III.-Квантовая-механика (1109680), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Уравнение (36.2) после подстановки новых величин (36.3) приобретет вид (36.4) 4 (штрихи означают дифференцирование по р). При малых р решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально р' (см. (32.15)). Для выяснения асимптотического поведения Л при больших р опускаем в (36.4) члены с 1/р и 1/р2 и получаем уравнение Лл = Л/4, откуда Л = еад72.
Интсрссующес нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших р ведет себя, как е Р72. Ввиду этого естественно сделать подстановку Л=ре Р7 аг(р), (36.5) после чего уравнение (36.4) принимает вид рсоп + (21+ 2 — р)ь| + (и — 1 — 1)ш = О. (36.6) Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности нс быстрее конечной степени р, а при р = О должно быть единицами. Атомная единица длины А /гпе = 0,329 10 ' см (так называемый боровский радиус). Атомная единица энергии равна гве /А =- 4,36 10 эрг = 27,21 эВ (половину этой величины называют ридбергоэг, Ву). Атомная единица заряда есть е = 4,80 10 'е эл.-стат.
единиц. Переход в формулах к атомным единицам производится, формально, положив е =. 1, гв =- 1, А = 1. При о = Ье кулоновы единицы отличаются от атомных. г 156 движение В центРА,льнО-ОимметРи гнОм пОле Гл ч конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеомстрическая функция ог = и ( — и + 1 + 1, 21 + 2, р) (36.7) (сы. 3 с) математических дополнений) ') .
Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных (или равном нулю) значениях ( — и, + 1+ 1), когда функция (36. 7) сводится к полиному степени (и — 1 — 1). В противном случае она расходится на бесконечности, как ел (сьг. (с).14)). Таким образом, мы приходим к выводу, что число и должно быть целым положительным, причем при данном 1 должно быть п >1+1. 136.8) Вспоминая определение (36.3) параметра и, находим Е= — —,, п= 1,2, 2п' (36.9) Этим решается задача об определении уровней энергии дискретного спектра в кулоновом поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем Е1 = = — 1/2 и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением и; уровни сгущаются по мере приближения к значению Е = О, при котором дискретный спектр смьгкается с непрерывным.
В обычных единицах формула (36.9) имеет следующий вид'); 2 Е = — ™О 2пзпз (36.10) Целое число и называется главным кваниговым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в 3 32, равно и„= и — 1 — 1. При заданном значении главного квантового числа число 1 может принимать значения 136.11) 1= 0,1,...,п — 1, всего и различных значений. В выражение (36.9) для энергии входит только число и.
Поэтому все состояния с различными (, ') Второе решение уравнения (36.6) расходится при р — 1 О, как р и з) Формула (36.10) была получена впервые Н. Бором в 1913 г. до создания квантовой механики. В квантовой механике она была выведена Б. Паули в 1926 г. матричным методом, а через несколько месяцев — Шредингером с помощью волнового уравнения. КУЛОНОВО ПОЛЕ 1СФЕРИ 1ЕС:КИЕ КООРДИНАТЫ) 157 но одинаковыми п обладак>т одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовоъзу числу т (как при всяком движении в центрально-симметричном поле), но и по числу 1. Это последнее вырождение (о нем говорят, как о случайном или кулоновом) специфично именно для кулонова поля. Каждому данному значению 1 соответствует 21+ 1 различных значений т, поэтому кратность вырождения и-го уровня энергии равна п — 1 ~(21+ 1) = п2.
1=6 (36.12) Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (36.5), (36.7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называеъзыми обобщенными полиномами Лагерра (см. З д математических дополнений). По- этому Л„1 = сопе1 Р е ~~ Й„з~ (Р). Радиальные функции должны быть нормированы условием Их окончательный вид слсдуюгций '); ',(2г)'е "' Г( — и+1+1, 21+2, — ) (36.13) ) Приведем в явном виде несколько первых функций п„г: Вго=2е, Вго= - — е 2 (1— — 22 I УГ2 22 = 2 е "~ (1— зу'з 8 .„Дз нзз = — — е " гг~1 — — 1, 27У'6 6 — /2 — В21 = — —.Е 2 2У6 2 2 — и+ — и 1, 3 27 4 -гз2 пзг= — — е" и. 81А786 158 движение В центРАльно-ОимметРН .лнОм пОле Гл ч (вычисление нормировочного интеграла см. 21, интеграл (1.6) ') .
Вблизи начала координат Л г имеет вид 2пы (п+ 1)! п~т'121 Ч- Ц! )и — 1 — П! (36.14) На больших расстояниях Волновая функция Лло нормального состояния затухает экспоненциально на расстояниях порядка г 1, т.е. в обычных единицах, г й /тсг. Средние значения различных степеней г вычисляются по формуле гь 1 гм-2Е2,1 г. О Общая формула для т" может быть получена с помощью фор- мулы (1'.7). Приведем здесь несколько первых величин г" (с по- ложительными и отрицательными Й): г гз = — ~5п + 1 — 31(1+ 1)], 2 1 з пз(1 т 1/2) (36.16) 1 г-1 г и= — = — —, р=2гкг, Аг2Е /с (36.17) ) Нормировочный интеграл можно вычислить также, подставляя выражение (л1.13) для полиномов Лагерра и интегрируя по частям (подобно тому как вычислен интеграл (с.8) для полиномов Лежандра).
