III.-Квантовая-механика (1109680), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Опуская не имеющую обменного характера ачдитивную постоянную А, находим, таким образом, смещения уровней: ААЕе = з, ьгЕ1 =- — з (индекс указывает значение Я). Эти величины 289 ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ можно представить как собственные значения спинового обменного одера- тора ) 11б = — (1/2)1(1 + 4ягяг) % (собственные значения произведения вгзг — см. задачу 2 3 55).
Если электроны относятся, например, к различным атомам. то обменный интеграл экспоненциально убывает при увеличении расстояния Е между атомами. Из структуры подынтегрального выражения ясно, что этот интеграл определяется «перекрытиемь волновых функций состояний Ь21(г1 ) и 222(гз); учитывая асимптотический закон убывания волновых функций состояний дискретного спектра (ср. (21.6)), найдем, что 1 1 ехр( — (2б1 + 222)й), м1 = —,Г2т~Е~ ~Ь 5 где Е1, Ег --уровни энергии электрона в обоих атомах.
2. То же для системы трех электронов. Р е ш он и е. Учитывая формулу (1) задачи 1,пишем оператор попарного обменного взаимодействия системы трех электронов в виде б = Х~' Ль(1/2 2 2Б зь), (1) где суммирование производится по парам частиц 12, 13 и 23. Матричные элементы операторов з,яь между состояниями с различными значениями пар чисел аю аь определяются с помощью формул (55.6) и равны (1/2,1/2~в вь|1/2,1/2) =- 1/4, (1222,— 1/2)в вь|1/2,— 1/2) =- — 1/4, (1!2, — 1/2)в,вь| — 1!2, 1/2) = 1/2.
Начинаем с определения энергии, отвечающей наибольшему возможному значению проекции полного спина Мз = аг + аг + аз, т.е. значению Мз = 3/2; тем самым мы определим энергию состояния с полным спинам Я = 3/2. Вычисляя соответствующий диагональный матричный элемент оператора (1), найдем 1-1ЕЗ, 2 = — ( 212 + 112 + 122). Далее переходим к состояниям с Мз .= 1/2.
Это значение Мз может осуществиться тремя способами, в зависимости от того, какое из чисел аг, аз, аз равно — 1212 (а два других 1/2). Поэтому мы получили бы для этих состояний секулярное уравнение третьей степени. Однако вычисление может быть сразу упрощено, если заметить, что один из корней этого уравнения должен отвечать найденной уже энергии состояния с Я = 3/2, и потому секулярное уравнение должно делиться на ЬАŠ— ХЕ212, это обстоятельство позволяет в данном случае обойтись без вычисления свободного члена в кубическом уравнении г Именно, вычисляя старшие члены уравнения, получим ('1Е) .~- (.112 -~- Лз -~- ггзКЬЕ) ~- 4- ) 212ЛЗ + Лзузз -~- Лзузз — О112 -~- 112 4 ггз))ТАЕ -~- . = О, и разделив на 21Е -Ь Лз-1-.112 4- 7гз, найдем два уровня энергии, отвечающие ') Этот оператор был введен Дираком. г ) Такой прием в особенности полезен при аналогичных вычислениях для систем с большим числом частиц.
290 ГЛ. 1Х тО1кдеотвеннООч'ьчАОтиц состояниям со спином Я =- 1/2: '-ЗЕ1/2 — ~(Р12 + ~13 + ~23 312313 312323 3133231 г 2 3 122 Таким образом, имеется всего трн уровня энергии в соответствии с подсчетом, произведенным в задаче 1 3 63. 3. В каких состояних ядро Вв может распасться на две О-частицыу Р е гп е н и е. Поскольку О-частица не обладает спином, система двух О-частиц может обладать лишь четным орбитальным моментом (совпадакь щим с полным моментом), и вс состояния четны. Поэтому указанный распад возможсн лишь из четных состояний ядра Ве с четным полным моментом.
3 63. Симметрия по отношению к перестановкам Рассматривая систему, состоящую всего из двух частиц, мы могли утверждать, что ее координатные волновыс функции стационарных состояний 1р(гп г2) должны быть либо симметричны, либо антисимметричны. В общем же случае системы из произвольного числа частиц регпения уравнения 1Предингера (координатные волновые функции) отнюдь не должны непременно быть симметричными или антисимметричными по отношению к перестановке любой пары частиц, как зто имеет место для полных волновых функций (включающих спиновой множитель). Это связано с тем, что перестановка одних только координат двух частиц еще не соответствует их физической перестановке.
Физическая одинаковость частиц приводит здесь лишь к тому, что гамильтониан системы инвариантен по отношению к перестановке частиц, и потому если некоторая функция есть решение уравнения Шредингера, то решениями являются и функции, получакзщиеся из исходной посредством различных перестановок переменных. Предварительно сделаем несколько замечаний о перестановках вообще.
