III.-Квантовая-механика (1109680), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В результате найдем гйг 16ра где ро = р(0). 3 53. Переходы под влиянием адиабатических возмущений Мы ужс упоминали в 341, что в пределе сколь угодно медленно меняющегося со временем возмущения вероятность перехода системы из одного состояния в другое стремится к нулю. Рассмотрим теперь этот вопрос количественно, вычислив вероятность перехода под влиянием медленно меняющегося (адиабатического) воозмущения (уг. Д. Ландау, 1961).
Пусть гамильтониан системы есть медленно меняющаяся функция времени, стремящаяся к определенным пределам при 1 — э +со. Пусть, далее, ф„(д,б) и Е„Я - собственные функции и собственные значения энергии (зависящие от времени, как от параметра), получаюгциеся в результате решения уравнения Шредингера Й11)ф„= Епг)г„; ввиду адиабатического характера временного изменения Й зависимости Е„и фп от времени также 153 пвгвхолы под влиянием АлиАвАтичвских возмущений 245 я вляются медленными.
Стоящая перед нами задача состоит в определении вероятности юш нахождения системы при 1 — ~ +со в некотором состоянии фз, если при 1 — ) — оо она находилась в состоянии фь Медленность возмущения приводит к большой длительности «процесса перехода П и потому изменение действия за это время (даваемое интегралом — ) Я(г)аг) велико. В этом смысле поставленная задача имеет квазиклассический характер и в определении искомой вероятности перехода существенную роль играют те значения 1 = 1ш для которых Е~ (го) = Ет (го) (53.1) и которые как бы соответствуют «моменту перехода» в классической механике (ср. ~ 52); в действительности, разумеется, такой переход классически невозможен, что выражается комплексностью корней уравнения (53.1).
В связи с этим возникает необходимость в исследовании свойств решений уравнения Шредингера при комплексных значениях параметра 1 в окрестности точки 1 = 1ш в которой два собственных значения энергии становятся равными. Как мы увидим, вблизи этой точки собственные функции фм фв сильно зависят от 1. Для определения этой зависимости введем предварительно их линейные комбинации (обозначим их через ды рз), удовлетворяющие условиям р1~ г1г7 = ~рз ~дд = О, ~р1рз дд = 1.
(53.2) Этого всегда можно достичь надлежащим выбором комплексных коэффициентов (функций от 1). Функции ~рм ~рз уже не имеют особенности при 1 = 1о, Будем теперь искать собственные функции в виде линейных ко. 1бинации 1г = а1 р1 + а2 ~рз. (53.3) При этом надо иметь в виду, что при комплексных значениях «времени» 1 зависящий от него оператор Й(г) (вида (17.4)) по-прежнему совпадает со своим транспонированным (Н = Й), но уже не является эрмитовым (Й ф- Й*), поскольку потенциальная энергия Г(1) ф- 77®*.
Подставим (53.3) в уравнение Шредингера и, умножив его слева один Раз на ды а ДРУгой Раз на Рз, пРоинтегРиРУем по 47. Введя обозначения Н,„11) = р;йр„~~ Я3 4) 246 КВАЗИКЛАССИ 1ВСКИЙ СЛУ 1АЙ ГЛ. Чп и учитывая, что Нш = Нш ввиду указанного свойства гамиль- тониана, получим систему уравнений; Нпа1 + Ншаз = Еа2, Нша~ + Н2за2 = Еам (53.5) Условие разрешимости этой системы дает уравнение (Н~2 — Е)в = = НыНзз, корни которого определяют собственные значения энергии Е=Н ~ /И Н (53.6) После этого из (53.5) находим (53.7) Из (53.6) видно, что для совпадения в точке 1 = 1о двух собственных значений в ней должно обращаться в нуль Н11 или Н22., пусть это будет Ны, Обращение функции в нуль в регулярной точке происходит, вооб1це говоря, пропорционально ~ — ~ш Поэтому Е(~) — Е(Са) = ~сопвФ.
К вЂ” 1д, (53.8) т.е. Е(1) имеет при 1 = 1о точку ветвления. При этом и ав АЛ вЂ” ~в, так что в точке 1 = ~в имеетсЯ всего оДна собственнаЯ функция, совпадающая с 111ь Мы видим теперь, что поставленная задача формально полностью аналогична рассмотренной в 352 задаче о надбарьерном отражении. Мы имеем дело с «квазиклассической по времени» волновой функцией Ф(1) (вместо квазиклассической по координате функции в 352), и требуется определить член вида сэфэехр( — 1ЕЗ8/й) в волновой функции при 1 — ~ +оо, если при 1 — ~ — со волновая функция Ф(1) = 1Л1 ехр( — 1Е11ф) (аналогично задаче об определении отраженной волны при т, э — со по прошедшей волне при т — ~ +оо);искомая вероятность перехода 1лз~ = ~сз~~. ПРи этом Действие Я = — ) Е(~) Ж выРажаетсЯ интегралом по времени от функции, имеющей комплексные точки ветвления (подобно тому, как имела комплексные точки ветвления функция р(х) в интеграле ) рдх).
