III.-Квантовая-механика (1109680), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Отсюда следует, что волновая функция частицы со спином э представляет собой симметричный спинор ранга п = 2ж Легко видеть, что число независимых компонент симметричного спинора 2э-го ранга равно, как и должно было быть, тоже 2э+1. Действительно, различными будут лишь компоненты, среди индексов которых имеется 2В единиц и О двоек, 2 — 1 единиц и одна двойка и т. д. до О единиц и 2В двоек.
С математической точки зрения, симметричные спиноры дают классификацию возможных типов преобразования величин при поворотах системы координат. Если имеется 2э + 1 различных величин, линейно преобразующихся друг через друга (причем число этих величин не может быть уменьшено никаким выбором из линейных комбинаций), то можно утверждать, что закон их преобразования эквивалентен закону преобразования компонент симметричного спинора ранга 2л.
Всякая совокупность любого числа функций, линейно преобразующихся друг через друга при поворотах системы координат, может быть сведена (надлежащим линейным преобразованием) к одному или нескольким симметричным спинорам') . Так, произвольный спинор и-го ранга ~х„может быть сведен к симметричным спинорам рангов п, и — 2, п — 4,... Фактически такое приведение может быть произведено следующим образом.
Симметризуя спинор 1~1А„, по всем индексам, образуем симметричный спинор того же и-го ранга. Далее, упрощая ) Другими словами, симметричные спиноры осуществляют неприводнмые представления группы вращений (см. З 98). 264 опвн гл гш исходный спинор фХ„, по различным парам индексов, получим спиноры (и — 2)-го ранга вида в) х,, которые в свою очел редь симметризуем, так что получаем симметричные спиноры (и — 2)-го ранга. Симметризуя спиноры, получающиеся после упрощения фл„, по двум парам индексов, получим симметричные спиноры (и — 4)-го ранга, и т. д. Нам остается еще установить связь между компонентами симметричного спинора 2в-го ранга и 2в + 1 функциями 1в(а) (где и = в, в — 1,..., — в).
Компонента 11... 1 22... 2 у1(а) = у1 "в (2в)! 1в+ а)цв — а)! (57.2) 11... 1 22... 2 ф е среди индексов которой 1 повторяется (в+а) раз, а 2 встречается (в — а) раз, соответствует равной а проекции спина на ось в. Действительно, если опять рассматривать систему п = 2в частиц со спинам 1/2 вместо одной частицы со спином в, то написанной компоненте будет соответствовать произведение вьа в — а 1 1 2 2 Фю "ха "; такое произведение отвечает состоянию, в котором (в + и) частиц имеют проекцию спина, равную +1/2 и (в — а) проекцию, равную — 1112, так что суммарная проекция равна (1/2)(в+ а)— — (1/2)(в — о) = о. Наконец, коэффициент пропорциональности между написанной компонентой спинора и у (а) подберем так, чтобы имело место равенство -1-в 2 ;~, '!4+а)~'= ,', '~Ф'"-!' (57.1) а.= — в Л,р,...=.1 (эта сумма является скаляром, как и должно быть, поскольку она определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства).
В сумме в правой части равенства компоненты с (в+ о) индексами 1 встречаются (2в)! (в -> а)!бв — а)! раз. Поэтому ясно, что соответствие между функциями 11 (а) и компонентами спинора устанавливается формулой 2 57 ВОлнОВые Функции 1Астиц с пРОизВОльным спинОм 265 Соотношением (57.2) обеспечивается соблюдение не только условия (57.1), но, как легко убедиться, также и более общего условия 1)1 и"' рлл — — ~( — 1)' 1((о.)д( — о), (57.3) а где 1Р "" и 1рл„— два различных спинора одинакового ранга, л ... а 111(о), 1д(о) функции, сопоставляемые с этими спинорами по формуле (57.2) (множитель ( — 1)' '" связан с тем, что при поднимании всех индексов у компонент спинора знак меняется столько раз, сколько имеется двоек среди индексов). Формулами (55.5) определяется результат воздействия оператора спина на волновыс функции 1( (о).
Нс представляет труда установить, каким образом воздействуют эти операторы на волновую функцию, написанную в виде спинора 2В-го ранга. В случае спина 1/2 функции 1)1(+1,12), 1)1( — 1,12) совпадают с компонентами у1, ф2 спинора. Согласно (55.6) и (55.7) результатом воздействия на них операторов спина будет (ВФ171) =(1/2)ф~, (Зэк) = — (г,12)ф~, (в,ф) =(1/2)ф~, (В ф) =(1/2)1(1~, (В, Я =(г/2)1)1~, (э,ф) = — (1,12)ф~.
Для перехода к общему случаю произвольного спина снова рассматриваем систему из 2В частиц со спиноъ1 1/2 и пишем ее волновую функцию в виде произведения 2э спиноров. Оператор спина системы частиц представляет собой сумму операторов спинов каждой из частиц, действующих только на соответствующий спинор, причем результат их воздействия определяется формулами (57.4). Переходя затем обратно к произвольным симметричным спинорам, т.е.
к волновым функциям частицы со сливом В, получим следую1цие формулы: Ф1 — — 1 — 1 — Ф1 ( ~)11...22... А Р о ) 11... 22... + А о~ 11... 22... 2 2 -1- — 1 — Ф 1 Ф Ф1 — — 1 (-,),)П...22 . А+,) Ы., 22... А — о,т.и..
