III.-Квантовая-механика (1109680), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Соответственно этому, шцем решенгте уравне(н)/2 ния (37.11) в виде 2« ( ) -рг/2 ттт!т'2 (и аналогично для 72) и получаем для ш1 уравнение р11п!'+ (~т~ + 1 — р1)нт1~ + п1тп! = О. Это снова уравнение вырожденной гипергеометрической функции. Решение, удовлетворяющее условиям конечности, будет ш1 = Е( — п1, ~т~+ 1, р1), причем п1 должно быть целым неотрицательным числом.
Таким образом, каждое стационарное состояние дискретного спектра определяется в параболических координатах тремя целыми числами: «параболическими квантовыми числами» пг и п2 и магнитным квантовым числом т. Для числа п («главное квантовое число») имеем из (37.9) и (37.12) п = п1 + п2 + ~т~ + 1. (37.13) Для уровнеи энергии получается, разумеется, прежний результат (36.9). При заданном и число ~т~ может принимать п различных значений от 0 до и — 1. При фиксированных и и ~т~ число пт э 37 КЕЛОНОВО ПОЛЕ (ПАРАВОЛИ (ЕОКИЕ КООРДИНАТЫ) 169 777 — Пг и.
(37.17) пробегает п — (т~ значений от 0 до п — (т( — 1. Учитывая также, что при заданном (т! можно еще выбрать функции с т = т.(т(, найдем, что всего для данного и имеется п — ( 2 ~ (п — т)+(и — 0) =п т=1 различных состояний в согласии с полученным в о 36 результатом. Волновые функции О7„7„, дискретного спектра должны быть нормированы условием «««и 2п и о ~7(7 (п Р17 = — ~Ф, РЫ+71М'р К71ч = 1 (3714) ооо Нормированные функции имеют вид 7»77п(п«т = « .777п(т ( ) 77п«т ( ) 7 (37 15) ур (р) = ') г'( — р,~(т)+1,р)е Р7 р~'"'7 . (37.16) (т9( р( Волновые функции в параболических координатах, в противоположность волновым функциям в сферических координатах, не симметричны относительно плоскости Е = О.
При п7 > иэ вероятность нахождения частицы на стороне е > 0 больше, чем на стороне е < О, а при п7 < пз наоборот. Непрерывному спектру (Ь' > 0) соответствует непрерывный спектр вещественных значений параметров рп фо в уравнениях (37.8) (разумеется7 по-прежнему связанных соотношением (37.9)); мы не станем выписывать здесь соответствующих волновых функций.
Уравнения (37.8), рассматриваемые как уравнения для «собственных значений» величин Д, фо, обладают (при Е > 0) также и спектром комплексных значений. Соответствующие волновые функции будут выписаны в о 135, где мы воспользуемся ими для решения задачи о рассеянии в кулоновом поле.
Существование стационарных состояний ~п7пот) связано с наличием дополнительного закона сохранения (36.29). В этих состояниях имеют определенные значения, наряду с энергией, величины 1, = т и А,. Вычислив диагональные матричные элементы оператора А„ найдем,что 170 дВигкение В центРАльнО-ОимметРи «нОм пОле ГЛ При этом и, = п1 — п2, а проекции «моментов» 31 и 32.. Ги+ пг — иг . Гп — иг -Г иг (37 16) п — 1 п «- иг -» ~ги~ г1»2 (37.19) Согласно общим формулам (106.9) (106.11) имеем (1т)21д2)г(г„„„„, Иг-»Иг=т и — 1 Фии,иг ~',(1, р1 + РЙА1 ЮМинп 1=О (37. 20) (Л. Рагй, 1960). Эти свойства состояний ~п1пзт) (или, что то же, ~пр1р2)) позволяют легко установить связь между их волновыми функциями и волновыми функциями состояний ~п1т).
Поскольку 1 = 31 + 32, то переход от одного из этих способов описания к другому сводится к задаче о составлении волновых функций при сложении двух моментов (рассмотренной ниже, в 3106). В терминах «моментов» 31 и 32 состояния ~п1т) и ~п1пзт) описываются как (21у21т) и ~у122р1р2), где, согласно (36.35) и (37.13), ГЛАВА У1 ТЕОРИЯ ВОЗМУ1ЦЕНИЙ 8 38. Возмущения, не зависящие от времени Точное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно неболыпом числе простейших случаев.
Болыпинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми зада«а упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.
Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет внд где Р представляет собой малую поправку (,возл«у«чение) к «не- возмущенному» оператору Йо. В 338, 39 мы будем рассматривать возмущения Р, не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении Йо). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор Р как «малый» по сравнению с оператором Йо, будут выяснены ниже.
Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом. Предполагается, что собственные функции «г„и собственные значения 1о> оператора Йо известны, т.е. известны точные решения уравнения Йо~(о) е(о)),(о) (38.1) Требуется найти приближенные решения уравнения (38.2) 172 тиогия возмхщииий гл. л т.е. приближенные выражения для собственных функций ф„и значений Е„возмущенного оператора Й.
