III.-Квантовая-механика (1109680), страница 33
Текст из файла (страница 33)
А. М. Эиас, 1926). Пусть Ԅ— волновые функции (включаюп1ие временной множитель) (0) стационарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения может быть написано в виде суммы Ф = ') аЬ2Р„. Будем теперь (о) искать решение возмущенного уравнения 26 — = (,Йо+ ъ')Ф д1 (40.1) в виде суммы 2р = ~2 аь1г)2р, (40.2) где коэффициенты разложения являются функциями времени. Полставив (40.2) в (40.1) и помнЯ, что фУнкЦии 2Рь УДовлетво- (0) ряют уравнению (е) Х дФ'' Й Ф(0) д1 получим .„~ „)о) аа,.
~ р„(о) ог зту формулу можно совсем просто получить изложенным в следующем па- раграфе методом (с помощью уравнения (40.4)). ВОзмущения, 3АВисящие От ВРемени Умножив обе части равенства слева на Ф~ и интегрируя, (о)* получим гй "* = ~ ~Г ь(1)аы (40.3) где я(0) Е(0) )~" ь(1) = Ф~ )*Ч1еь Й) = У' ье' ", ВА„В = матричные элементы возмущения, включающие временной множитель (надо, впрочем, иметь в виду, что при зависящем явно от времени У' величины У' ь тоже являются функциями времени).
В качестве невозмущенной волновой функции выберем волновую функцию п-го стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (40.2): а„= 1, а„= 0 при (о) <о) й у'= п. Для определения первого приближения ищем аь в виде аР = а„+ а,, причем в правую часть уравнения (40.3) (уже (0) 0) содержащую малые величины у ь) подставляем аь = аь . Это (о) дает да~ ~ гб ' = Ъь„(1). (40.4) Для того чтобы указать, к какой из нсвозмущенных функций вычисляется поправка, введсм второй индекс у коэффициентов оы написав Ф„= ~~~ аь„(1) Ф„ ь Соответственно этому, напишем результат интегрирования уравнения (40.4) в виде аь — — — — ( Ъь„(1) 011 = — — ( 'Уь„е' '"'0Ы. (40.5) (1) 1 я/ " я/ Этим определяются волновыс функции первого приближения. Рассмотрим более подробно важный случай периодического по времени возмущения, имеющего вид (40.6) где Г и С операторы, не зависящие от времени.
В силу эрмитовости у' должно быть е'е ~ -)- Сез с Е+ег 0+ СРе 00~ 184 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. уг откуда находим С = г''+, т. е. С„= Г*„. (40.7) Используя это соотношение, имеем г~) 1 гыг С р гцгег„— м)г + р~ ге мь„егеУ г ~0 8) Подставляя в ~40.5) и интегрируя, получаем следующее выражение для коэффициентов разложения волновых функций 0) Гг ек "" и Г' ец г" э"Р (40.9) Лг(мㄠ— ы) 6(геь„ + ы) где У(0) гг) Р(0)*У,Р(0) 1 У(0) гге Е ~0) г~) г,р(0)г~,р0) + 4)0)г~,р)0)) С) Подставив сюда ,0) ~ 0) „(0) = Ео„ ь с аь„, определяющимися формулой (40.9), легко получить иско- рц мое выражение Г гм> но> . ге е — гмФ ~ ~а(юь — ы) гггглг + ы)1 г:(е) ГГ" <а> 1е 6(геь + ы) 60ее — ы) (40.11) Эта формула применима, если ни один из членов не становится большим, т. е.
если все частоты пгьог агь,„не слишком близки к аг. При ш = 0 мы возвращаемся к формуле (38.12). 1 ) Точнее — не должны быть настолько малыми, чтобы величины а„„пе(г) рестали быть малыми по сравнению с одиницей. Эти выражения применимы, если ни один из знаменателей не обращается в нуль'), т. е. если для всех и (при данном и) яге) я(0) ' (40.10) Для ряда применений полезно иметь выражения для матричных элементов произвольной величины у, определенных с помощью возмущенных волновых функций.
