III.-Квантовая-механика (1109680), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Однако вычисление интеграла (51.1) путем подстановки в него этих асимптотических выражений для волновых функций дало бы неправильный результат. Дело в том, что, как мы увидим ниже, этот интеграл является экспоненциально малой величиной, между тем как подынтегральная функция сама по себе не мала. Поэтому уже относительно малое изменение последней изменяет, вообще говоря, порядок величины интеграла. Эта трудность может быть обойдена следующим образом. Функцию у12 представим в виде суммы фз = фз + узз, разложив косинус (в области х > ав) на сумму двух экспоненциальных вычисляется матричный элемент, не близки друг к другу, так что последний не сводится к компоненте Фурье от величины 1 Я 48).
Трудности связаны с тем, что в силу экспоненциального (с большой мнимой экспонентой) характера волновых функций, подынтегральное выражение оказывается быстро осциллирующей величиной. Будем рассматривать одномерный случай (движение в поле Г(х)) и предположим для простоты, что оператор физической величины 1 есть просто функция координаты х. Пусть 1г1 и фз вол- Рис. 17 новые функции, соответствующие некоторым значениям Е1 и Е2 энергии частицы (причем Еэ > Е1, рис. 17); будем считать, что у11, фз выбраны вещественными. Мы должны вычислить интеграл .~.
сю 234 КВАЗИКЛАССИ 1ВСКИЙ СЛУ 1АЙ ГЛ. Чп выражений. Согласно (50.2) будем иклеть х лр2 = ехр — р2 ллх а2 Сг / 1 гл~ ехр — л р241х —— 2~рг ~6 / 4 )] а2 при х < а2, (51.3) при х > а2; гЛ2 = 'ггЛг'222 "Х сходится. Действительно, хотя функция г)12~ в области х < а2 экспоненциально возрастает, но зато функция г)гл в области х < ал еще быстрее экспоненциально убывает (поскольку везде в области х < а2 имеем ]рл] > ]р2]). Будем рассматривать координату х как комплексную псременную и сместим путь интегрирования с вещественной оси в верхнюю полуплоскость. Когда х получает положительное мнимое приращение, в функции грл (в области х > ал) появляется возрастающий член, но зато функция г)г убывает быстрее, так как везДе в области х > ал имеем Р2 > Рл. ПоэтомУ поДынтсгральное выражение убывает.
Смещенный путь интегрирования не проходит уже через точки х = ал,а2 на вещественной оси, вблизи которых квази- классическое приближение неприменимо. Поэтому на всем пути МажНО ПОЛЬЗОВатЬСЯ ДЛЯ г)гЛ И лР2 ФУНКЦИЯМИ, ЯВЛЯЮЩИМИСЯ ИХ асимптотическими выражениями в верхней полуплоскости.
Это будут функции х г =,, р — ) У22(а — Я)4 ], Сл ( г 2112аг(гл — Ел))114 ~ 6 / ал х рŠ— ' )~гг~а-хег ). 2(2лг(1Л вЂ” Ег)) 1 ~ Ь / аг (51.4) функция г)12 комплексно сопряжена с г)42 ]глг2 — — (глр2 )*]. Интеграл (51.1) тоже разобьется на сумму двух комплексно сопряженных интегралов, 122 = 1 + гл2, вычислением которых мы и займемся. Предварительно заметим, что интеграл ВЫ 4ИСЛЕНИЕ КАЗИК.ПАССИЧЕОКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 235 851 где корни определяются так, что на вещественной оси в области х ( а они положительны. В интеграле х 4А42т / 15 ( О4 — -~)~г ~и-Вез* 11х) дх , 4 (51.5) 5,/ ( )(14' — Е4КУ вЂ” Ео)) ~ оо поставим себе целью сместить путь интегрирования таким образом, чтобы, по возможности, уменьшить экспоненциальный множитель. Экспонента имеет экстремум лишь в точках, где 51(х) = Оо (при Е1 ~ Е2 ее производная по х не обращается в нуль ни в каких других точках).
