III.-Квантовая-механика (1109680), страница 37
Текст из файла (страница 37)
у! Таким образом, при болыпих энергиях частицы кулоново поле можно рассматривать как возмущение') . Наконец, выведем форму'ту, приближенно определяющую волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно превышающей потенциальную энергию () (выполнения каких- либо других условий при этом не требуется). В первом приближении зависимость волновой функции от координат такая же, как и для свободного движения (направление которого выберем в качестве оси х).
Соответственно этому, ищем цг в виде гг = е' *Г, где Е есть функция координат, меняющаяся медленно по сравнению со множителем е' * (о ней, однако, нельзя, вообще говоря, утверждать, что она близка к единице). Подставляя в уравнение Шредингера, получим для Г уравнение (45.8) 2гй — = — (г'Г, дх 6~ откуда е = '"Р = ь '!'*.«р( — ' / гг ). [г! ° ! Это и есть искомое выражение. Сле,чует, однако, иметь в виду, что оно неприменимо на слишком больших расстояниях. В уравнении (45.8) опущен член ЬГ, содержащий вторые производные от Р. Производная д~г!!дх, вместе с первой производной дГ/дх, стремится на болыпих расстояниях к нулю. Производные же по поперечным координатам у, х к нулю нс стремятся, и пренебрежение ими возможно лишь при условии х « йаг.
Задачи 1. Определить уровень энергии в одномерной потенциальной яме малой глубины; предполагается, что условие (45.4) выполнено. Р е ш е н и е. Делаем предположение, подтверждающееся результатом, что уровень энергии ~ Е << ~ 5! . Тогда в правой части уравнения Шредингера (сг(х) — Е)гг можно в области ямы пренебречь Е, а также считать й постоянной, которую без ограничения общности можно положить равной единице: !4 ф 2гп 4хг йз ') Надо иметь в виду, что интеграл (45.5) с полем 5! .= о/г расходится (логарифмически) при больших х/у'рг + гг.
Поэтому получаемая с помощью теории возмущений волновая функция в кулоновом поле неприменима внутри узкого конуса вокруг оси х. 207 ПОтенциАльнАя энеРГия кАк ВОзмущение Проинтегрируем это равенство по ал между двумя точками ттг такими, что а « яг « 1/х, где а ширина ямы, а х = уГ2т(Е,'/6. Ввиду сходимости интеграла от Цл) можно распространить интегрирование справа по всей области от -оо до +ос: Нг)г ' 2 та !" — ПГ1т. Вдали от ямы волновая функция имеет вид гт = е= '. Подставляя это в !1), найдем г г ( / ~~'!Е) 2та У вЂ” 2х = — ~ Пс!т йг / Интегрируя его по й. от О до тг !где а <( тг (( 11х), имеем 2та I — ~ то'1т) йт. й", l е Вдали от ямы уравнение двумерного свободного движения — (т ) -1- Еф=б имеет репгение (обращающееся на бесконечности в нуль) 1г=сопеРНе~ ' !гхт); О! при малых значениях аргумента главный член в этой функции пропорционален 1пхт.
Имея эго в виду, приравниваем при т а, логарифмические производные от 1Р, вычисленные в яме !правая часть равенства !1)) и вне ее, и получаем 1 2т — /~ГАГР)т с!т, а!пха й а е откуда й' ! й' 7 !Е! г ехР— — /Птс!т та ~ та е Мы видим, что уровень энергии оказывается экспоненциально малым по сравнению с глубиной ямы. Мы видим, в согласии со сделанным предположением, что величина уровня оказывается малой величиной более высокого !второго) порядка, чем глубина ямы. 2.
Определить уровень энергии в двумерной потенциальной яме О'1т) полярная координата в плоскости) малой глубины; предполагается, что интеграл ) ГП Г! сходится. е Р е ш е н и е. Поступая, как н в предыдущей задаче, получим в области ямы уравнение ГЛАВА ЪП КВАЗИКЛАССИт1ЕСКИЙ СЛУс1АЙ я 46. Волновая функция в квазиклассическом случае ф = ехр( — о). (46.1) Для функции о получаем уравнение (~ао) — ~~~ ~~, Аао = Š— Г (46.2) а й Соответственно тому, что система предполагается почти классической по своим свойствам, будем искать о в виде ряда о = оо+ —.о~+ Ц о2+ (46.3) расположенного по степеням й.
Начнем с рассмотрения наиболее простого случая. — одномерного движения одной частицы. Уравнение (46.2) сводится тогда к уравнению — о' — — ои = Š— 11(х) (46.4) 2т 2т (где штрих означает дифференцирование по координате х). В первом приближении пишем о = ос и опускаем в уравнении член, содержащий й: — оо —— Š— Гг(х). 2 !2 2т Если дебройлевскис длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами Ь, опредслянпцими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим. (По аналогии с тем, как волновая оптика переходит в геометрическую при стремлении длины волны к нулю.) Произведем теперь более подробное исследование свойств кеазиклассических систем. Для этого в уравнении Шредингера '> " А.~+~Š— РФ=6 а сделаем формальную подстановку з 46 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАСОИ СЕСКОМ СЛУЧАЕ 269 Отсюда находиьл по = ~ 2т[Š— 77(х)) сЬ.