Поэтому рассматриваемая задача решается путем обхода в плоскости комплексного персмснного ~ (от больших отрицательных к болыпим положительным значениям), полностью аналогично тому, как это было сделано в 3 52 в плоскости переменного х, и мы не будем повторять здесь соответствующих рассуждений. Будем считать, что на вещественной оси Ез ) Е1., тогда обход должен совершаться в верхней полуплоскости комплекс- 155 пи»входы под влнянивм лдиьвьтичкских возмхщвний 247 ного 1 (при сълещении в которую отношение е снгс1"Ссе нлс!" растет).
В результате получиьл формулу (аналогичную форму- ле (52.2)) юзл = ехр — 1ш Е(1) с1» 2 с (53.9) где интегрирование производится по изображенному на рис. 19 контуру, но в направлении слева направо. На левой ветви этого контура Е = Ес, а на правой Е = Е2.
Поэтому можно переписать (53.9) в виде сг ю2д = ехр — 2 1ш щзд(1) ссс сд (53.10) сгп со сСгг> с, щзл (с) ссг+ ос25(с) ссс, в верхних пределах которых стоят «точки пересечения» соот- ветственно термов Ел(С), Ез(С) и Еэсс), Ез(г); этот результат получается путем обхода по контуру, охватывалощему обе эти комплексные точки ') . Задача Опрсдолигь измснснис адиабатичоского инварианта классического осциллятора, подчиняющегося уравнению — -~-ог (С)х = 0 сС х (1) 4Сг 1 ) В числе конкурирующих значений Со должны учитываться также и точки, в которых ЕЛС) обращается в бесконечность Лно для таких точек предзкспононциальный коэффициент в Л53ЛО) был бы другим).
г ) Случай промежуточных состояний, относящихся к непрерывному спектру,трсбуот особого рассмотрения. где осзл = (Е2 — Ел)ссй; с любая точка на вещественной оси с, а в качестве ге должен быть взят тот из находящихся в верхней полуплоскости корней уравнения (53.1), для которого показатель экспоненты в (53.10) имеет наименьшее по абсолютной величине значение') . Кроме того, с прямым переходом из состояния 1 в состояние 2 могут конкурировать также «пути перехода» через различные промежуточные состояния, вероятности которых выражакгтся аналогичными формулами.
Так, для перехода по «пути» 1 — »3 — »2 интеграл в (53.10) заменяется суммой интегра- лов 248 кВАзиклАссический случАЙ ГЛ. УП при медленном излтснении частоты ат11) от ес значения атт при 1 -э — оо до ьтг при 1 — э оо ( А. М. Дыхне, 1960), Р е ш е н и е. Уравнение (1) получается из уравнения Шредингера пе- реобозначениями «0 — » я, х -э С; р(т)/5 =- Ачл) э с»Я, после чего задача оказывается формально эквивалентной задаче об отраже- нии от потенциального барьера, рассмотренной в 525. Это позволяет свести вычисление изменения адиабатического инварианта к вычислению ампли- туды отражения.
Запишем решение (1) при 1 — » ~со как Согласно (25.6) (2) Аг = СА1-~)гА1". Адиабатический инвариант для осцнллятора равен Я«ты,так что 11 =- тпгттх5 = 2тгтт(А1), 11 '= 2тпьтг)Аг) или, подставляя (2)1 1г =-2тгтгио 4- ф)~ )Ат(~ -1 2Ве(С~3'Ат)). Используя соотношение (25.7), имсющес в наших обозначениях вид )о(~ = = И т Ытттатг, НаХОДИМ 1г — 11 = 4тьтг)ф (Ат( + Ве (об*Агт)). (5) Рассматриваемый случай медленного изменения ат11) соответствует в задаче об отражении от барьера квазиклассической ситуации предыдущего параграфа. В такой ситуации )г экспоненциально мало, а ~о~ ~гтт,тьтг. (Предполагастся, что «1~11) не имсст особенностей или нулей на вещественной оси Й) Изложенный в предыдущем параграфе метод вычисления амплитуды отражения дает для 1г — 11 оценку тс «т=т, т,-~»~- * ( 1 11 11«), где сс — особая точка в верхней полуплоскости С, дающая наибольший вклад в Ь1.
Эта форлтула совпадаст с результатами З 51 (см. т. Ц для рассматриваемого случая гармонического осциллягора. В случае, когда ьт~(1) имеет в верхней полуплоскости простой нуль, формулы предыдущего параграфа позволяют найти и предэкспоненпиальный множитель. (См. примеч.
на с. 241.) Отметим, что второй — главный — член в (3) зависит от начальной фазы колсбаний. При усреднении по этой фазе он обращается в нуль, так что Ь1 2Ш1, где Л ф~ «коэффициент отражения». гтт ГЛАВА УИ1 СПИН ~ 54. Спин Как в классической, так и в квантовой механике закон сохранения момента возникает как результат изотропии пространства по отнопгению к замкнутой системе.
Уже в этом проявляется связь момента со свойствами симметрии по отношению к вращениям. Но в квантовой механике эта связь становится в особенности глубокой, делаясь по существу основным содержанием понятия о моменте, тем более, что классическое определение момента частицы как произведения [гр) теряет здесь свой непосредственный смысл в виду одновременной неизмеримости радиуса-вектора и импульса. Мы видели в ~28, что заданис значений 1 и т определяет угловую зависимость волновой функции частицы, а тем самым все ее свойства симметрии по отношению к вращениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