Поэтому смещение контура интегрирования в верхнюю полуплоскость ограничивается лишь необходимостью обходить особые точки функции бг(х); согласно общей теории линей- хо ют с особыми точками волновых функций 4)4(х). Конкретный выбор контура зависит от конкрет- НОГО ВИДа ПОЛЯ Ог(Х). ТаК, ЕСЛИ ФУНКЦИЯ У(Х) ИМЕЕТ В ВЕРХ- ней полуплоскости всего одну особую точку х = хо, то интегрирование можно производить по пути изображенного на рис.18 типа. Главную роль в интеграле играет непосредственная окрестность особой точки, так что искомый матричный элемент 112 = 2 Ве Я в основном пропорционален экспоненциально малому выражению, которое можно представить в виде хо хо ( 1 112 - ехр — — 1ш 2т(Е2 — Ц дх — 2т(Е1 — бг) дх (51.6) (Л. Д Ландау, 1932) ') .
В качестве нижних пределов интегралов можно выбрать любые точки в классически доступных областях; конкретный их выбор не влияет, очевидно, на мнимую ) Произведенная при выводе (51.5), (51.6) замена волновых функций их асимптотическими выражениями законна, поскольку порядок величины интеграла, взятого по изображенному иа рис. 18 контуру, определяется порядком величины подынтегрального выражения, и потому относительно малое изменение последнего не имеет существенного влияния на значение интеграла. КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУ 1АЙ гл.
Уп часть интегралов. Если функция Г(х) имеет несколько особых точек в верхней полуплоскости, то в качестве то в (51.6) надо выбрать ту, для которой экспонента имеет наименыпсе по абсолютной величине значение' ) . Формула (51.6) упрощается в случае, когда энергии Ег и Е2 близки, так что матричный элемент сводится, согласно результатам 2 48, к компоненте Фурье по времени классической величины Дх(1)). Полагая Е21 = Е ш " и разлагая по 11а121, получаем г хе ~12 ехр — п121 1гп 11х = ехр( — а121 1т т). (51.6 а) / 2(Š— Ц Величину хе хе 2(Š— 11') е(х) можно рассматривать как комплексное время, за которое частица достигает точки ио в комплексной плоскости т.
(Величина же е(л) = (2(11" — Е(л))),1гп есть соответствующая «комплексная скорость».) Легко убедиться в том, что (51.6а) действительно дает приближенное выражение для компоненты Фурье 1(х(1)) при условии со21 1гп т » 1. Вычисление квазиклассических матричных элементов для движения в центрально-симметричном поле производится тем же способом. Однако под 11(т) надо теперь понимать эффективную потенциальную энергию (сумма потенциальной и центробежной энергий), и для состояний с различными значениями 1 она будет различной.
Имея в виду дальнейшие применения излагаемого метода, будем писать эффективные потенциальные энергии в двух состояниях в общем виде, как некоторые 511(т) и 512(т). Тогда показатель экспоненциального множителя в подынтегральном выражении в (51.5) будет иметь экстремум не только в точках, где 511(т) или Г~(т) обращаются в бесконечность, но еще и в точках, где Ьй(т) — 111(т) = Е2 — Е1. (51.7) ) Мы предполагаем, что сама величина Д(х) особых точек ие имеет.
Отметим также, что оценка(51.6) для матричного элемента продполагает «нормальный» порядок величины предэкспоненциального множителя. Возможна, конечно, ситуация, когда этот множитель аномально мал в силу специфики задачи. Простейшим примером является 1(х) = сопэп В этом случае матричный элемент равен нулю из-за ортогональности волновых функций, что не видно из выражения (51.6).
237 з61 Вы гисление кАзик.пАссических элементОВ Поэтому в формуле го го 1 ~1з - ехр — — 1гп 2пг(ЕЗ вЂ” Уз) Йт — 2пг(Е1 — Г1) Йт (51.8) среди конкурирующих значений то надо иметь в виду не только особые точки У1 (т) и Гг(т), но и корни уравнения (51.7). Центрально-симметричный случай отличается еще и тем, что интегрирование по г1т в (51.1) производится в пределах от О (а не от — оо) до +со: Ж1) тг С',т. о В этом отношении надо различать два случая. Если подынтегральное выражение есть четная функция от т, то интегрирование можно формально распространить на всю область от — сс до +со, так что никаких отличий от предыдущего не возникает.