Непрерывный спектр. Спектр положительных собственных значений энергии непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению Е соответствует бесконечное множество состоянии с 1, пробегающими все целые значения от 0 до ОО (и со всеми возможными, при данных 1, значенияали т). Определяемое формулами (36.3) число и и переменная р теперь чисто мниклы: кулонОВО пОле 1ОФеРические кООРдинхтьп 159 266 (путь интегрирования обходит в положительном направлении точки 1 = ж1/2).
Из этого выражения непосредственно видно, что функции Лы вещественны. Асимптотическое разложение (с).14) вырожденной гипергеометрической функции Г = вгйг Рис. 10 позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции 1»ы. Два члена в (с).14) приводят в функции Лм к двум комплекс но сопряженным выражениям, и в результате получается е — 12» Лы =Сы х Ег ехр~ — г(ег — (х/2)(1+1)+(1/к) 1П2ег)) ~ » Г(1 41 — '/А) и'Е 136.21) Если нормировать волновые функции «по шкале й/2я» (т. е. условием (33.4)), то нормировочный коэффициент См равен Сы = 2)се У~" ~Г(1+1 — г/Й)~. (36.22) ) Можно было бы определить п и р комплексно сопряженными выражениями п = »У1, р = — 21'Ат; вещественные функции г»м от способа определения и и р, конечно, не зависят. ~) Вместо этого контура можно воспользоваться также любой замкнутой петлей, обходящей особые точки ( = 0 и 4 = 2»ьг в положительном направлении.
При целом1функция1"® = ( " ~(с — 211»г)" ' (с»ь зб) возвращается к исходному значению при обходе вдоль такого контура. где )с = ЯК ') . Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид Лы = ' (2)сг) е ™г ( — +1+ 1,21+ 2,2»Ь), (36.18) где С»1 нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла (схь 2 с)) 2ьйг Лм = С»1(2)сг)' пх — 1 с(1 — 1 " ~ ~~ ~0( (36.19) который берется по контуру, изображенному на рис.
10») . Подстановкой с = 24йг1г + 1/2) этот интеграл приводится к более симметричному виду Гбо ДВИ1КЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-ОИММЕТРИ .1НОМ ПОЛЕ ГЛ Действительно, асимптотическое выражение Лм при больших г (первый член разложения (36.21)) тогда имеет вид 2 . Г' 1 7Г йм - -— В1п 1Р+ — 1п2йг — — 1+ ЮГ), Е г дГ = агяГ(1+ 1 — — ) Аl (36.23) Г(В+ 1) = ВГ(В), Г(В)Г11 — В) = В1И 7ГГ имеем Г(1+1+ -„*) = (1+ -„')... (1+ -„')-„'Г(-,'), Г(1+1 — —,') = (1 — -„')... (1 — —,')Г(1 — -„') и далее Таким образом, =1 1 136.24) 1при 1 = 0 произведение заменяется на 1).
в согласии с общим видом 133.20) нормированных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (36.23) отличается от (33.20) наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако, 1пг растет при увеличении т медленно по сравнению с самим г, то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена несущественно. Модуль Г-функции, входящий в выражение 136.22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции.
Воспользовавшись известными свойствами Г-функции кулонОВО пОле 1ОФеРН'Гес1кие кООРдинАты) 161 236 Предельным переходом Гс — ~ О можно получить радиальнук> функцию для особого случая равной нулю энергии. При й — э О Р ( — + 1+ 1, 21 + 2, 2т1сг) — э Р ( —, 21+ 2, 24)сг) = 2 2 — 1 — + (21+1)В (21+2)(21+6)2! = (21+ 1)!(2г) ~ ~У~ У2~~ 1(УГ8г), —,У2~ ~.1( ъГ 8г).
ъ% Ь-ГО '9 Г (36.25) Асимптотический вид этой функции при больших г') — = ( —,) вш(ъ'8г г— 1и — — ). (36.26) УГЬ Ь 0 ~Г' 4 'Г1ногкитель ъ% исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функций тем к функции УУИГ согласно (33.5); именно функция Ли остается конечной в пределе Š— А О. В кулоновом поле отталкивания (УУ = стУг) имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у г.
Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (36.18) посредством этой же замены. Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается Лы = "' (2Ь.)'е'""Е( — +1+ 1, 21+ 2, — 24Ь.), (21 Ь 1)1 Г,А с =11 '1' Г(1Г1ГГ) =( ) П 1à — ' а=1 (36.27) ') Отметим, что вта функция соответствует квазиклассическому приближению (З 49), примененному к движению в области (1 -~- 172) << т << А где,У21+1 функция Бесселя. Коэффициенты См (36.24) при й — + О сводятся к Сы = ъ'8ИУс '~'У~. Отсюда находим 162 движение В центРмльнО-ОимметРи ХИОм пОле ГЛ Г Асимптотическое выражение этой функции при больших г имеет вид 2 .
Г 1, 1Л Лы — — зш ( Ь вЂ” — 1п 2Ь вЂ” — + д~), (36.28) О1 = агя Г (1 + 1 + — ) . Природа кулонова вырождения. При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения А = — — (р1] = сонэк (36. 29) (см.
1, 2 15). В квантовой механике этой величине отвечает опе- А = -' — -',([р1] — (1р]), (36.30) коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом Й=р2 12 — 1(г. Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов А; друг с другом и с операторами момента: (1„Аь) = ггчыАп (А;, Аь) = — 21Йе,ы1ь (36.31) Некоммутативность операторов А; друг с другом означает, что величины А„Аю А, не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем АГО коммутативен с такой же компонентой момента 1„но некоммутативен с оператором квадрата момента 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
