систем частиц со спином 1/2: для системы всего из двух частиц мы убедились в этом уже в предыдущем параграфе. Для системы Х частиц со спинолл е спиновая волновая функция строится из произведения Х симметричных спиноров ранга 2е, т.е. является спинором ранга 2%Я. Если этот спинор симметризовать в соответствии с определенной схемой Юнга из Х клеток, то из независимых компонент такого симмстризованного спинора можно образовать обычно несколько наборов линейных комбинаций, отвечающих каждый различным значениям полного спина системы О'. Подобно тому как для частиц со спином 1/2 схема Юнга спиновых функций не может содержать столбцы с более чем двумя клетками, так для частиц с произвольным спином е длина столбцов не должна превышать 2е + 1 клеток. Если число частиц в системе Х есть целое кратное от 2е+ 1, то среди возможных юнговских схем есть прямоугольная схема, все столбцы которой содержат по 2е + 1 клеток.
Такой схеме отвечает одно определенное значение полного спина: О' = О. Отсюда следует, что всяким вообще двум (спиновым) юнговским схемам, которые можно сложить вместе в прямоугольник 296 гл. 1х тО1кдеотвеннООч'ьчхстиц высотой 2л+ 1, отвечают одинаковые значения Я1) . Этот вывод есть просто следствие того факта, что при сложении двух моментов суммарный момент может оказаться равным нулю, лишь если складываемыс моменты одинаковы по величине. В заключение этого параграфа вернемся к отмеченному уже ранее (см.
примеч. на с.86) обстоятельству, что для систем из нескольких одинаковых частиц нельзя утверждать, что волновая функция ее стационарного состояния с наименьшей энергией не имеет узлов. Теперь мы можем уточнить это замечание и выяснить его происхождение. Волновая функция (речь идет о координатной функции), не имеющая узлов, непременно должна быть симметрична по всем частицам; если бы она была антисимметрична по отношению к перестановке какой-либо пары частиц 1, 2, то она обратилась бы в нуль при г1 = гз.
Но если система состоит из трех или более электронов, то полностью симметричная координатная волновая функция вообще не допускается (юнговская схема координатной функции не может иметь строки с более чем двумя клетками). Таким образом, хотя репгение уравнения Шредингера, соответствующее наименьшему собственному значению, и не имеет узлов (согласно теореме вариационного исчисления), однако это решение может оказаться физически недопустимым; тогда нормальному состоянию системы будет соответствовать нс наименьшее из собственных значений уравнения Шредингера, и волновая функция этого состояния будет, вообще говоря, иметь узлы. Вообще, для частиц с полуцелым спином я такое положение имеет место в системах с более чем 2з + 1 частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