этот случай может иметь место, если Г1 (т) и Гг(т) —. четные функции т (11( — т) = С1(т)1. тогда волновые функции )11(т) и уо(т) -- либо четные, либо нечетные функции (см. 6 21) '), и если функция ) (т) тоже четна или нечетна, то произведение т1)тг может оказаться четным. Если же подынтегральное выражение не является четным (что во всяком случае имеет место, если Ог(т) не является четной), то начало пути интегрирования не может быть сдвинуто из точки т = О, и в число конкурирующих в (51.8) значений то надо включить также и значение то = О. Задачи 1. Вычислить квазиклассические матричные элементы (ограничиваясь экспоненциальным множителем) в поле У = Осе Р е пг е н и е.
11(х) обращается в бесконечность только при х э — со. Соответственно этому, полагаем в (61.6) хо = — со. Интегрирование можно распространить до +оо. Каждый из двух интегралов в отдельности расходится на пределе — оо. Поэтому вычисляем их сначала в пределах от — х до -~-оо и затем переходим к пределу х -г сю. В результате получим лог ггг ехр ~ — — (ег — сг)~, ой ) При четном П(г) радиальная волновая функция Я(г) четна (нсчстна) при четном (нечетном) О как это видно из ее поведения при малых т (где Л г). 238 КВАЗИКЛАССИ 1ВСКИЙ СЛУЧАЙ Гл. нп где х, = ~/2Е,~~п, нг = ~l2ЕЕгббш — скорости частицы на бесконечности (х 4 со), где движение является свободным, 2. '1о же в кулоновом поле 11 = о)т для переходов между состояниями с!=0.
Р е ш е н и е. Единственной особой точкой функции ~1(г) является точка г =. О. Соответствующий интеграл вычислен в задаче 2 з 50. В результате получаем по формуле (51.8) ,(12 ехр [ — ( — — — )~ . 3. То жс для ангармоничсского осциллятора с потенциальной знергиой 2 П(х) = х -1-1Зх 2 при условии 2 4 «ЕбЕ «-— (1) Р е ш е н и с. Обобщение рассуждений в тексте на случай финитного движения показывает, что формула (51.6) по-прежнему справедлива. В качестве хс следует выбрать точки х — 1 хоо, причем обе дают вклад одного порядка.
Имеем 1( А -. (- '1','Гебб- бь — (Нтьбб- бб]] г 1 При условии (1) главный вклад дает область (2) в которой Шоб 1 х » Е1,Ег,~Зх . 2 Разлагая показатель экспоненты по степеням (Еб 2)11) (причем члены нулевого порядка сокращаются) и пренебрегая )Зх~, имеем Логарифмически расходящиеся интегралы следует обрезать иа границах б 121,*.. - '1 '114 * - . - Яеб '1 х аб Н'Е~Дтш~) снизу. В результате ( Е, г 4 Е, ' 4 112 ехР— 1п -!- !и 25бл (З Ег 25бл,бЗЕ1 ) Вводя номера состояний и, Ег)544, пг Ег)544, запишем ответ в виде 2 '2 ( (Зб )1 2 — е1112 и ,112 б,'2 3 и, з 52 ВеРОятнОсть пеРехОЛА В кВАзиклАссическОм случАе 239 Поскольку в решении существенны большие значения х, ответ справедлив для 1(х), не слишком быстро растущей иа бесконечности. Если 1(х) представляет собой полипом, то его степень должна быть мала по сравнению с (п2 п1).
й 52. Вероятность перехода в квазиклассическом случае Прохождение через потенциальный барьер является примером процесса, который в классической механике вообще невозможен. В квазиклассическом случае вероятность таких процессов экспоненциально мала. Соответствующий показатель экспоненты может быть определен следующим образом.
Рассматривая переход какой-либо системы из одного состояния в другое, решаем соответствующие классические уравнения движения и находим «траекторию» перехода, оказывающуюся, однако, комплексной в соответствии с неосуществимостью процесса в классической механике. В частности, оказывается, вообще говоря, комплексной «точка перехода» 1)о, в которой имеет место формальный переход системы из одного состояния в другое; положение этой точки определяется классическими законами сохранения. Далее, вычисляем действие О1(В, 1)о) + О2(1)о, 112) для движения системы в первом состоянии от некоторого исходного положения д1 до «точки перехода» до и затем во втором состоянии от до до окончательного положения д2. Искомая вероятность процесса определится тогда формулой 2 и1 ехр( — — 1ш [О1(дп 1)о) + О2(до, д2)) ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