22 .. 2 2 ,1,)11...22... 1,11...22... (57. 5) До сих пор мы говорили о спинорах как о волновых функциях собственного момента элементарных частиц. Однако с формальной точки зрения нет никакой разницы между спином отдельной частицы и полным моментом любой системы, рассматри- 266 спин гл чш ваемой как целое,. отвлекаясь от ее внутренней структуры. Поэтому очевидно, что трансформационные свойства спиноров в той же степени относятся и к поведению по отношению к пространственным поворотам волновых функций фу любой частипы (или системы частиц) с полным моментом ) вне зависимости от его природы (орбитальной или спиновой). Должно поэтому существовать определенное соответствие между законами преобразования собственных функций у) при поворотах системы координат и законами преобразования компонент симметричного спинора ранга.
271 При установлении этого соответствия необходимо, однако, четко различать два аспекта зависимости волновых функций от проекции момента т (при заданном значении )). Речь может идти о волновой функции, как об амплитуде вероятности для различных значений т, и речь может идти о собственной функции для заданного значения т. С этими двумя аспектами мы имели уже дело в на тале 2 55, где рассматривалась собственная функция Б е оператора зв, соответствующая значению з, = пе. Математическое отличие между ними в особенности ясно видно на примере частицы со спином з = 1/2.
В этом случае спиновая функция есть, по отношению к переменной щ контравариантный спинор 1-го ранга, т.е. должна быть написана, в соответствии со спинорными обозначениями, как б,. По отношению к пе она является, следовательно, ковариантйым спинором. Это обстоятельство имеет, очевидно, общий характер: собственные функции э)) могут быть приведены в соответствие с компонентами ковариантного симметричного спинора ранга 27' по формулам, аналогичным (57.2) '): (21)! Фрп = .. г'11...22... ° 12' + гп) Ц вЂ” т)! э4' 3 (57.6) Собственными функциями целочисленного момента )' являются шаровые функции У: .
В особенности важен случай ) = 1. ) К этому результату можно подойти также и несколько иным путем. Если разложить волновую функцию ф частицы в состоянии с моментом 1 по собственным функциям фэ: й .=. 2 а фэ, то коэффициенты а представляют собой амплитуды вероятности для различных значений пь В этом смысле они соответствуют «компонентам» ф(гп) спиновой волновой функции, чем устанавливается закон их преобразования. С другой стороны, значение ф в данной точке пространства не может зависеть от выбора системы координат, т.е.
сумма 2;а ф, должна быть скалярам. Сравнивая со скаляром 157.3), мы видим, что а„, должны преобразовываться как ( — И' "'Ф,— '3 37 вОлиОвыв оункции частиц с пгОизвОпьным свином 267 Три шаравыЕ функции У1 Ую = г~/ — сов й = г~/ — пв, ~/ . 11 1 = ~1 — влпд е ~ = ~г~ — (и жтпи) 13 ° э.лт /3 ~l 8т ~ 8я. (и -- единичный вектор в направлении радиуса-вектора). Видно, что по своим трансформационным свойствам эти три функции эквивалентны компонентам некоторого вектора а по формулам соответствия, которые запишем в виде л21о = га, 1р11 = — — (а +гак), 1р1 ~ = — (а, — га ). (57.7) Сравнение этих выражений с формулой (57.6) показывает, что компонентам симметричного спинора второго ранга можно привести в соответствие компоненты некоторого вектора по форму- лам 1 1р12 = =а, ь'2 1р11 = — — (а, + га„), С2 1 4'22 = — (а, — гав) и'2 (57.8) = — — (а, + гав).
лл2 (57. 9) 12 1 = — — а„ лГ2 = — (а — гак), лл2 Фл„р "=аЬ, (57.11) где а и Ь векторы, соответствующие симметричным спинорам фл" и <сл". Нетрудно также убедиться в соответствии между спинором и вектором ') ф~~р'"' + еР„"~р~' и ъ 2[аЪ). (57. 12) Формулы (57.10) можно записать в компактном виде с помощью матриц Паули а = ~22 и Рл, ФЛ вЂ” — — —,2ап" Л Р и (57. 13) ) Сметанные компоненты симълетричного спинора можно писать в виде й„, не различая Э1 „и тл,„ л л л Обратно: а = глл'2ф~~, а = — 'ф~~ ~ы) 1 (л11+ ) 22) (, ) Легко проверить, что при таком определении имеет место ра- венство 268 анин гл гш (матричньм ггегдексьг у й написаны све))ху и снизу в соответствии с расположением спинорных индексов у ф~~).
Происхождение этой формулы легко понять, если рассмотреть частный случай, когда спинор второго ранга ф~ сводится к произведению некоторого спинора первого ранга гу" и его комплексно сопряженного ф ', тогда величина 2 есть среднее значение спина (для частицы с волновой функцией ф"), так что ее векторный характер очевиден. Соответствие (57.8) или (57.9) является частным случаем общего правила: всякому симметричному спинору четного ранга 27' (где 7 целое) можно привести в соответствие симметричный тензор вдвое меньшего ранга (~), дающий нуль при упрощении по любой паре индексов (такой тензор будем называть неприеодилгым).
Это следует уже из того, что число независимых компонент у таких спинора и тензора одинаково (равно 27' + 1), в чем легко убедиться простым подсчетом ') . Соответствие между компонентами спинора и тензора может быть найдено с помощью формул (57.8) — (57.10), если рассматривать спинор данного ранга как произведение нескольких спиноров второго ранга, а тензор — как произведение векторов. Задачи 1. Переписать определение (57А) оператора спина 1/2 с помощью спинорных компонент вектора з. Р е ш е н и е. С учетом формул (57.9), устанавливающих связь между вектором э и спинором э~и, определение (57.4) записывается в виде ' "Ф = -(Ф'а" з- Ф"а" ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