В системе из 1'2' частиц возможны всего М.' различных перестановок. Если представить себе все частицы перенумерованными, то каждую перестановку можно изобразить определенной последовательностью чисел 1, 2, 3,... Каждая такая последовательность может быть получена из натуральной последовательности 1,2,3,... последовательными перестановками пар частиц. Перестановку называют четной, или нечетной в зависимости от того, осуществляется ли она четным или нечетным числом парных перестановок.
Обозначим через Р операторы перестановок 12' частиц и введем величину др, равную +1, если Р есть четная перестановка, и -1, если перестановка нечетная. Если у2 есть симметричная по всем частицам функция, то СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ а если функция антисигигиетрична по всем частицаьл, то Из произвольной функции д(гг,гз,...,г1у) можно образовать симметричную функцию посредством операции силглеетризации, которую можно записать так: сос„м = сопэ$. ~~~ Р~р, Р (63.1) где суммирование производится по всем возможным переста- новкам. Образование же антисиммстричной функции (эту опе- рацию иногда называют альтернированием) может быть запи- сано в виде ез „„= соп81 ~~~ 6РРр.
(63. 2) Р Возвратимся к вопросу о поведении волновых функций ~р системы одинаковых частиц по отношению к перестановкам' ) . Тот факт, что гамильтониан системы Й симметричен по всем частицам, означает, математически, что он коммутативен со всеми операторами перестановок Р. Однако эти операторы не коммутативны друг с другом и поэтому не могут быть приведены одновременно к диагональному виду. Это значит, что волновые функции,р не могут быть выбраны так, чтобы каждая из них была симметрична или антисимметрична по отношению ко всем отдельным парным перестановкам') .
Поставим задачу об определении возможных типов симметрии функций ~р(гы г1,..., гд ) от где переьченных (или совокупностей нескольких таких функций) по отношению к перестановкам переменных. Симметрия должна быть такой, чтобы она не могла быть повышена, т. е. чтобы всякая дополнительная операция симметризации или альтернирования при применении к этим функциям обращала бы их либо в линейные коъгбинации их же самих, либо тождественно в нуль. ) С математической точки зрения задача состоит в нахождении неприводимых представлений группы перестановок.
Подробное изложение математической теории групп перестановок слг. в книгах: Г. Вейль. Теория групп и квантовая механика. — Мл Наука, 1985; ЛГ. Хамерме~а. Теория групп и се применения к физическим проблемам, — Мс ИЛ, 1966; И. Г. Каплан. Симметрия лгногозлектронных систем. — Мл Наука, 1969.
) Лишь для системы из двух частиц имеется всего один оператор перестановки, который может быть приведен к диагональному виду одновременно с гамильтонианом. 292 ГЛ. 1Х тождественность чАстнц Мы знаем уже две операции, которые приводят к функциям максимальной симметрии: симметризация по всем переменным и альтерннрование по всем переменным. Эти операции могут быть обобщены следующим образом. Разобьем совокупность всех Х переменных г1, г2,..., гА1 (или, что то же самое, индексов 1,2,3,...,1х') на несколько рядов, содержащих 111, 112,... элементов (переменных)1 111 + + 1"1'2 +... = Л1.
Такое разбиение можно изобразить наглядно схемой (так называемая схема Юнга), в которой каждое из чисел 1111, 1у2,... представлено строкой из нескольких клеток (так, на рис. 21 представлена схема разбиений 6+ 4+ 4+ 3+ 3+ 1+ 1 и 7+ 5+ 5+ 3+ 1+ 1 для 11' = 22); в каждом из квадратов следует поместить одно из чисел 1, 2,3,... Если расположить строки в порядке их укорочения (так это и сделано на рис.
21), то схема будет содержать не только последовательные горизонтальные строки, но и вертикальные столбцы. Произведем симметризацию некоторой произвольной функции 1р(г1, г2,..., ЕА1) по переменным, входящим в состав каждой из строк. После этого операция ~ Г ', 1 1 . альтернирования может произво' 'Г~ литься только по отношению к переменным, входя1цим в различные строки; альтернирование по паре переменных, находящихся в одной строке, даст, очевидно, тожРис.
21 дественно нуль. Выбрав из каждой строки по одной переменной, мы можем, не ограничивая общности, считать их находящимися в первых клетках строк (после симметризацин порядок расположения переменных по клеткам каждой строки несуществен); произведем альтернирование по этим переменным. Вычеркнув затем первый столбец, произведем альтернирование по переменным, выбранным по одному из каждой строки укороченной таким образом схемы; теперь эти переменные можно снова считать находящимися в первых клетках укороченных строк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