Подынтсгральное выражение представляет собой не что иное, как классический импульс р(х) частицы, выраженный в функции от координаты. Определив функцию р(х) со знаком + перед корнем, будем иметь ос = х рс1х, р = 2т(Š— 77), (46.5) что и следовало ожидать в соответствии с предельным выражением (6.1) для волновой функции') . Сделанное в уравнении (46.4) пренебрежение законно только в том случае, если второй член в левой части равенства мал по сравнению с первым, т.
е. должно быть л [ол/сг'з[ « 1 или В первом приближении имеем, согласно (46.5), о' = р, так что полученное условие можно написать в виде (46.6) где Л = Л/2К, а Л(х) = 2яй/р(х) — дебройлевская длина волны частицы, выраженная как функция от х с помощью классической функции р(х). Таким образом, мы получили количественное условие квазикллссичиости"-- длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой.
Приближение становится неприменимым в тех областях пространства, где это условие нс выполняется. Условие (46.6) можно написать и в ином виде, заметив, что 4р т 4сГ тпà — = — „2 (ь — е)= — — = Дх 4х рих р где Е = — до'/дх есть классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле. Вводя эту силу, находим (46.7) р' ) Как известно, 1 р ох есть не зависящая от времени часть действия. Полное механическое действие Е частицы есть Е = — Е1 х ) раз. В выражении для ое член — Е1 отсутствует в соответствии с тем,что мы рассматриваем не зависящую от времени волновую функцию ф.
210 кВАзиклАООичвокий ОлучАЙ ГЛ. У«1 Отсюда видно, что квазиклассическое приближение становится неприменимым при слишком малом импульсе частицы. В частности, оно заведомо неприменимо вблизи шочек поворота, т, е. вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в обратном направлении.
Эти точки определяются из равенства р(л) = О, т.е. Е = 7«'(х). При р э 0 дебройлевская длина волны стремится к бесконечности и ясно, что она не ъюжет считаться малой. Подчеркнем, однако, что условие (46.6) или (46.7) само по себе может оказаться недостаточным для допустимости квазиклассического приближения. Дело в том, что оно получено путем оценки различных членов в дифференциальном уравнении (46.4), причем отбрасываемый член содержит старшую производную.
Ме!цлу тем в действительности надо требовать малости последовательных членов разложения в решении этого уравнения, и она может не обеспечиваться малостью отбрасываемого члена в уравнении. Так, если в решении для О(т) содержится член, возрастающий с координатой т по закону, близкому к линейному, то малость второй производной в уравнении не мешает тому, что на достаточно болыпих расстояниях этот член может «набрать> большую величину. Такая ситуация возникает, вообще говоря, когда поле простирается на расстояния, ббльшие по сравнению с характерной длиной Е, на которой оно испытывает заметное изменение (см.
ниже замечание в связи с формулой 146.11)): квазиклассическое приближение оказывается тогда неприменимым для прослеживания за поведением волновой функции на больших расстояниях. Перейдем к вычислению следу!ощего члена в разложении (46.3). Члены первого порядка по !! в уравнении (46.4) дают поп! + Оо!2 = 0 откУДа р 2аа 2р Интегрируя, находим 1 т! = — — 1пр 146.8) 2 (постоу!иную интегрирования опускаем).
Подставляя полученное выражение в (46.1), (46.3) получим волновую функцию в виде «р = — ехр — ( рйх) + — ехр — — ~ рг1х . 146.9) у 1а/ ') д' )! л/ Множитель 1/ «р в этой функции допускает простое истолкование. Вероятность нахождения частицы в точках с коорди- ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАСОИ 1ЕСКОМ СЛУЧАЕ 211 ~. ~ 2 натами между х и х + дх определяется квадратом [у'[, т.е.
в основном пропорциональна 1/р. Это как раз то, что и следовало ожидать для «квазиклассической частицы», поскольку при клас- сическом движении время, проводимое частицей на отрезке дх, обратно пропорционально скорости (или импульсу) частицы. В классически недоступных участках пространства, где Е ( Г(х), функция р(х) — чисто мнимая, так что гюказатели вещественны. Общий вид решения волнового уравнения в этих областях ф = ' схр ~ — — / [р[ах ) + ' ехр [с в / [р[ дх . (46.10) Следует, однако, иметь в виду,что точность квазиклассическо- го приближения не дает права сохранять в волновой функции экспоненциально малые члены «на фонер экспоненциально боль- ших и в этом смысле одновременное сохранение обоих членов в (46.10), как правило, недопустимо. Хотя обычно нет необходимости в использовании членов бо- лее высоких порядков малости в волновой функции, получим здесь еще и следующий член разложения (46.3)., имея в виду отметить некоторые моменты, относящиеся к точности квази- классического приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