Б первом приближении ~. ю=й;)о+~йв 185 840 Возмущения. 3АВисящие От ВРемени Во всех написанных здесь формулах подразумевается, что имеется только дискретный спектр невозмущенных уровней энергии. Они, однако, непосредственно обоб1цаются на случай наличия также и непрерывного спектра (причем речь по- прежнему идет о возмущении состояний дискретного спектра), что достигается просто прибавлением к суммам по уровням дискретного спектра соответствующих интегралов по непрерывному спектру. При этом необходимо, чтобы в формулах (40.9), (40.11) знаменатели озй„ш со были отличны от нуля при пробегании энергией .Е„ всех значений не только дискретного,но и непрерывного спектров.
Если, как это обычно имеет место, непрерывный спектр лежит вылив всех уровней дискретного спектра, то, например, условие (40.10) должно быть дополнено условием (40.12) где Ь' Рп энергия наиболее низкого уровня непрерывного спек- (0) тра. Задачи 1. Определить изменение и-го и т-го решений уравнения Шредингера при наличии периодического возмущения (вида 140.0)) с частотой ш такой, что Е, — Е„= 6(м -~- с), где с малая величина. щ) щ> Р е ш е н и е. Развитый в тексте метод здесь неприменим, так как коэффициент а „(40.0) становится болыпим.
Исходим снова из точных урав- Ш пений (40.3) с И ь(Г) из (40.8). Очевидно, что наиболее существенный эффект возникает от тех членов в суммах в правой части уравнений (40.3), в которых зависимость от времени определяется малой частотой ш„,„ — ы. Опуская все остальные члены, получим систему из двух уравнений М сй Делаем подстановку и получаем уравнения 16а = Г „Ь, о61܄— ЫЬВ) = Г„*,„а, . Исключая из них а, получим Ь вЂ” 1ЕЬ„-Р (1,16 ) )Г,„! Ь„= О. В качестве двух независимых решений этих уравнений можно выбрать Г; (2) постоянныс (которые должны быть определены из условия где А, В ТЕОРИЯ ВОЗМХЩЕНИй гл.
л нормировки) и введены обозначения е,,=- Р е. й.= созт ~р =.Р В [о> [а> Таким образом, под влиянием возмущения функции Ф~,, Ф~ ~ перейдут в функции а, Ф„-Р а Ф с а„, а из (1) или (2). <е> <а> Пусть в начальный момент времени (1 = 0) система находилась в состоянии Ф . Состояние системы в последующие моменты времени определяется ю) линейной комбинацией двух полученных нами функций, обращающейся при 1= 0 в Ф Ф = е" ~сов й1 — — япй1~Ф„, — — е " внлй1 Ф„. (3) . И2/ ге . 1 ~е2 20" -„Нг . ~о) 2П П Квадрат модуля коэффициента при Ф„равен (е2 — - ~1 — сов (2Й1)) . ~2 2П2 (4) Он определяет вероятность нахождения системы в момент времени 1 в со(а1 стоянии ФР . Мы видим, что это есть периодическая функция с частотой 2й, меняющаяся в пределах от 0 до ~л~~/й~. При е = 0 (точньлй резонанс) вероятность (4) обращается в (1/2) ~1 — соз(2)щ1)).
Она периодически меняется в пределах между 0 и 1; другими словами, систома периодически переходит из состояния Ф в состояние Ф„ [о~ [е) я 41. Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени Предположим, что возмущение Р'11) действует всего лишь в течение некоторого конечного промежутка времени (или же, что Р'(1) достаточно быстро затухает при 1 — ~ жоо.