В этом параграфе мы будем предполагать,что все собственные значения оператора Йо не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем считать сначала, что имеется только дискретный спектр уровней энергии. Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию ц по функци(о) ~ = ~;~ю(„'). (38.3) Подставляя это разложение в (38.2), получим (Е(0) + р.),),(0) ~ Е,~,(0) тп т а умножив это равенство с обеих сторон на фь и интегрируя, (0)* найдем (Š— Еь ))сь = ~ Р"ь с,„ Здесь введена матрица ЪЬ оператора возмущения Г, определенная с помощью невозмущенных функций ~~: (о) о)(0)* Р,(,(о),1 (38.5) Будем искать значения коэффициентов с и энергии .Е в виде рядов Е Е(0) + Е(2) + Е(2) +, (О) + (Ц + (2) + где величины Е' ', с,, того же порядка малости, что и возму- (1) (2) (2) щение Ъ", величины Е( ), с — второго порядка малости, и т.
д. Определим поправки к и-му собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: с„= 1, (0) (0) с(„) = О, т у': п. Для отыскания первого приближения подставим в уравнение (38.4) Е = Е„+ Е„, сь = с„+ с, сохранив (0) (1) (0) (1) только члены первого порядка.
Уравнение с )' = и дает Е(1) р ~(0)*1.,),(0),( (38.6) 173 838 ВОЗМУЩЕНИЯ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению Е„равна среднему значению возмущения в состоя(о) нии ~„ (о) Уравнение (38.4) с й ф п дает (1) 1'А ач оо (38.7) ń— Е, а с„остается произвольным и оно должно быть выбрано так, (1) чтобы функция ф„= ф„+ (у„была нормирована с точностью (о) (И до членов первого порядка включительно. Для этого надо положить с„ = О. Действительно, функция (1) ,),(» ~~, ' 1',)(о) (38.8) т (штрих у знака суммы означает, что при суммировании по т надо опустить член с т = п) ортогональна к ф~о, а поэтому инте(о) (1)~В грал от ~ф„ + ф„ ~ отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости.
Формула (38.8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство ! (( )Е(о) Е(о)( (38.9) т.е, матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии. Определим еще поправку второго приближения к собственному значению Е„. Для этого подставляем в (38.4) Е = Е„+ (о) (о) +Е +Е, сь = сь +сь +сь и рассматриваем члены второго (Ц (з) (о) (ц (з) порядка малости. Уравнение с е = п дает т откуда Е(з) (38.10) т (мы подставили с из (38.7) и воспользовались тем, что в силу (1) ЭрмитОВОСти Опв)эатера 1'.
)тв — — $Вт). 174 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. У! Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Действительно, если Е„соответствует наименьшему значению, то все члены в сум(е) ме (38.10) отрицательны. Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом. Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора Йе также и непрерывного спектра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствуюгцис интегралы по непрерывному спектру. Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом и, пробегающим непрерывный ряд значений; под и условно подразумевается совокупность значений величин, достаточных для полного определения состояния (если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает,то задания одной только энергии недостаточно для определения состояния)').
Тогда, например, вместо (38.8) надо будет писать и аналогично для других формул. Полезно привести также формулу для возмущенных значений матричных элементов какой-либо физической величины 7", вычисленных с точностью до членов первого порядка с помощью функций ф„= ф„-~- ф„с (()„из (38.8). Легко получить )о) О) следующее выражение; ~пгп ~йш + ~ (о( (о( + ~~' (о( (а( ' ((38'12) ь Š— Е ь Š— Е Б первой сумме к у= и, а во второй )с у= им Задачи 1. Определить поправку второго приближения к собственным функциям.
Р е ш е н и е. Коэффициенты с( ( (и. фи) вычисляем из уравнений (38.4) с а ф и, неписаных с точностью до членов второго порядка, а коэффициент с„подбираем так, чтобы функция ф„= ф„-Ь т„т (о„была (г( (о( (1( ее 1 ) При этом волновые функции (Э~ должны быть нормированы на б-функ(о( цию от величин и. 339 СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ Для производной от функции 1)1„1е =. Л.„1 1г)КВ19, 19) находим, используя вы- ражение Ке в виде (28.1Ц, д Г д в1п9д1 — Ф 1о = )сое9 — — — )1г,1о = дг дг г д9 1(1+ Ц г з 1 з ) О 1 ГГ-1) 1.~-1,0'~ м+ )'- )'" ~ И г, 1+1 т — — — —,— )Е!и+ В 1)К вЂ” 1,о. 1419- 1)ггз ) Радиальные интегралы вычисляются по формулам Е„1Е„1г11 = — — 1 Н„11)г, 2,/ о е Е'~,Р 9~ = — Е~,~ — 111 т Ц / )2 1 1)П о е получаюпгимся путем интегрирования по частям н использования радиального уравнения Шредингера (33.3) 2 л 111 т Ц 2л'1 Е[е~ г Члены с интегралами от В~1 в ответе взаимно сокращаются, и окончательный результат 1.'гЕ =4 ) — — 1Е (21 — Ц(21-'г 3) !111-~- Ц 3) Отметилг, что 1 1е> 21 Е1 ~' Е„, =Е„,, т.
е. «центр тяжести» мультиплета не смещается. 8 39. Секулярное уравнение Обратимся теперь к случаю, когда невозмущенный оператор Йо имеет вырожденные собственные значения. Будем обозначать посредством ф„, г)г„,,... собственные функции, от- (О) 10) носящиеся к одному и тому же собственному значению энергии Ев . Выбор этих функций, как мы знаем, неоднозначен (0) вместо них можно выбрать любые е (е кратность вырождения уровня Е„) независимых,тинейных комбинаций этих же (О) функций. Он перестает, однако, быть произвольным, если мы подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