Пусть перед началом действия возмущения (или в пределе при 1 — э — со) си- стема находилась в и-м стационарном состоянии (дискретного спектра). В произвольный последующий момент времени состо- яние системы будет определяться функцией 2Р = ~ ~айв2Р (0) ь где в первом приближении 187 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ вЂ” 'уу,е' г' г11 (41.2) Рассмотрим теперь возмущение, которое, раз возникнув, продолжает затем действовать неограниченно долго (оставаясь, разумеется, все время малым). Другими словами, стремится к нулю при 1 — ~ — оо и к конечному, отличному от нуля, пределу при 1 — э со. Формула (41.2) здесь непосредственно неприменима, так как стоящий в ней интеграл расходится.
Эта расходимость, однако, с физической точки зрения несущественна и может быть легко устранена. Для этого напишем, интегрируя по частям: Значение первого члена на нижнем пределе исчезает, а на верхнем пределе формально совпадает с коэффициентами разложения в формуле (38.8) (наличие лишнего периодического множителя связано просто с тем, что аоп — . коэффициенты разложения Для единообразия, условимся обозначать в дальнейшем (когда речь идет о вероятностях переходов) начальное и конечное состояния соответственно индексами г и 1.
Кроме того, условимся писать индексы у вероятностей перехода именно в порядке 10 в соответствии с порядком, принятым для индексов матричных элементов. пределы интегрирования в (40.5) выбраны таким образом, чтобы при 1 — + — оо все а„„обращались в нуль. По истечении времени 00 действия возмугцения (или в пределе 1 — ~ оо) коэффициенты аь„ принимают постоянные значения аьа(оо), и система будет нахо- диться в состоянии с волновой функцией р = ~ оьа(оо)р„'', ь снова удовлетворяющей невозмущенному волновому уравнению, но отличной от первоначальной функции 1р„. Согласно общим (о) правилам квадрат модуля коэффициента аь„(оо) определяет ве- роятность системе иметь энергию Е„, т. е.
оказаться в Й-м ста<о) ционарном состоянии. Таким образом, под влиянием возмугцения система может перейти из первоначального стационарного состояния в любое другое. Вероятность перехода из первоначального (г-го) в ко- нечное (1-е) стационарное состояние равна') тес 2 188 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. Ч! полной волновой функции 2Р, а с2, в 338-. коэффициенты разложения не зависящей от времени функции 2Р). Поэтому ясно, что его предел при 8 -+ со определяет просто изменение первоначальной волновой функции 2Р, под влиянием «постоянной части2 Ъ'(+ос) возмущения и не имеет, следовательно, отношения к переходам в другие состояния.
Вероятность же перехода определяется квадратом второго члена и равна -~-222 2 / ~Т 2ИГ ! 2 (41. 3) Полученные формулы справедливы и в том случае, когда переход совершается из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра. Разница состоит лишь в том, что речь идет при этом о вероятности перехода из заданного (2тго) состояния в состояния, находящиеся в интервале значений величин 22! (сы.
конец я 38) от 22! до 22! + 21222, так что, например, формулу (41.2) надо написать в виде (41. 4) Если возму!ценив Ъ" (1) мало меняется за промежутки времени 1/ОЗу;, то значение интеграла в (41.2) илн в (41.3) будет очень малым. В пределе при сколь угодно медленном изменении приложенного возмуп1сния вероятность всякого перехода с изменением энергии (т.е.
с отличной от нуля частотой В!1,) стремится к нулю. Итак, при достаточно медленном !'адиабатическом) изменении приложенного возмущения система, находившаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии, будет продолжать оставаться в том же состоянии (сы. также ~ 53). В обратном предельном случае очень быстрого, внезапного, включения возыуп1ения производные дну,/д~ обращаются в д~; бесконечность в «момент включенияР. В интеграле от 'е' ь' д8 можно тогда вынести из-под знака интеграла сравнительно медленно меняющийся множитель е™~', взяв его значение в этот момент. После этого интеграл сразу берется, и мы получаем 2 2! 2 2 (41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
